高数极限方法

高数极限方法第一页，共二十五页，2022年，8月28日一、函数极限的定义机动目录上页下页返回结束比较数列极限与函数极限：与例如：说明以下两个极限的区别和联系xyo123NX二者的不同主要表现在自变量的变化方式上.第二页，共二十五页，2022年，8月28日自变量两种基本变化趋势

趋向于无穷趋向于一点机动目录上页下页返回结束第三页，共二十五页，2022年，8月28日1、自变量趋于无穷大时函数的极限定义1

.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A为曲线的水平渐近线.机动目录上页下页返回结束A为函数第四页，共二十五页，2022年，8月28日例1.证明证:取因此就有故欲使即机动目录上页下页返回结束注:第五页，共二十五页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束两种特殊情况:直线y=A仍是曲线y=f(x)

的渐近线.当时,有当时,有几何意义:第六页，共二十五页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束xyo例如第七页，共二十五页，2022年，8月28日2、自变量趋于有限值时函数的极限机动目录上页下页返回结束引例我们可以说，第八页，共二十五页，2022年，8月28日【结论】机动目录上页下页返回结束是否有定义无关.规定引例2定义，第九页，共二十五页，2022年，8月28日定义1.

设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数A为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:机动目录上页下页返回结束第十页，共二十五页，2022年，8月28日机动目录上页下页返回结束【说明】一般来讲，第十一页，共二十五页，2022年，8月28日左极限与右极限左极限:机动目录上页下页返回结束当时,有右极限:当时,有第十二页，共二十五页，2022年，8月28日定理1.(P39题11)机动目录上页下页返回结束证明.显然.第十三页，共二十五页，2022年，8月28日例2.设函数讨论时,的极限是否存在.解:因为机动目录上页下页返回结束显然所以不存在.第十四页，共二十五页，2022年，8月28日例3.证明证:故对任意的当时,因此总有机动目录上页下页返回结束第十五页，共二十五页，2022年，8月28日例4.证明证:欲使取则当时,必有因此只要机动目录上页下页返回结束第十六页，共二十五页，2022年，8月28日例5.证明证:故取当时,必有因此机动目录上页下页返回结束第十七页，共二十五页，2022年，8月28日【小结】机动目录上页下页返回结束第十八页，共二十五页，2022年，8月28日例6.证明:当证:欲使且而可用因此只要时，故取则当时,保证.必有机动目录上页下页返回结束第十九页，共二十五页，2022年，8月28日二、函数极限的性质定理1.（函数极限的唯一性）机动目录上页下页返回结束那么这极限唯一.定理2.（函数极限的局部有界性）那么存在常数M>0和δ>0，使得当时,有证:因为当时,有记第二十页，共二十五页，2022年，8月28日定理3.（函数极限的局部保号性）如果且A>0,则存在机动目录上页下页返回结束(A<0)证:已知即当时,有当A>0时,取正数则在对应的邻域(<0)第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日若取则在对应的邻域上若则存在使当时,有定理:分析:机动目录上页下页返回结束第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日推论.若在的某去心邻域内,且则思考:若定理2中的条件改为是否必有不能!如机动目录上页下页返回结束证:用反证法.则由定理1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)存在假设A<0,条件矛盾,故第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:唯一性、局部有界性、保号性机动目录上页下页返回结束3.两个等价定理:第二十四页，共二十五页，2