2022-2023学年湖南省长沙市中南博才高级中学等学校联考高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题一、选择题1.在平行六面体中，与向量相等（不含）的向量有（）A.个 B.个 C.个 D.个答案：B解析：【分析】根据相等向量的定义判断.【详解】由图形可知，.故选：B.2.在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（）A. B. C. D.答案：B解析：【分析】由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案【详解】由题意可得,所以，所以，所以，故选：B.3.已知，，则（）A. B.C. D.答案：A解析：【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算结果.【详解】．故选：A.4.平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（）A. B. C. D.答案：A解析：【分析】根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.【详解】由题意得，因为，所以（），即，解得，所以.故选：A.5.已知直线的方向向量与直线的方向向量，则直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】根据空间向量法求出两条直线所成角的余弦值即可.【详解】因为，，所以．又两条直线所成的角的取值范围为，所以直线与所成角的余弦值为．

故选：C.6.过点的直线与线段相交，，，则的斜率的取值范围为（）A. B.C.或 D.或答案：B解析：【分析】利用斜率的计算公式及其过点的直线与线段相交即可求得结果【详解】因为，点的直线与线段相交，所以直线的斜率的取值范围为，故选：B.7.已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为，则（）A. B. C. D.答案：C解析：【分析】直接利用向量模的公式计算得解.【详解】由题得.故选：C.8.以下四个命题中正确的是（）A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若为空间向量的一组基底，则构成空间向量的另一组基底C.为直角三角形的充要条件是D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底答案：B解析：【分析】根据空间向量基底的定义：任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，逐一分析ABD可判断这三个结论的正误；根据向量垂直的充要条件，及直角三角形的几何特征，可判断C的真假.【详解】对A，空间的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量表示，A中忽略三个基底不共面的限制，故A错误；对B，若为空间向量的一组基底，则、、三个向量互不共面，且、、均为非零向量，假设、、共面，可设，所以，，该方程组无解，故、、不共面，因此，故可又构成空间向量的一组基底，故B正确；对C，的为直角为直角三角形，但为直角三角形时，可能为锐角，此时，故C错误；对D，任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一组基底，三个向量不共线时可能共面，故D错误.故选：B．二、多选题9.已知长方体，则下列向量的数量积可以为的是（）A. B.C. D.答案：A、B、C解析：【分析】利用垂直关系的向量表示判断.【详解】如图所示：若，则，A正确；若，则，B正确；∵平面，∴，C正确；∵和分别为矩形的对角线和边，∴两者不可能垂直，D错.故选：ABC.10.若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，答案：A、B、D解析：【分析】根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进行判断即可．【详解】对于A中、、，B中、、，D中、、，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；对于C，、、，满足，是共面向量，不能构成空间的一个基底．故选：ABD．11.下列说法中，错误的是（）A.任何一条直线都有唯一的斜率B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大C.任何一条直线都有唯一的倾斜角D.若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等答案：A、B、D解析：【分析】【详解】A错，因为倾斜角为的直线没有斜率；B错，因为时，，时，；C显然对；若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，D错．12.若与的夹角为钝角，则的取值可能为（）A. B. C. D.答案：A、B、C解析：【分析】根据题意，分析可得两个向量不共线，由向量数量积的计算公式可得且不反向，解可得的取值范围，分析选项可得答案.【详解】根据题意，若与共线，则有，无解，即两个向量不会共线，若与的夹角为钝角，必有，解可得：，分析选项：、、符合，故选：ABC.三、填空题13.如果两个向量，不共线，则与，共面的充要条件是.答案：存在实数对，使.解析：【分析】由空间向量共面定理即可得解.【详解】由空间向量共面定理可得，若向量，不共线，则与，共面的充要条件是存在实数对，使.故答案为：存在实数对，使.14.已知三棱锥中，，，两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为.答案：解析：【详解】由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则，则到面距离的最大值为，故答案为.15.若，，与的夹角为，则的值为.答案：或解析：【分析】利用平面向量夹角的坐标表示列出方程，然后把向量与的坐标代入运算，即可求出结果．【详解】由已知，，，解得或.故答案为：或.16.已知在正方体中，点为底面的中心，，，，，则，，.答案：解析：【分析】结合空间向量的加法、减法和数乘的运算法则即可得出结果.【详解】如图所示，，所以，故答案为：①，②，③.四、解答题17.如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，．（1）用，，表示；（2）求的长．答案：见解析解析：【分析】（1）根据向量的加法运算用基底表示向量即可；（2）计算的模长，利用向量的模长公式、数量积公式计算可求出结果．【详解】（1）由题可知，根据向量的三角形法则得到：.（2）因为，所以又，，，，，所以，所以，，即的长为.18.如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）．答案：见解析解析：【分析】（1）利用向量加法的三角形法则即可求解.（2）由，利用向量加法的三角形法则即可求解.（3）利用向量减法的运算法则即可求解.（4）利用向量加法、减法的运算法则即可求解.【详解】（1）．（2）．（3）．（4）．19.如图，正方体中，是的中点，求与平面所成角的正弦值.答案：见解析解析：【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，.设平面的法向量为，令，则，.故与平面所成角的正弦值为.20.如图，四棱锥的底面为一矩形，平面，设，，，，分别是和的中点，试用，，表示，，，.答案：见解析解析：【分析】运用空间向量的坐标表示即平面向量定理计算即可得出答案.【详解】连接，则；；；.21.如图，建立空间直角坐标系．正方体的棱长为，顶点位于坐标原点．（1）若是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，则分别求出向量，，的坐标；（2）在（1）的条件下，分别求出，的值．答案：见解析解析：【分析】（1）根据题意，易得点，，，的坐标，进而求得向量的坐标；（2）由（1）的结果，利用空间向量的加法和数量积坐标运算以及向量的模公式求解.【详解】（1）因为是棱的中点，是棱的中点，是侧面的中心，所以，，，．所以，，，．（2）由（1）可得．又，所以．22.已知为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，如图.沿将折起使平面平面，连接，，如图.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面.答案：见解析解析：【分析】（1）如图建立空间直角坐标系利用直线的方向向量求异面直线所成角；（2）一是可以利用空间向量，求得平面的法向量，使得垂直于法向量即可得解；或者利用利用线面平行的方法证明当时，平面.【详解】（1）因为平面平面，平面平面,，平面,所以平面,又因为平面,所以.又，所以建立如图所示的空间直角坐标系，因为为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，则，，，.所以，，所以，所以异