高中数学常见题型解法归纳含详解第15招-分段函数常见题型解法

【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：，不要写成.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域.一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法.和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的.【方法讲评】题型一分段函数的解析式问题解题方法一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.【例1】已知函数对实数满足，若当时，.（1）求时，的解析式；（2）求方程的实数解的个数.（2）是奇函数，且以2为周期.方程的实数解的个数也就是函数的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把分成三个部分，即,再一段一段地求.在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等.(2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在上的函数.（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求函数在上的最大值的表达式．题型二分段函数的求值解题方法先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.学.科.网【例2】已知函数，若，则（）A.B.C.D.【解析】当即时，（舍）；当即时，，故选A.【点评】（1）要计算的值，就要看自变量在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就分类讨论.（2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当时，解得，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设,若,则（）A.2B.4C.6D.8【点评】（1）要化简，必须要讨论的范围，要分和讨论.当时，可以解方程，得方程没有解.也可以直接由单调性得到.【检测2】已知函数,QUOTE若QUOTE，则．

题型三分段函数解不等式解题方法先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.【例3】已知函数则的解集为（）A.B.C.D.【点评】（1）本题中的自变量不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论.(2)当时，计算要注意确定的范围，，所以求要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨.(3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数则的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数则满足的x的取值范围是_________.

题型四分段函数奇偶性解题方法方法一：定义法.方法二：数形结合.【例4】判断函数的奇偶性【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设,则，设则，所以函数是奇函数.【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论.（2）注意，当求要代入下面的解析式，因为,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数是定义在上的奇函数，且当时.（1）求的解析式；（2）判断的单调性（不必证明）；（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.题型五分段函数最值（值域）解题方法方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.方法二：数形结合.【例5】若函数的值域是，则实数的取值范围是.【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值.方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答.（3）对于对数函数，如果没有说明与的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设若是的最小值，则的取值范围为()A.B.C.D.【检测7】已知函数的值域为R，则常数的取值范围是（)A.B.C.D.题型六分段函数单调性解题方法方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.【例6】若是上的增函数，那么的取值范围是（）.A.B.C.D.【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值.函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值.（3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数.这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数在区间上是增函数,则常数的取值范围是（）A．B．C．D．题型七分段函数零点问题解题方法方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法.和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.【例7】已知函数则函数的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法.和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.（2）本题由于函数的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答.（3）在函数中，由于没有确定的取值范围，所以要分类讨论.【例8】已知函数，若函数仅有一个零点，则的取值范围是________.【解析】函数，若函数仅有一个零点，即，只有一个解，在平面直角坐标系中画出，的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，，故答案为.【点评】（1）直接画的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法.分离参数得到，再画图数形结合分析.学.科.网【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数，则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是（）（注：为自然对数的底数）A.B.C.D.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）（Ⅱ）方法二：不等式恒成立等价于恒成立.即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立，当时，，，因此，实数的取值范围是．【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即；当时，，则，即。综上或，应填答案或1.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】时，可得,解得;时，,解得;所以综上可得的解集为【反馈检测4答案】【反馈检测4详细解析】由题意：，函数在区间三段区间内均单调递增，，可知x的取值范围是：.【反馈检测5答案】（1）；（2）增函数；（3）.学.科.网【反馈检测6答案】D【反馈检测6详细解析】.若，则当时，函数的最小值为，，不符合题意.排除两个选项.若，则当时，函数，最小值为，当时，根据对勾函数的性质可知，当时，函数取得最小值为，故符合题意，排除，故选.【反馈检测6答案】A【反馈检测6详细解析】函数，当时，时，的最小值小于，因为的开口向上，对称轴为，若，当时，函数是增函数，最小值为，可得，解得；若，最小值为，可得，