二次型及其标准形

二次型及其标准形第1页，共53页，2023年，2月20日，星期三

学习要点：

1.了解向量的内积、长度及正交等知识.2.掌握实对称矩阵的对角化方法.3.重点掌握实二次型的标准化方法，主要

有正交变换和配方法两种常用方法：

4.了解正定二次型的性质、判定和应用.第2页，共53页，2023年，2月20日，星期三6.1欧氏空间n

维向量空间是三维向量空间的直接推广，但是只定义了线性运算，而三维空间中有向量夹角和长度的概念，它们构成了三维空间丰富的内容.我们希望把这两个概念推广到n

维向量空间中.在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积)建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积设则第3页，共53页，2023年，2月20日，星期三称[x,y]为向量x与y的内积.令定义6.1(内积的定义)设有n维向量定义了内积的实向量空间称为Euclid空间.第4页，共53页，2023年，2月20日，星期三性质6.1(内积的性质)定义6.2（向量的长度）长度（或范数）.称为n维向量x的第5页，共53页，2023年，2月20日，星期三定理6.1(Cauchy-Schwarz不等式)即这由的判别式易知.(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证)性质6.2（向量长度的性质）(1)非负性当时，；当时，(2)齐次性(3)三角不等式第6页，共53页，2023年，2月20日，星期三定义6.3（单位向量）当时，称x为n维单位向量.定义6.4（向量的夹角）在欧氏空间V中，所确定.任意两个非零向量的夹角由定义6.5（向量的正交）在欧氏空间V中，若，称向量x和y正交.向量是与同方向长度是1的向量，称为对单位化.若x=0，则显然x与任何向量都正交.第7页，共53页，2023年，2月20日，星期三

若一个不含零向量的向量组中的向量两两正交:，则称该向量组为正交向量组.又如果这些向量都是单位向量:，则称该向量组为规范正交向量组.

若该向量组是一个向量空间V

的基，又分别称为向量空间V

的正交基和规范正交基.定义6.6（规范正交基）第8页，共53页，2023年，2月20日，星期三例如:是向量空间R3的一个规范正交基(通常称为自然基).再如:是下面向量空间V的一个规范正交基.第9页，共53页，2023年，2月20日，星期三证明设是正交向量组正交向量组必线性无关.定理6.2第10页，共53页，2023年，2月20日，星期三

设是向量空间V的一个基(坐标系),如何在向量空间V中建立(规范)正交基(坐标系)?这个问题就是…找与等价的正交向量组问题第11页，共53页，2023年，2月20日，星期三设线性无关令则两两正交,且与等价.是与等价的规范正交组定义6.7（施密特正交化过程）第12页，共53页，2023年，2月20日，星期三求的一个规范正交基,并求向量解

易知线性无关,由施密特正交化过程在该规范正交基下的坐标.例6.3第13页，共53页，2023年，2月20日，星期三再单位化

当建立规范正交基(相当于标准直角坐标系)后,求一个向量的坐标就特别方便两边分别与内积第14页，共53页，2023年，2月20日，星期三A是正交矩阵定义6.8（正交矩阵）若n阶方阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵.等价定义A

的列组是规范正交组A

的行组是规范正交组AAT=EA-1=AT第15页，共53页，2023年，2月20日，星期三证

(只证第一条)第16页，共53页，2023年，2月20日，星期三(1)A是正交矩阵，则A-1和A*都是正交矩阵；(2)A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；(3)A是正交矩阵，则；(4)P是正交矩阵，则，即正交变换保持向量的长度不变。性质6.4第17页，共53页，2023年，2月20日，星期三对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.实对称矩阵的特征值必为实数.(证明自学)从而特征向量可取到实的.证明6.2实对称矩阵对角化定理6.3定理6.4第18页，共53页，2023年，2月20日，星期三定理6.5是A的特征值。设A是一个n阶实对称矩阵，则必存在一个n阶正交矩阵Q，使得，其中对称矩阵必可正交对角化。即对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数.即等于其对应的最大无关特征向量的个数.即推论6.6第19页，共53页，2023年，2月20日，星期三把对称矩阵正交对角化。第1步:求特征值。(特征值必都是实数)例6.7第20页，共53页，2023年，2月20日，星期三第2步:求线性无关的特征向量.对，解方程组求得基础解系(即最大无关特征向量)第21页，共53页，2023年，2月20日，星期三对，解方程组求得基础解系(即最大无关特征向量)前面的第22页，共53页，2023年，2月20日，星期三第3步:检验重特征值对应的特征向量是否正交，如果不正交,

用施密特过程正交化，再把正交的特征向量单位化。第23页，共53页，2023年，2月20日，星期三第4步:把求得的规范正交特征向量拼成正交矩阵.单位化：则令第24页，共53页，2023年，2月20日，星期三在平面解析几何中，我们知道标准方程中的图形为圆。的图形为椭圆。的图形为双曲线。对于一般二次曲线的图形是什么？§6.3二次型及其矩阵表示第25页，共53页，2023年，2月20日，星期三引言判别下面方程的几何图形是什么？作旋转变换代入(1)左边，化为：见图所示.第26页，共53页，2023年，2月20日，星期三称为二次型。（1）含有n个变量的二次齐次多项式定义1：第27页，共53页，2023年，2月20日，星期三例如：都是二次型。不是二次型。第28页，共53页，2023年，2月20日，星期三取则则（1）式可以表示为二次型用和号表示第29页，共53页，2023年，2月20日，星期三第30页，共53页，2023年，2月20日，星期三令则其中A为对称矩阵。二次型的矩阵表示（重点）注1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。2、其对角线上的元素恰好是的系数。3、的系数的一半分给可保证第31页，共53页，2023年，2月20日，星期三例如：二次型注：二次型对称矩阵把对称矩阵称为二次型的矩阵；也把二次型称为对称矩阵的二次型对称矩阵的秩称为二次型的秩。二次型定义2：第32页，共53页，2023年，2月20日，星期三例1写出下面二次型f的矩阵表示，并求f的秩r(f)。解问：在二次型中,如不限制A对称,A唯一吗?第33页，共53页，2023年，2月20日，星期三定义只含平方项的二次型称为二次型的标准形(或法式)。平方项系数只在中取值的标准形(注：这里规范形要求系数为1的项排在前面，其次排系数为-1的项。)称为二次型的规范形。第34页，共53页，2023年，2月20日，星期三简记设若一、非退化线性变换（可逆线性变换）为可逆线性变换。

当C是可逆矩阵时,称§6.4化二次型为标准型当C是正交矩阵时，称为正交变换。第35页，共53页，2023年，2月20日，星期三对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。即二次型经过可逆线性变换使得为什么研究可逆的变换？即经过可逆线性变换可化为对于这种矩阵的关系我们来进行定义第36页，共53页，2023年，2月20日，星期三矩阵的合同：证明定理设A为对称矩阵，且A与B合同，则注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性第37页，共53页，2023年，2月20日，星期三二.化二次型为标准形正交变换法（重点）配方法目标：问题转化为：第38页，共53页，2023年，2月20日，星期三回忆：所以，对于任意实对称矩阵A,总存在正交矩阵C对于任意实对称矩阵A,总存在正交矩阵C第39页，共53页，2023年，2月20日，星期三主轴定理(P191定理6.2.1)1.正交变换法(重点)第40页，共53页，2023年，2月20日，星期三解

二次型的矩阵为例1

用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。第41页，共53页，2023年，2月20日，星期三3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：第42页，共53页，2023年，2月20日，星期三5)写出正交变换X=QY，则可得标准型第43页，共53页，2023年，2月20日，星期三定理

二次型必可化为规范形。证设二次型f(x)=xTAx(r(A)=r)经正交变换化为:再做一次可逆的线性变换则f

化为§6.5正定二次型与正定矩阵第44页，共53页，2023年，2月20日，星期三定理(惯性定理)

任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形,规范形是唯一的。其中r为f

的秩，p为正惯性指数，r－p为负惯性指数。第45页，共53页，2023年，2月20日，星期三都有⒉正定二次型定义设为实二次型(A为实对称矩阵),如果对于任意非零向量称f为正定(半正定)二次型,称正定(半正定)二次型f的矩阵A为正定(半正定)矩阵。二次型的对称矩阵A是正定（半正定）矩阵。二次型正定（半正定）第46页，共53页，2023年，2月20日，星期三例1判别下列二次型的正定性故半正定.1.2.解1.任代入都有2