数学重点难点易错点全总结

11221份你不能错过的资料包 要点三、数列的通项与前n项 要点四、等比数列的前n项和..................................................................................... 要点一、数列的前n项和Sn的相关............................................................................ 排在第n位的数称为这个数列的第n项.其中数列的第1项也叫作首项.项如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个 anf(n)来表示，那么这个就叫做这个数列的通项. 为ann1（nN*n 为a1（nN*n111,, ,...的通 为23

1（nN*n1 n它的通 可以是an ，也可以是an|

|2数列的通项具有双重，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有各数列{an}n数列{ann项和：指数列{ann项逐个相加之和，通常用Sn表示，即Sna1a2...ann1时a1S1 n故an SnSn1n2且nN可求出数列的每一项．反之，根据通项，可以判定一个数是否为数列中的项。项，……，用an表示第n项，……，依次写出得数列12…n………具体方法：以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(nan 前几项）间的关系可以用一个来表示，那么这个就叫做这个数列的递推。递推也是给出数列的法。如：数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1,2,3,n.,）为定义域的函数f(n)可求出数列的每一项．反之，根据通项，可以判定一个数是否为数列中的项。anf(nn为横坐标，相应的项an为纵坐标的一系列孤立的点(nanyf(xy

理解等差数列的性质，并会用性质灵活解决问题；体会等差数列的前n项和与前n项和的性质特点。数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。⑵共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数d（即公差）；对于数列{an},若anan1dnN，n2d为常数)或an1andnN，d为常数)，则此数列是等差数列，其中常数d叫做等差数列的公差。aAbAa与bAab2一a 2首相为a1，公差为d的等差数列{an}的通 aana1(n1)d（nN*根据等差数列定义anan1danan1d∴a2a1da1(21)da3a2d(a1d)da12da1(31)da4a3d(a12d)da13da1(41)dana1(n∴归纳得出等差数列的通项为：ana1(n1)d（nN）根据等差数列定义anan1da2a1d，a3a2d，a4a3d…anan1把这n1个等式的左边与右边分别相加（叠加），并化简得ana1n1)d∴ana1(n1)danan1d(an2d)d(a2a1(n∴ana1(n1)d①通项由首项a1和公差d完全确定，一旦一个等差数列的首项和公差确定，该等 已知等差数列{an}中，第m项为am，公差为daanam(n证明：ana1n1)dama1m∴anam[a1(n1)d][a1(m1)d](n∴anam(nana1n1)d可以看成是m1等差数列{an}中，公差为d①若mnpqN，且mnpq,则amanapaq，特别地，当mn2p时aman2ap.差为md.列a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9仍是等差数列Snn(a1an2Sna1a2a3an1 Snanan1an2a2 (an∵a1ana2an1a3an2 an∴2Snn(a1an

n(a1an2nn(n二：Snna1 证明：将

n(a1an

n(n2 ，共涉及a1、n、d、an、Sn五个量，已知等差数列{an}中，公差为dk2d n(a )， nd，S奇 奇S奇S

等差数列{an}ana1n1)ddna1d)，令a1db,aandnb（db是常数且d为公差当d0anb为常数函数，{an}yb上均当d0andnbnydxb上均匀①当d0时，一次函数单调增，{an}②当d＜0时，一次函数单调减，{an}n(n 由Snna1 d

(a1

2

2，Ba1

2SSAnBn（AB为常数当d0A0SnBnna1Snn的一个一次函数；它的图象是在直线ya1x上的一群孤立的点。当d0A0Snn的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线yAx2Bx上的一群孤立的点。①当d0Sn②当d0Sn有最大值anpnq（pq是常数）是数列{an}SnAn2Bn(AB为常数)是数列{an}成等差数列的充要条件

个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0an1q(q0③隐含条件：任一项an0且q0；an0”是数列{an}如果三个数a、G、b成等比数列，那么称数G为a与b的等比中项.其中G

ab①只有当a与b同号即ab0时，a与b才有等比中项，且a与b有两个互为相反数的等比中项.当a与b异号或有一个为零即ab0a与b没有等比中项。②任意两个实数a与b都有等差中项，且当a与b确定时，等差中项cab唯一.2任意两个实数a与b不一定有等比中项，且当a与b③当ab0时，a、G、b成等比数列GbG2abG G2ab是a、G、b首相为a1，公比为q的等比数列{an}的通

anq可得a q(n2) aa∴aaqa aaq(aq)qaq2aq31 aaq(aq2)qaq3aq41 a q aqn1(n

a1qn1(nN*，a1q0根据等比数列的定义

qa2qa3qa4q

q把以上n1个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得： qn1，ana1qn1(n∴ana1 (nN*，a1q0)a q q2 aqn2a ∴ana1 (nN*，a1q0)①通项由首项a1和公比q完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等 已知等比数列{an}中，第m项为am，公比为qaa证明：aaqn1aan∴an

1a

am∴a

由上可知，等比数列的通项可以用数列中的任一项与公比来表示，通项aaqn1(nN*，aq0)可以看成是m1 (qaq aan11 1(q

an根据等比性质，有a2a3 Sna1q(1q)Saaa1a2

Sn

aa a(1qn∴当q1时，Sn n或Sn .1 1等比数列{an}的前n项和Sna1a2a3 ①当q1时，ana1，Sna1a2a3 anna1②当q1时，由anaqn11Saaqaq2 aqn2a qSnaqaq2aq3 a (1q)Saaqnaaqa（1 aa a(1qn∴

1

.1

(q即 a(1q aa 1 n (q

1 1②在求等比数列前n项和时，要注意区分q1和q1设等比数列{an}的公比为 ①若mnpqN，且mnpq,则amanapaq，特别地，当mn2p时aaa 比为qm. }、

}(mN

是常数)、anbn、{ana ④连续k项和（不为零）仍是等比数列.SkS2kSkS3kS2k，…成等比数列ac等比数列{a}aaqn1a1qn，若设ac 当q1anc，等比数列{an}yc上均当q0且q1时，等比数列{a}的通 acqn是关于n的指数型函数 ya1qx（q0且q1）上的一些孤立的点q①当q1a10时，等比数列{an}②当q1a10时，等比数列{an}③当0q1a10时，等比数列{an}④当0q1a10时，等比数列{an}当q0时，等比数列{an}

熟练掌握求数列的前n项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析ananS

(n(n等差数列的前nSnSn(a1an)nan(n1)dAn2Bn（A、B为常数 d≠0时，Snn0；等比数列的前nSn：q1ana1Sna1a2a3anna1a(1qn aaq1

1

1n项和求和；1例如对通 为ann(n1)的数列求和常见的拆项

1 n(nk n ②若{a}为等差数列，且公差d不为0，首项也不为0，则 ( ) a d anAnBAnC)CBAnBAnCnnn④ nnn

n)n n两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.an=2n+3n的数列求和如果一个数列an的通项是由一个非常数列的等差数列与等比数列的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为anbncn的数列求前n项和S.例如对通项为a(2n1)2n的数列求和 Snb1c1b2c2bn1cn1 所以有(1q)Snb1c1(c2c3cn)d ①错位相减法是基于方程思想和数列规律的法.一般都是把前n项和的两边都乘以等比数列的公比q后，再错位相减求出其前n项和；123n

n(n；2135 (2n1)122232n2n(n1)(2n1)6

掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项与前n项和，并运用这些知 an与前n项和 Sn的关系，能通过前n项和 an；前n项和前n项和用应S ,(n (na表示，我们就把这个叫做这个数列的通项.； 可以写成a(1)n，也可以写成acosn； 通项an与前n项和Sn的关系：任意数列{an}的前n项和Sna1a2 a

(n S

(n（1）求a1S1n≥2时的an如果令n≥2时得出的an中的n=1时有a1S1成立，则最后的通项 系可以用一个来表示，那么这个就叫做这个数列的递推，简称递推式.③通项法：anpnq（p，q为常数）{an}是等差数列 法：SnAn2Bn（A，B为常数）{an}是等差数列若mnpq(m、n、p、qN*)，则 aaa 特别，若mn2p，则aman（m…列①当n为奇数时，Sn ； ；S奇n1 2an

S n

n( 21)； 1dn；S奇 2偶 偶

等差数列{a}nSSmSnSmn（m、n∈N*

SmSnSp