基于理解性任务的小数理解调查研究

基于理解性任务的小数理解调查研究摘要：为了解师生对小数的理解情况，研究开发了小数理解性任务，并对52名五年级学生和15名教师（6名职前，9名在职）进行了测试。结果表明：师生共运用了9种思维策略，其中“组成部分思维”与“等值思维”为两种主要策略；教师和学生的主要思维策略是一致的，教师的思维策略分布更复杂，但思维深度并不高于学生。9种思维策略可概念化为基于符号形式和基于符号意义两种思考路径。基于所建构的思维策略与思维路径，研究认为教学需对小数概念进行整合，建构多元理解下的小数概念整体：在宏观筹划上贯彻概念联系，在概念理解上聚焦概.念结构，在概念发展中注重概念的双重性质。关键词：理解性任务；小数理解；关于学生和内容的知识；思维策略；思考路径一、研究背景小数是小学数学“数与代数”领域的重要组成部分，作为学习内容的小数具有多方面特征。首先，小数与其他数学知识具有双向联系性。一方面，对小数的充分理解需要学习者联系整数和分数知识';反过来，小数学习可以促进学习者的数感提升和代数理解，奠定高等数学的学习基础。其次，小数可以促进其他相关学科的学习。例如，小数算法在生物学、物理学、化学、工程学、经济学、社会学、心理学等许多领域中具有重要价值。2再次，生活中小数也有广泛应用，这也是学生具有各种关于小数的前概念的重要原因疽整体上，小数的这些特征体现了数学学习的三重联系性，即“数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系””小数学习具有一定的困难。结合国内外已有的小数学习研究，可将主要困难分为小数的形式与意义两个方面。在小数的形式上，小数的反直觉性使得学生不能很快地得到小数的心理原型。,例如，相比于理解2盒饼干的意义，理解0.2盒饼干的意义要求学习者投入更多的思考以克服0.2在形式上的抽象性。不仅如此，学生对小数的形式也可能存在思维定式，即认为小数通常表示数量，而不是“整体一部分”关系，具体表现为相比于［盒饼干，。.2盒饼干的意义更难被学习者理解。'「在小数的意义上，学生对小数的数位意义缺乏足够的理解，这可能会导致他们不能理解密度属性。密度属性是指任何两个小数之间存在无数个小数，获得密度属性的概念对于之后学习并概念化有理数具有重要价值。7而像整数、分数等其他概念对小数意义的负迁移是更常见的困难，最典型的例子体现在小数比较上。研究者总结了整数思维（0.4小于0.12,因为4小于12）、分数思维（把0.4当成身，因此0.4小于0.3）与负数思维（把0.6当成负数，因此0.6小于0）等错误思维，这些都源于学习者不恰当地把其他概念的意义迁移到小数中。这些小数学习的困难是本研究的出发点。一方面，解决这些困难需关注学习者对小数的理解程度以及他们可能犯的各种错误。转换对学习者犯错的态度是此方面的前提条件：作为理解的必要发展阶段，错误的产生显示出某种合理性。项］学生的错误并不总是由于粗心，而可能是学生基于先前课堂学习和生活经验中形成的前概念，进行系统化思考的结果「⑴其他研究者进一步探寻了学生犯错的价值：个体上，学生的错误模式是一个诊断学习困难和误解的有力工具口气群体上，多数学生所产生的错误范例，可以用来揭示学生典型的概念误解口幻。另一方面，在教学角度上，教师如何看待学生的小数理解也应得到重视。对教师来说，对学生思维和想法的研究为教学知识提供了重要的基础。口幻希尔认为这是一种教师所应具备的知识,并称为“关于学生和内容的知识”（knowledgeofcontentandstudents,KCS）o这是一种内容知识，也是一种关于学习者的知识，希尔将其定义为与学生如何思考、了解或学习特定内容的知识交织在一起的内容知识。口门结合定义，在研究思路上，KCS的研究侧重针对某一种知识或教学行为，对教师（对学生的预测）与学生间的一致性进行研究口句；同时，在研究意义上，许多研究都表明KCS对学生成就具有积极影响，是改进教师教学的重要“知识工具，，clM8：o具体到小数理解的教学，这种知识表现为教师对学生小数理解情况的了解，主要是对学生进行关于小数的问题解决中所形成的理解、误解和困难等方面的预测。结合上述两方面，对“学生的小数理解”以及“教师对学生小数理解的预测”的调查成为研究的应有之义。本调查指向对小数的理解，并将开发理解性任务作为调查工具。结合已有的数学理解研究口°毋42口可，理解性任务被定义为一种指向理解的任务类型，其目的是考查被试对某个概念的理解程度，具体表现为要求被试对任务中问题进行解答的同时，也要展示对所作解答的解释、分析、反思等认知过程，而对认知过程的分析正是探索理解的关键所在。这一定义既注重呈现学习者的理解程度，也强调展现学习者的认知过程。二、研究方法（一） 研究问题为了解师生关于小数的理解情况，本研究的研究问题包括以下三个：（1）学生对小数的理解性任务的回答情况如何，应用了怎样的思维策略？（2）教师对学生关于小数理解性任务的回答有怎样的预测，应用了怎样的思维策略？（3）通过分析和比较师生的思维策略，可以得到怎样的启示和建议？（二） 被试本研究的被试由52名5年级学生和15名（6名职前和9名在职）小学数学教师组成。学生被试从江苏省南部地区的某所学校中选出。学生被试所使用教材为苏教版小学数学教材，并且已经完成了“小数的意义和性质"单元的学习。6名自愿担任职前教师的人员是南京师范大学不同年级的在读研究生。他们的专业为课程与教学论和小学教育，就业方向都是小学数学教师。9名在职教师平均教龄为9年，个体教龄不超过20年。（三） 工具与程序研究以理解性任务为研究工具。基于研究目的，工具应充分体现开放性，以使被试尽可能地展现其对小数的理解。在此意义上，研究具有一定的扎根性，主要汲取了扎根理论的以下方法论思想口。］：（1）没有预先的理论假设，直接从实际观察入手。研究并不从关于数学理解的理论框架出发，而是旨在从开放性任务中尽可能地占有被试的经验材料。（2）从经验事实中抽象出新的概念和思想。调查的目的不仅仅在于验证被试是否存在已有研究中所呈现的各种困难，更重要的是对调查对象所形成的各种经验材料进行概念化。在此方法论思想的指导下，研究需对任务的

理解水平进行划分，呈现任务的不同理解层次，并聚焦任务对揭示主体理解数学知识情况的功能性。基于威金斯教授对任务的划分，本研究析出层次描述小数理解任务示例层次4远迁移；陌生情境；没有线索；创造问题并解决500.00是小数吗，为什么？层次3近迁移；较陌生情境；有一些线索；发现问题并解决情境：两位同学去超市买钢笔，他们买的钢笔价格分别为12.00元与15.50元。小红说：“我们买的钢笔价格一个是小数一个是整数。”小明说："两个都是小数。"小红把12.00改成了12,然后说：“现在是整数了吧。”小明还是坚持说：“是小数，改了还是小数。”问题：请你评论两位同学的观点并给予充分的说明。层次层次描述小数理解任务示例层次4远迁移；陌生情境；没有线索；创造问题并解决500.00是小数吗，为什么？层次3近迁移；较陌生情境；有一些线索；发现问题并解决情境：两位同学去超市买钢笔，他们买的钢笔价格分别为12.00元与15.50元。小红说：“我们买的钢笔价格一个是小数一个是整数。”小明说："两个都是小数。"小红把12.00改成了12,然后说：“现在是整数了吧。”小明还是坚持说：“是小数，改了还是小数。”问题：请你评论两位同学的观点并给予充分的说明。层次2需要较小的迁移；熟悉情境；有较多线索；解决问题举例说明小数由哪些部分组成层次1不需要迁移；熟悉情境；有操作指示；进行操作500.00的小数部分与整数部分分别是（）；499.99精确到百分位是多少？T判断的策略称为T策略，F判断的策略称为F策略）。表1理解性任务层次三、结果与分析（一）学生思维策略概况在52名学生中，有34名（65%）学生认为500.00是小数，根据学生的回答可将T策略分为5类；有18名（35%）学生认为500.00不是小数，根据学生的回答可将F策略分为3类（见表2）。表2学生思维策略概况T策略人数百分比F策略人数百分比组成部分思维2650.0等值思维1325.00联系思维23.85计数单位思维23.85符号描述思维35.77舍入思维23.85其他23.85意义思维23.85T策略合计3465.38F策略合计1834.62（二）学生思维策略分析组成部分思维是学生T判断中的主要策略,从总数上看，共有一半（50%）的学生使用了该策略。这一策略主要利用了小数的组成定义：小数是由整数部分、小数点和小数部分组成的数。联系思维是一种高阶思维，该思维通过整数与小数间的联系得出T判断。学生表达了这样的信念：整数也是小数的一部分，因此500.00就算可转化为500也依旧是小数。有两名学生使用了计数单位策略，他们都强调了500.00的计数单位，他们的回答如下:“是，因为计数单位"“是，它是由5万个0.01组成的虽然表述不同，但可以推断出这一策略的逻辑关系是：因为500.00的计数单位是0.01,所以它是小数。舍入思维通过四舍五入的过程来进行判断。两名学生做出了如下回答:“是，因为它可能是由499.99精确而来"“是,因为它可能保留了两位小数”。可见，他们都是将500.00作为四舍五入到百分位的结果，从而确定它是小数。最后有两名学生的回答通过分析暂时不能归为某种思维策略，因此，将其记为其他。F策略的主要策略为等值思维，共有四分之一的学生采用该策略。运用等值思维策略的学生通过不同的方式说明：由于500.00=500,所以它不是小数。这一思维的表述方式比较丰富，包括“去掉末尾的0”“省略末尾的0”“不看或不写末尾的0”等。但总体来说，学生的表述更倾向于强调去掉500.00末尾（小数部分）的0。符号描述思维是另一种F策略，三名学生基于对符号的某种描述否定了500.00，他们的表述如下：“不是，因为小数点后为不是。的数（才是小数）”“不是，500.00小数点后面的2个。没有数字”“不是，后面要有数”。他们都从小数部分需要有数（形式的）这一点出发来进行判断，这类似于T策略中的组成部分思维，但二者对数的理解不同。意义思维是最后一种F策略，有两名学生强调：500.00中的小数点以及后面的0都是没有意义的，因此它不是小数。区别于符号形式策略，他们从符号的意义而不是形式出发，表达了500.00的小数部分缺乏意义。（三）教师预设的思维策略概况教师需要同时思考学生可能存在的T策略和F策略，15名教师共预设39个策略，其中T策略有22个，F策略有17个。根据教师的描述进行分类，可将T策略分为5类，F策略分为4类（见表3）。表3教师预设的思维策略概况T策略次数百分比F策略次数百分比组成部分思维1435.90等值思维1025.64最简形式思维12.56生活价值思维12.56最简形式思维12.56意义思维37.69生活价值思维25.13舍入思维37.69意义思维410.26T策略合计2256.41F策略合计1743.59（四）教师预设的思维策略分析教师所预设的思维策略要略多于学生，但主要的T策略与学生一致，仍然是组成部分策略,而且在表述上也与学生相近。另外还有最简形式思维和生活价值思维。只有一名教师提出最简形式思维策略，其表述为“500.00算小数，是没有化简的小数生活价值思维是教师独有的T策略，由一名教师提出，其表述为“我在超市收据中看到过”。也就是说，这样的符号形式在生活中具有价值，所以它是小数。在三名教师的预设中，意义思维也属于T策略。他们认为，500.00的小数部分0是有意义的，所以它是小数。例如，其中一名教师指出“有计量单位的时候是小数，小数点后面的有意义”，而另一名教师则指出小数部分的0表示更高的精确程度。有三名教师提及了舍入思维策略，与学生一致，将500.00作为四舍五入到百分位的结果，从而确定它是小数。在F策略上，等值思维同样也是教师F策略中的主要思维策略，相比学生，教师对此策略的表述要更加强调等值性，如“它就是500”“它等于500”“它们表示的数量相等”等。正是这种相等关系使该策略使用者认为500.00不是小数。此外，教师的F策略还包括最简形式思维、生活价值思维与意义思维。最简形式思维上，教师认为：“如果有同学认为它不是小数，可能因为它不是最简形式，最简形式其实是500。”两名教师从生活价值上否定了500.00是小数，他们的表述分别是：“我们生活中在读的时候，就读五百，怎么就是小数了呢"“写收据的时候500元整通常写成500.00元”。而四名教师将意义思维作为他们的F策略，他们都指出500.00的小数部分无意义，这与学生的想法一致。四、讨论与建议（一）概念化：从思维策略到思考路径概念化是研究的目的之一，从师生回答的整体情况上看，研究共概括出9种思维策略。概念

化过程以这9种思维策略为出发点，并进一步思考如下问题：一种思维策略如何被得出？其背后存在着怎样的思考机制？不同的思维策略是否存在相同的思考路径？针对这些问题，本研究进一步将9种思维策略概念化为两种不同的思考路径。第一种路径是基于符号形式的思考路径，组成部分思维、符号描述思维、计数单位思维和最简形式思维属于这一路径。组成部分思维意味着从小数的定义上进行思考，而这种定义本身就是针对小数的符号形式，即包含整数部分、小数点、小数部分的形式就是小数。符号描述思维对小数部分的零进行了探讨与判断，该思维从形式上否定了小数部分的零，认为它们不应存在。计数单位思维以数的计数单位是否是十分之一或更小为判断依据，而最简形式思维则以数的形式是否最简作为判断依据。第二种路径是基于符号意义的思考路径，等值思维、联系思维、意义思维、生活价值思维和舍入思维属于这一路径。学生在判定给定的对象是否为这一概念的例子时，并不一定会用到定头脑中和概念名称相联系的思维图像以及描述它们所有特征的性质「花等值思维跳过了小数的形式定义，直接从数的等值性意义来思考这个问题，并将相等关系泛化为相同意义关系。联系思维从十进制系统上思考小数与整数的关系，并指出整数是一种特殊的小数，从而从更高位的视角得出结论。意义思维和生活价值思维都围绕着500.00小数部分的0是否有意义来作判断。区别在于，前者只指出其有或无意义，而后者则从现实生活中的实例来说明它是否有意义。舍入思维是一种意义的变式，它表达了这样的信念：当500.00是通过四舍五入得到的一个近似数，它的小数部分才有意义，它才是小数。基于两种思考路径，可以形成一个关于小数概念理解的结构图（见图1）。可以看出，符号形式路径的各种策略间相互联系，都可以看成组成部分思维的某种变式，但在符号意义路径中，各种思维策略都有各自的出发点，如大小、整体系统、现实意义、动态性等，这些策略间并没有直接的相关性。这在某种程度上也反映出符号形式的统一性特征和符号意义的广泛性特征。义，在大多数情况下学生依赖概念意象，即学生组成部分思维符号描述思维计数单位思维最简形式思维基于小数组成定义对小数部分的零的描述指出该数的计数单位判断该数是否是最简形式等值思维联系思维意义思维生活价值思维舍入思维图1小数符号理解的认识结构基于数值联系整数与小数分析小数部分的零的意义意义的生活实例四舍五入的操作师生间的比较及启示师生间的比较及启示（二）一致性分析：从不同被试群体上看，教师预设与学生的主要思维策略具有较高的一致性：组成部分思维与等值思维是师生共同的主要思维，说明这两种思考“500.00是小数吗”的方式更具有代表性。但也可以看到，接下来的舍入思维及意义思维是师生所共有的，而联系思维、符号描述思维与计数单位思维是学生独有的，最简形式思维和生活价值思维则是教师所独有的。这又从另一方面显示：（1）教师只能部分预测学生可能的思维策略；（2）从学生特有的联系思维上看出，教师低估了学生联系整数与小数的能力；（3）从教师特有的生活价值思维同时也看出，其高估了生活经验对小数理解的影响力。从后两方面也可看出，学生倾向于“更正式"的回答，相反，教师则显得更加开放且“大胆这可能受到学习氛围、调查情境等多方面的影响「和从思维策略的分布上看，教师预设的思维策略更具复杂性。一方面，教师的思维策略数量更多；另一方面，在教师的预设中，思维策略与判断并不具有对应性。某些思维既是T判断的理由，又是F判断的理由，这在学生的思维中是不存在的。从研究结果中发现，最简形式思维、生活价值思维、意义思维这三种思维被同时作为T判断和F判断的策略。以下试举几例：（1）最简形式思维：“500.00算小数，是没有化简后的小数”是T判断的理由；“它不是小数，可能也会认为它不是最简形式，最简形式其实是500”是F判断的理由。（2）生活价值思维:“我在超市收据中看到过”是T判断的理由；“写收据的时候500元整通常写成500.00元”是F判断的理由。（3）意义思维：某位被试将意义思维同时作为T判断和F判断的策略，其回答如下：“在没有任何意义的情况下500.00不算是一个小数，没有必要这样写，它就是500,为什么要写成小数的形式？除非有具体的意义，比如在一组数据中，需要保留两位小数，此时它才具有形式的意义。”虽然教师预设的思维策略更复杂，但同时，联系思维从概念间的关系出发思考问题，是一种较为高级的思维，却为学生所独有，这说明在思维深度上教师的预设低于学生实际。师生间的一致性分析在一般意义上为教学提供了一定的启示。（1）教师应为学生提供一种开放的教学氛围，为学生持续地、开放地思考提供机会。这种环境与氛围的营造可以促成学生形成“不畏犯错，勇于表达”的思维习惯o[23：（2）教师应引导学生尝试运用多种思考路径解决问题,把解决问题的过程也作为一种锻炼思维能力的过程。这与培养学生数学素养的理念是一致的「2句（3）教师也需要持续地向学生学习，代入“学习者身份”。站在学生的立场上思考，这不仅是一种人文关怀，而且是知识教学的应然要求。mi（三）教学整合：建构多元理解下的小数概念整体研究应最终落脚于具体的小数教学。结合课标、教材和研究结果，本研究提出教学需对小数概念进行整合，建构多元理解下的小数概念整体：在宏观筹划上贯彻概念联系，在概念理解上聚焦概念结构，在概念发展中注重概念的双重性质。概念联系：建构“整数一小数一十进制数"的学习路径小数教学需基于整数与小数之间的联系建构学习路径。在几乎每个思维策略中，特别是联系思维上，问题都围绕整数500与小数500.00而讨论。这表明，如何处理整数与小数的关系是学习小数的一个贯穿始终的关键点。谢尼娅•瓦姆瓦库西（XeniaVamvakoussi）指出应切幻，自然数作为小数学习的先在知识，其可能会阻碍学生对小数的理解，主要反映在两个方面：（1）自然数的离散性与小数的连续性之间的矛盾；（2）自然数的符号表示是唯一的，而小数则不唯一。她提出了相应的策略：理解小数需要对学生先前知识进行重组，即概念变化（conceptualchange）o对此，她强调，概念变化不能通过附加机制（即将自然数的认识机制直接附加到小数上）来实现。当将新信息添加到不兼容的知识库中，会产生合成模型，即一种多种认识机制共存的认知模型。她进一步指出，误解与合成模型都是学习过程的一个阶段：学生对小数概念的获得是一个渐进过程，是通过产生并反思一系列的误解或合成模型，最终形成一个稳定的概念。这启发我们，在教学中要反思小数与整数的联系与区别。教师往往引导学生像看待整数一样看待小数，这在教学初期是一个让学生接纳小数的有效方式，但对小数的认识不能停留于此，需要寻找适时的契机促进概念变化，让学生能够抛弃整数的附加机制来学习小数。教学的重点在于通过一系列教学活动使学生从混乱的合成模型向稳定的概念结构发展，并最终能够通过小数来反思整数，这可以促进学生发展一种十进制思维,形成把整数和小数都看成十进制数的“数整体”概念。概念结构