高考文科数学练习题古典概型与几何概型

时跟踪检测（五十九）古典概型与几何概型1．(2019·长沙长郡中学选拔性考试)长郡中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：选B从3名男教师和2名女教师中任选2人参加讲课比赛，基本事件总数为10，选取的2人恰为一男一女包含的基本事件个数为6，故选取的2人恰为一男一女的概率为P＝eq\f(m,n)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).故选B.2．(2019·合肥质检)某小组有男生8人，女生3人，从中随机抽取男生1人，女生2人，则男生甲和女生乙都被抽到的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,24)解析：选C某小组有男生8人，分别记为M甲，M2，M3，M4，M5，M6，M7，M8，女生3人，分别记为W乙，W2，W3.从中随机抽取男生1人，女生2人的基本事件为(M甲，W乙，W2)，(M甲，W乙，W3)，(M甲，W2，W3)，…，(M8，W乙，W2)，(M8，W乙，W3)，(M8，W2，W3)，共24个，男生甲和女生乙都被抽到的基本事件为(M甲，W乙，W2)，(M甲，W乙，W3)，共2个，所以男生甲和女生乙都被抽到的概率为eq\f(2,24)＝eq\f(1,12).故选C.3．(2019·广西五市联考)在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：选C在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32,34,52,54,23,25,43,45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25,45，共2个，故所求概率P＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，选C.4．(2019·成都外国语学校月考)《九章算术》中有如下问题：今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是()A.eq\f(3π,10) B.eq\f(3π,20)C．1－eq\f(3π,10) D．1－eq\f(3π,20)解析：选D直角三角形的斜边长为eq\r(82＋152)＝17，设内切圆的半径为r，则8－r＋15－r＝17，解得r＝3.∴内切圆的面积为πr2＝9π，∴豆子落在内切圆外的概率P＝1－eq\f(9π,\f(1,2)×8×15)＝1－eq\f(3π,20).5．(2019·长春质检)如图，扇形AOB的圆心角为120°，点P在弦AB上，且AP＝eq\f(1,3)AB，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,7) D.eq\f(3,8)解析：选A设OA＝3，则AB＝3eq\r(3)，AP＝eq\r(3)，由余弦定理可求得OP＝eq\r(3)，则∠AOP＝30°，所以扇形AOC的面积为eq\f(3π,4)，又扇形AOB的面积为3π，从而所求概率为eq\f(\f(3π,4),3π)＝eq\f(1,4).6．在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为eq\f(π,3)，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是()A．2－eq\f(3\r(3),π) B．4－eq\f(6\r(3),π)C．4eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),2π) D．4eq\f(2,3)解析：选B设圆的半径为r，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S＝24×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)πr2－\f(\r(3),4)r2))＝4πr2－6eq\r(3)r2，圆的面积S′＝πr2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为eq\f(S,S′)＝4－eq\f(6\r(3),π)，故选B.7．已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：选Df′(x)＝x2＋2ax＋b2，要使函数f(x)有两个极值点，则有Δ＝(2a)2－4b2＞0，即a2＞b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．满足a2＞b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).8．(2019·安阳模拟)在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于eq\f(a,2)的概率是()A．eq\f(11,12)－eq\f(\r(3),6)π B．1－eq\f(\r(3),6)πC．eq\f(1,3) D．eq\f(1,4)解析：选B如图，正△ABC的边长为a，分别以它的三个顶点为圆心，eq\f(a,2)为半径，在△ABC内部画圆弧，得到三个扇形，则点P在这三个扇形外，因此所求概率为eq\f(\f(\r(3),4)a2－\f(1,2)×π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2,\f(\r(3),4)a2)＝1－eq\f(\r(3),6)π，故选B.9．(2019·石家庄毕业班摸底)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,12)解析：选B从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为eq\f(8,24)＝eq\f(1,3)，故选B.10．(2018·全国卷Ⅰ)如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3解析：选A法一：∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC，以AB为直径的半圆的面积为eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,2)))2＝eq\f(π,8)AB2，以AC为直径的半圆的面积为eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2)))2＝eq\f(π,8)AC2，以BC为直径的半圆的面积为eq\f(1,2)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2＝eq\f(π,8)BC2，∴SⅠ＝eq\f(1,2)AB·AC，SⅢ＝eq\f(π,8)BC2－eq\f(1,2)AB·AC，SⅡ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)AB2＋\f(π,8)AC2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)BC2－\f(1,2)AB·AC))＝eq\f(1,2)AB·AC.∴SⅠ＝SⅡ.由几何概型概率公式得p1＝eq\f(SⅠ,S总)，p2＝eq\f(SⅡ,S总)，∴p1＝p2.故选A.法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC＝2，则BC＝2eq\r(2)，所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S1＝eq\f(1,2)×2×2＝2，区域Ⅱ的面积S2＝π×12－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π×\r(2)2,2)－2))＝2，区域Ⅲ的面积S3＝eq\f(π×\r(2)2,2)－2＝π－2.根据几何概型的概率计算公式，得p1＝p2＝eq\f(2,π＋2)，p3＝eq\f(π－2,π＋2)，所以p1≠p3，p2≠p3，p1≠p2＋p3，故选A.11．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，则eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙的概率是________．解析：设污损处的数字为m，由eq\f(1,5)(84＋85＋87＋90＋m＋99)＝eq\f(1,5)(86＋87＋91＋92＋94)，得m＝5，即当m＝5时，甲、乙两人的平均成绩相等．m的取值有0,1,2,3，…，9，共10种可能，其中，当m＝6,7,8,9时，eq\o(x,\s\up6(－))甲＞eq\o(x,\s\up6(－))乙，故所求概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：eq\f(2,5)12．(2018·湖北武汉模拟)某路公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率为________．解析：小明同学在6：50至7：30之间到达该车站乘车，总时长为40分钟，公交车在6：30,7：00,7：30准时发车，他等车时间不超过10分钟，则必须在6：50至7：00或7：20至7：30之间到达，时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率P＝eq\f(20,40)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)13．(2019·南京模拟)口袋中有形状、大小完全相同的4个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为________．解析：从袋中一次随机摸出2个球，共有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}6个基本事件，其中摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共4个，因此摸出的2个球的编号之和大于4的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)14．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值．(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率．解：(1)依题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球概率为eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a，b)所有可能的结果为(0,1)，(0,2)，(0,2)，(1,2)，(1,2)，(2,2)，(1,0)，(2,0)，(2,0)，(2,1)，(2,1)，(2,2)，共有12种，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，故P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3).②由①可知，(a－b)2≤4，故x2＋y2＞4，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R))，由几何概型得概率为P＝eq\f(22－\f(1,4)π·22,22)＝1－eq\f(π,4).15．(2019·昆明适应性检测)某校为了解高一学生周末的阅读时间，从高一年级中随机抽取了100名学生进行调查，获得了每人的周末阅读时间(单位：h)，按照[0,0.5)，[0.5，1)，…，[4,4.5]分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．(1)求图中a的值；(2)估计该校高一学生周末阅读时间的中位数；(3)在[1,1.5)，[1.5,2)这两组中采用分层抽样