高阶思维取向下小学数学核心知识的教学实践-以“分数与除法的关系”的教学为例

高阶思维取向下小学数学核心知识的教学实践——以“分数与除法的关系”的教学为例摘要:该文阐述了核心知识和高阶思维的要义及两者的内在关联，并以“分数与除法的关系”为例，在对核心知识的教学困惑深入反思的基础上，呈现了简约详“核”，思维进阶的课堂实践策略:聚点构架完善认知，加强思维的深刻性;注重关联搭建支架，提升思维的逻辑性；多元表征核心知识，促进思维的独创性；打通核心知识要义，注重思维的批判性。关键词：高阶思维;核心知识;数学思维;分数与除法的关系数学学科高度的抽象性和严密的逻辑性，使其在培养学生的思维能力方面具有天然的优势。而无论从数学知识的静态呈现还是动态“发生”的角度看，没有和思维无关的知识，也没有离开知识的思维。可以说,思维是知识内化于心的特殊能力，既源于知识又超越知识。郑毓信教授也指出,数学知识应该被看成是数学思维的载体，因为只有以数学思维的分析带动具体知识内容的教学，我们才能感受到数学思维的力量，更能通过具体数学知识的学习逐步学会数学的思维①。因此，从数学知识中精选核心知识作为思维加工的材料,生成结构联结，形成以高阶思维为取向的核心知识教学，对学生数学核心素养的提升大有裨益。一、释义:核心知识与高阶思维（一）核心知识小学数学核心知识是指小学数学课程中那些处于基础、主干和关键地位，适用和迁移范围广的数学知识,这些核心知识在知识体系和发展中具有内在逻辑的连贯性和本质内涵的一致性，具有很强的生发、吸附、统摄、解释和应用功能②。它们具有统摄性，是一个教学活动的基轴与焦点，能把零碎的课堂知识串联起来，使之融为一体、有机关联;它们具有内核性，是教学知识单元的细胞核;它们具有衍生性，是最具活性的一种知识类型，是一切其他课堂知识得以生发与依附的主根③。它们是培养学生数学思维，提升数学核心素养的主要载体。分数作为一个兼具多重意义的数学基本概念，就小学阶段而言，侧重从三个维度研究:一是基于份数定义,也就是把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或几份的数;二是基于商定义，也就是整数m除以整数n的商（几尹0）;三是基于比定义，也就是整数m与几之比（几尹0）④。由此可见,在小学阶段学生理解和建立完整的分数概念的过程中，分数的商定义即“分数与除法的关系”，前接分数的份数定义，后续分数的比定义,是实现知识推进并处于知识发展的关键节点处的核心知识，具体表现为:其一，它是将分数从直观认识上升到理性认识的桥梁;其二,它是将分数从“相对量”的概念拓展到“数”的概念的重要平台;其三，它是作为“部分一整体”关系拓展到“两量之比”的纽带。（二）高阶思维思维一直是教育研究的热点问题之一，国内外许多学者对其内涵与本质从不同角度进行了诠释。美国教育家布鲁姆依据认知水平的复杂程度的递增原则,将思维过程具体化为六个教学目标，其中识记、理解、应用视为低阶思维，而后三个认知水平“分析、评价、创造”被视为高阶思维①。我国江西师范大学钟志贤教授则进一步指出高阶思维是高阶能力的核心，主要指创新能力、问题求解能力、决策力和批判性思维能力②。基于以上认知，小学数学学科中的高阶思维，可以理解为面对主要知识领域（数与代数、图形与几何、统计与概率），在认知方面具有完善的知识结构、良好的符号意识和空间观念,较强的推理能力和数据分析能力；在思维品质方面具有高度的灵活性、深刻的逻辑性、准确的直觉性、有意识的批判性、丰富的独创性。根据苏教版教材的编排，在认识分数的份数定义后紧接着学习“分数与除法的关系”，有助于学生主动“创生”和“联结”，形成科学的认知方式和高阶思维模型:其一，易于与原有知识建立广泛联系，不断完善和扩充认知结构，进而对所学知识形成有广度、有深度、有逻辑、有意义的结构性认知;其二，易于展开持续探究，通过变式识别与双向建构，建立自己的思维框架和思维方式;其三，易于在不断反思与批判中精致分数概念，确立新的思考方向，形成主动迁移和应用的创造能力。综上所述,不论是核心知识还是高阶思维均是为学生服务的，二者与学科核心素养的表现因子紧密联系。高阶思维取向下的核心知识教学,就是要让核心知识成为一颗颗充满思想的“种子”，着眼于数学思想方法和知识内在逻辑进行整体性设计,形成纵向连贯、横向融通的“知识结构”，利于学生形成结构化思维方式;要将知识置于真实的问题情境中,并不断迁移到新的情境中去，实现相同的方法在其他类似单元、问题中的迁移应用,在方法的归纳、迁移、统整中自觉反思、批判，形成强大的迁移能力和灵活的创造能力，提升学生的综合思维水平。二、思考:核心知识教学之困在教材内容展开过程中，小学数学核心知识往往蕴含着反映数学学科本质特征的基本概念、基本原理、基本思想方法、基本关系、基本问题等，它们相当于知识框架与连接点，具有“开启全新的内容领域、联结相关的教学段落、引领重要的思考方向、促进适时的沟通融合”等独特意蕴和突出作用,指向的是数学学科的学习方法、思维方式,学科观念和精神等。然而，在实际教学中,无论从教材内容解读、学科思维方式、教与学的方式等方面作出的探索和实践,未能很好地呼应核心知识的价值和功能。（一） 教师之困：对核心知识的理解缺乏深度就核心知识的“核心”要义来看，为了凸显其价值和功能，须准确把握核心知识的本质特征及其内隐的数学思想方法,契合知识间的内在联系，常常要重构内容结构。而实际教学中，一些教师往往不能深入挖掘知识本质,无法准确地以核心知识凝聚教学内容,形成知识结构前延后续的综合融通。“分数与除法的关系”这一内容历来是小学数学教学中的难点。因为不少教师对分数的不同内涵及其相互关系缺少深度理解，总把分数的基本含义当作分数意义的全部内涵，而把分数与除法的关系当作分数意义的具体应用。事实上分数既可以理解为把一个单位（抽象的结果就是单位“1”）平均分成n份（n尹0），表示这样一份或几份的数;也可以理解为把m个单位平均分成n份，表示这样一份的数，也就是Sn=m（n尹n0）;还可理解为整数m与整数n的比,也就是m：n=皿（n尹0）。这些内容都是分数的意义的有机组成部分。

n只不过,实际教学时,为了便于学生理解,常常会借助分数的基本含义帮助他们理解分数与除法的关系③。（二） 教学之困：对核心知识的教学缺乏有效设计既然核心知识的基点和着力点指向于知识结构体系，而知识结构体系又更能对应于系统的、多维度的能力和核心素养，那么教师在设计教学时就应该基于数学学科核心素养框架,强调知识结构、认知结构与素养结构的关联，思考如何通过问题的引领，以及概念的形式、表征与应用,实现核心知识向具有目标综合性、主体多元性以及过程活动性的核心任务转换。而事实上，教师在设计从核心知识到核心任务的转化过程时极易产生行为偏差。学生在学习“分数与除法的关系”这部分内容时,往往很难正确理解用分数表示每份量与用分数表示相应比率的联系与区别。即类似这样的问题:把3块饼平均分给4个小朋友，究竟什么情况下每个小朋友分得的是“：”?什么情况下每个小朋友分得的又是块”?教师未能通过有效途径清晰地揭示上述两个结果的内在关联,以至于学生在解题时常常无所适从，只能凭借问题表述上的细微差异加以辨析。事实上，把3块饼平均分给4个小朋友，如果从整体上把“3块饼”看作单位“1”，那么每个小朋友分得3块饼的:;如果把“1块饼”看作单位“1”，那么每个小朋友分得1块的j,也就是:块。其核心任务是解决把什么数量看作单位“1”,学生能不能准确灵活地实现单位“1”的切换的问题。苏教版教材要求借助操作探索并表征“每人分得多少块”的结果，无论是一块块分，还是三块重叠后一起分,直观动作下都能清晰地显示出每人分得的结果是1块饼的4,这其实就是帮助学生正确理解并解决问题的最佳时机，设计教学时教师应抓住这个重要时机适时搭建问题支架。（三）学生之困：对核心知识的学习缺少认同核心知识作为基本概念、基本原理、基本关系、基本问题一般都是以显性方式在教材中直接呈现,而作为基本思想、基本方法则是以隐性的方式支撑着知识的渐次展开，逐步生成知识的价值体系，是核心知识的灵魂。如果教师对核心知识的本质内涵解读不深入，对其价值功能的凸显未做整体性思考，学生对核心知识的学习往往就会只知其然却不知其所以然，缺失对核心知识学习的认同感。在“分数与除法的关系”学习中，分数作为每份量,表示的是一个绝对的量，而作为相应比率,表示的是一个相对的量。回望之前的学习经历，学生对分数的认识始于“份数定义”，无论是三年级上册还是三年级下册，乃至五年级下册例1,学生对分数的认知始终停留在“相对量”的层面。而且,分数的“商定义”本身具有二重性，也就是说既表现为一种操作过程，又表现为一种对象结果,学生真正理解分数的“商定义”需要实现从过程到对象的转变,期间学生一直会受前期学习的影响，对“同样数量的物体在不同的单位’1'中所表示的分数不同”和“同一个分数在不同的单位’1'中表示的具体数量也不同”感到无法认同。因此，学习这些内容时，就需要教师在分数的学习每一个阶段为学生瞻前顾后，做好长远打算，对知识进行整体性设计，及早预留知识接口和联结通道。三、实践:简约详“核”，思维进阶综合小学数学核心知识和高阶思维的特征，针对前期教学实践中的一些困惑，在这里提出以高阶思维作为核心知识教学的价值取向，其势必要着眼于核心知识产出的学习效果来组织教学活动，提倡的是低耗高效的简约教学。“简约”不是简单地压缩和简化知识，而是强调围绕知识主线，通过对核心知识本质内涵的深度解读，精心设计一站式核心任务，形成“学习序列性任务支架”，引导学生在逐步完成任务中，强化其作为学习活动主要责任人的角色，促其提升学习力，获得思维的不断进阶。下文将以“分数与除法的关系”一课的教学实践加以具体说明。（一）聚点构架完善认知，加强思维的深刻性【教学片段1】课始。师：前面我们研究了分数，这三幅图中的涂色部分让你想到了哪个数？生.3工：4。3师：你们都是怎么理解.的呢？3依据学生的回答相机引导，呈现关于亍初步的认知结构图（如图1所示）……

课终。师：课开始时，咱们结合单位课终。师：课开始时，咱们结合单位“1”，从平均分以及分数单位的角度回顾了对亍的认识，那通过今天的学习，对成你们又有了哪些新的认识呢？2 2生1：我认为亍可以看成是1个饼、1米之类的成，也可以是3个饼或3米之类的:。生2：3-r4的商就是:，:不满1。22 2师：你们了不起，不仅知道了十是1的亍,还明白了十是3的:，也就是可以看作3r4的商，从除法角度理解了分数（如图2所示）。这些研究经验都告诉我们：j比1小。分数的商定义始于分数的份数定义。教学中，通过聚焦4的理解引导学生自主建构,直观地让学生感悟分数的意义是多维的,避表示3份平均分成4份+里有3个+—直一比1小* 4 °N单位“1”表示3份平均分成4份■里有3个+*A■»34-4=4免了新旧定义之间的割裂,有利于学生经验的正向迁移和知识的顺应，从而促使学生对分数的认知逐步走向完善和深刻,其标志便是能够在新旧定义间进行灵活的切换和提取。同样，后续认识分数的“比定义”也可以看作这种构架下分数的自然生长和进一步延伸。因此,这种整体构架式的教学可以为后续教学预留生长接口和联结通道，有助于学生积极完成对分数意义的整体建构，活化了知识并建立了知识之间的联系，利于学生的思维不断走向深刻。（二）注重关联搭建支架，提升思维的逻辑性【教学片段2】师：这些饼平均分给4个小朋友，每人分得总数的几分之几？（课件依次出示三个小组，每组各4人，第一组分8块饼、第二组分4块饼和第三组分1块饼）学生依次得出每组每人都分得总数的:。师：既然每组每人都分得了总数的:，那他们分得的饼的块数肯定相同喽？生：不一样，因为饼的总块数不一样，第一组8r4,每人分到2块，第二组4r4，每人分到1块。师：解决这两个问题为什么都用除法呢？生：因为这里面都有平均分，平均分就要用除法。师：是呀，在平均分的前提下，要求每人分得多少块，可用总块数除以平均分的份数。继续看第三组的问题（出示例2），这时每人分得的块数还能用整数来表示吗？（生齐声表示不能）师：这时每人又分得了多少块呢？能列式解答吗？生：1r4=0.25（块）师：根据平均分还是用除法，她想到结果用小数来表示。还可用其他形式的数来表示吗？生：1r4=：（块）师：小数表示除法算式的商咱们已经研究过，但用分数表示商咱们还是头一回，谁能解释一下这里为什么也可以用:块来表示结果呢？生:把一块饼看作单位“1”，平均分成4份，每份是这块饼的:，所以是:块。

师:解释得很清楚，如果再配以图说明就更加一目了然了。（出示分饼图，引导学生再次理解:块饼。）师:从这块饼中拿走:块,还剩下几个:块,是几块？3生：还剩3个j块，是十块。上述例2的作用是引导学生按知识发生和发展的主线展开学习，初步体会分数与除法的关系。其一，学生联系已有的平均分的意义能自然推想到例2可以用除法计算;其二，当平均分的总数是1块饼时，学生根据分数的基本含义能自然推想出除法算式的结果其实可以用分数:表示。同时为了促使学生主动“创生”和“联结”，在其存疑处还需适时搭建支架。如:“为什么都用除法计算呢?”“这时每人分得的块数还能用整数来表示吗?”帮助学生自然地理解算式的意义以及结果的合理性。又如:学生明确了结果是:块时，教师借助图形进一步建立｝块和j块的表象，避免后续例3研究中对分得3个｝块会说成3块或其他的不当描述。正是由于在知识关联处及时为学生搭建了勾连的支架，学生才能持续深入地探究，积极展开思辨互动，寻根释疑，提升了思维的逻辑性。（三）多元表征核心知识，促进思维的独创性【教学片段3】动手操作，形成经验出示例题3分饼问题，引导学生尝试列式并初步对结果进行猜测，并操作验证。师：通过研究，每人分到了多少块饼？生：我们小组认为每人分得了j块饼。生1：（边描述边在展示台演示）我们小组先把第一块饼平均分4份，每人分:块，再把第二块饼平均分4份，每人分:块，最后一块也这样，最后一共分到3个:块，加起来就是j块。师：他采用了每次分一块饼的做法研究问题，哪一小组还有不一样的做法要展示呢？3生2：（边描述边演示）我们小组先三块饼叠起来，平均分4份，每人分一份，拼起来就得到十块。师：大家注意了没有,她刚刚从叠在一起的三块饼中重重地扯下了这三块饼的:。13每次分1块 3块一起分每人分得3个§块 每人分得3块的+1 3 1 3每次分1块 3块一起分每人分得3个§块 每人分得3块的+1 3 1 33个切块是；块 3块的习是；块课件动态展示如图3所示的每一种分法，教师再次梳理。师：不管哪种分法,每人要么得到3个:块，要么得到3块13 3的成,结果都是成块，所以3-4的商的确可以用亍来表示。想象操作，完善思考师:分饼活动中还有个小组碰到了特殊问题，因为他们组有5个人——把3块饼平均分给5个小朋友,每人分得多少块饼?生：3-5=y（块）师：同意吗？（生纷纷表示同意）怎么来说明你们的结果是合理的？生：用圆片验证。

师：圆片刚刚都用完了。怎么办？（生有的表示要剪，有的表示要画）其实咱们虽然没了圆片，但却有了前一次分饼的经验，借助于经验同样可以完成验证。想试试吗？（生点头）展示要求:请大家看着屏幕上的三块饼，选择前面使用的一种分饼方法，在头脑中分一分进行验证，想好后，同桌之间互相交流一下。1 Q生1：我是想3块一起分，把3块饼叠一起，平均分成5份，每人就分到3块的5，拼一拼就分到了5块。生2:我选每次分一块，先把一块饼平均分5分,每人拿§块，第二块饼平均分5分，每人再拿§块，第三块饼平均分5分，每人再拿§块，一共是f块。师：想象出来的验证过程,厉害了，现实版的最强大脑。照这样继续想下去,4块饼平均分给7个小朋友，每人分得几块饼？5块饼平均分给9个人呢？尽管本节课的重点是分数与除法的关系,但着眼点不能仅停留于关系的揭示，关键是应引领学生通过探究关系的数学活动，理解分数可以看作除法结果的这种商定义的合理性,挖掘其深广度，活化对新知的理解。为此,教师利用实物、操作、图像、语言、符号等,让学生充分表达对这一定义的理解和感悟:首先是通过分饼的实际操作经历了用分数表示商的过程，体会了为什么除法算式的结果可以用分数表示，接着从实际操作转为心理操作，并适时对操作环节进行反思回顾、比较讨论、抽象概括，学生有序地经历动作表征、图像表征直至符号表征的过程，由此对分数“商定义”的认识才真正实现从“过程”到“对象”的转变，实现分数概念在原有基础上创生和发展，促进了思维的独创性。（四）打通核心知识要义，注重思维的批判性【教学片段4】解决问题，加深理解（三组分绳题略）引导比较，沟通联系师：明明每次所分的绳长度各不相同，为什么每份始终是所分绳的:呢？生：每次都是把这些绳子平均分成了5份,表示了其中的1份，所以都是5。师：既然每份都是所分绳的+，为什么每份的长度各不相同呢？图4生：第一次分的是1米，第二次分了2米,第三次分了3米，分的米数不一样，所以每份的米数也不同。图4提升思考，积累经验师：让我们再深入一步，重点关注一下2米的1 1 25（如图4所示）,2米的寻是（生:寻米）,那它相当于1米的几分之几？21生：它相当于1米的寻，因为2米的专里有2个TOC\o"1-5"\h\z1 1 21米的寻2个g米—2米—比1米小12米的亏24-5=-j-（米）55米1米的寻2个g米—2米—比1米小12米的亏24-5=-j-（米）512 2师：2米的寻也好,1米的寻也罢，都是（生:寻米）。1 1师小结：同样是寻米，它可以是2米的；，有2个亍米，用除法算式（生：22:5）表示；同时，它也可以是一个计量单位1米的（生：5）,这种种活动经验2都告诉我们寻米比1米（生：小）。

图63米的言3图63米的言3于5=1师：理解了寻米，咱们再来看看寻米怎么得到呢？生：可以把3米的绳子平均分成5份,表示出其中的1份，因为是3米，所以其中的1份里有3个5米。1 1师:他其实是告诉我们5米就是3米的（生:y），有3个-5米，这里当然可以用哪个式子表示？（生：3;5）生:§米还可以是1米的§。（课件相应呈现如图6