Leslie人口模型及例题详解

载Leslie人口模型现在我们来建立一个简单的离散的人口增长模型，借用差分方程模型，仅考虑女性人口的发展变化。如果仅把所有的女性分成为未成年的和成年的两组，则人口的年龄结构无法刻划，lie口按年龄组变化的离散模型。模型假设(1)将时间离散化，假设男女人口的性别比为1:1，因此本模型仅考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为S岁，将其等间隔划分成m个年龄段，不妨假设S为m的整数倍，Sm考虑同一时间间隔内人口数量的变化;ntit次观察的女性总人数，记in(t)=[n(t),n(t),^,n(t)]12m第i年龄组女性生育率为b(注：所谓女性生育率指生女率)，女性死亡率为d，记iisdbd不随时间变化;iiii(3)不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响;(4)生育率仅与年龄段有关，存活率也仅与年龄段有关。建立模型与求解iii=1 i+1ii写成矩阵形式为n(t+1)=Ln(t)tt1载 (0K记^^0O00^Obb)m0)n12m假设n(0)和矩阵L已经由统计资料给出，则 (1) (2)为了讨论女性人口年龄结构的长远变化趋势，我们先给出如下两个条件：易见，对于人口模型，这两个条件是很容易满足的。在条件(i)、(ii)下，下面的结果是成立的：定理10定理2110定理3 10 其中c是与n(0)有关的常数。定理1至定理3的证明这里省去。由定理3的结论知道，当t充分大时，有载ntctn0定理4ii12i112m充分必要条件为q(入)=1(6)所以当时间充分大时，女性人口的年龄结构向量趋于稳定状态，即年龄结构趋于稳定形态，而各个年龄组的人口数近似地按入－1的比例增长。由(5)式可得到如下结论：根据(6)式，如果入=1，则有m记 (7)R称为净增长率，它的实际含义是每个妇女一生中所生女孩的平均数。当R>1时，人口递Leslie模型有着广泛应用，这里我们给出一个应用的例子，供大家参考。公园大象管理南非的一家大型自然公园放养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象11000头左右，通常都是采用捕杀或者迁移的方法来实现。统计表明，每年约处理600-800头大象。种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。载公园有一些关于大象的资料，供建模参考：1几乎不再迁入或迁出大象；2目前性别比接近1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；为1.35%4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月；5避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,因为大象通常每3.5年生育1次,所以按月循坏的方案是不足取的；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7初生象存活到1岁的比例为70%-80%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上,大象一般只活到70岁；8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑；公园管理部门有一份过去两年移出公园大象的粗略统计,不幸的是没有捕杀或公园大象的具体数据；你的任务是,构造一个模型,利用模型研究如何采用避孕措施控制公园大象的总数.同时需要完成以下任务：1建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构；2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响,评价一下年龄结构的变化以及对旅游的影响,(你可能被要求观察30-60年)；3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少,评价如何根据经济效益平衡两种方案；4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这个问题；5公园公管理部门正在构造模型,特别希望批驳那些以缺乏完整数据为由而嘲笑利用模型指导决策的观点.希望你的模型包括一份技术报告能给公园管理部门提一些建议，提高公园管理部门的信心,除此之外,你的报告,还应该包括一个详细的技术流程(最多3页)回答公共关心的6假如非洲其它公园对你的模型感兴趣,有意利用你的模型,请为公园大象数在300-25000头规模的公园提供一份避孕计划,顺便考虑一下存活率稍有不同或者可以有迁移的情况.附过去两年的迁出数据年龄0123456789总量1103777170686158515251母象150364129313028242229总量298746961605452595857母象257343329342827312525年龄10111213141516171819总量151505148474948474342母象127272627262528271925总量260636460635952554950母象226363830333424302130年龄20212223242526272829总量142373941424345484947母象118161924172521262927总量253576553565053494340母象229274023292421262416年龄30313233343536373839总量146424444464947484641载母象124222022242423252124总量238353733203330292926母象217161818151812171613年龄40414243444546474849总量141424338343433303526母象124192620201516132011总量210242522212211212119母象261114101012811129年龄50515253545556575859总量12118145976044母象110984443032总量2155109765470母象26454423240年龄6061626364656667686970总量143221302102母象121110300102总量223020201000母象221000101000假设与分析1大象性别比接近1：1，初生象的性别比也是大约1：1，采取控制后，也希望维持这个比例；2过去两年迁出的大象是随机抽样，其结构反映了象群总体的年龄结构；载3避孕是随机的，母象是否避孕是不可识别的，假设各个年龄的母象是等比例避孕的，比k通过调节k来控制公园大象数量；4母象初次怀孕大约在10-12岁,简化假设大象初孕时间为11岁，当前状态下，成年象的i设初生象活到1岁的存活率为s。05避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；且无论打避孕针前母象是否怀孕，一旦打了避孕针，母象就被避孕或中止怀孕，平均每年有y比例的母象处于避孕状态；每年母象的避孕率为n，每年的避孕方案时瞬时完成的。大象的年龄结构是稳定的。理与分析 (1)2-60岁大象的存活率与年龄结构母象生育率为r=1/3.5+(1+0.0135)/2=0.1448头/年12岁的母象生育母象的生育率为r/6。s以下是第一年迁移出0至70岁大象数据x1=[103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,44,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4,4,4,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2];以下是第二年迁移的0-70岁大象数据载x2=[98,7469616054525958576063646063595255495053576553565053494340383537332033302929261024252221221121211915510976547023020201000];x=x1+x2;x0=x/norm(x,1);以下是第一年迁移的0-59岁母象数据y1=[503641293130282422292727262726252827192518161924172521262927242220222424232521242419262020151613201110984443032];以下是第二年迁移的0-59岁母象数据y2=[57343329342827312525263638303334243021302927402329242126241617161818151812171613611141010128111296454423240];考虑到有些数据较小及抽样的随机性，我们取两次抽样的平均值作为分析的基本数据。t1=x1(2:11);t2=x2(2:11);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9672t1=x1(12:21);t2=x2(12:21);tt=t1+t2;tt1=tt(1:9);tt2=tt(2:10);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9820t1=x1(12:31);t2=x2(12:31);tt=t1+t2;tt1=tt(1:19);tt2=tt(2:20);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=载0.9859t1=x1(12:41);t2=x2(12:41);tt=t1+t2;tt1=tt(1:29);tt2=tt(2:30);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9765t1=x1(12:51);t2=x2(12:51);tt=t1+t2;tt1=tt(1:39);tt2=tt(2:40);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9771t1=x1(12:60);t2=x2(12:60);tt=t1+t2;tt1=tt(1:48);tt2=tt(2:49);tn=tt2./tt1;mean(tn)ans=0.9719n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;endn1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1;N1=n1(12:50);xx=x(12:50);xx=100*xx/norm(xx,1);N1=100*N1/norm(N1,1);t=1:39;plot(t,N1,t,xx);axis([10,40,0,5]);title('图1')载554.543.532.521.510.50图12540303520通过以上分析大致可以得到，1-60岁大象的存活率约为0.98。0-70岁年龄结构向量见y0=100*x0/norm(x0,1);a=0:70;bar(a,y0,'stacked');title('图2')图图2.54.53.521500012m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.029;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.977/1.029;endm1;fori=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);endm1;m1=100*m1/norm(m1,1);bar(a,m1,'stacked');title('图3稳定的年龄结构')图图3稳定的年龄结构0102030405060708076543210plot(a,m1,'r-',a,y0,'b-.');title('图4年龄结构当前状态与稳定状态比较')图图4年龄结构当2030定状态比较0前状态与稳4076543210000polyfit(y0,m1,1)ans=载0.1981-0.0694从所给的数据来看，象群的年龄结构还没有达到相对稳定的状态。根据以上数据，大体可以得到l=zeros(71,71);l(1,13)=0.1448/6;l(2,1)=0.75;fori=14:61l(1,i)=0.1448;endl;forj=3:61l(j,j-1)=0.98;end;l;fork=62:71l(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;endl;eig(l);矩阵的唯一正特征值为1.0322。对于不同的存活率，得到的唯一正特征值为：00记0121301i012由(6)式得载q(1)=+++=1611y==0.376,y=0.6240.1448ss11[1/6+s(1s48)/(1s)]012221-1/(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98-0.98^49)/0.02))ans=0.6240即每年应该有62.4%的母象处于避孕状态。为了保证有62.4%的母象处于避孕状态，下面分析每年应该打避孕针母象的比例n。在假设3和假设5的前提下，如果每年打避孕针母象比例为n。母象可以分成3类：即当年被打避孕针而上一年没有被打避孕针或上一年被打避孕针而本年没有被打避孕针,比例为2n(1n)；连续两年被打避孕针n2；连续两年没有被打避孕针。只有最后一类母象具有生育能力。因此，只需要n满足方程y=2n(1n)+n21-sqrt(0.376)ans=0.3868ans=0.38680.3868*5500ans=2.1274e+003在方案实施过程中，实际上根本不需要打这么多针，因为许多小象还是可以识别的。可以采取随机抽样的打针方式，对于抽到的小象只计数不打针，直至计满2127头母象，就算完成当年任务。采取打避孕针的方案对象群的年龄结构是由一些影响的，下面给出了打与不打避孕针情况下稳定的象群年龄结构与各你阿爸年龄段象群数的比较。m1=zeros(1,71);m1(1)=1;m1(2)=0.75/1.0322;fori=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0322;载end;m1;fori=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);end;m1;n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(2)=0.75;fori=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.98;end;n1;fori=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end;n1;subplot(1,2,1)a=0:70;plot(a,m1,'r-',a,n1,'b--');title('图5年龄结构比较');axis([0,70,0,1]);M1=5500*m1/norm(m1,1);N1=5500*n1/norm(n1,1);a=0:70;subplot(1,2,2)plot(a,M1,'r-',a,N1,'b--')title('图5各年龄段大象数比较图')axis([-0,70,0,300])图图5年龄结构比较图5各年龄段大象数比较图010.90.80.70.60.50.40.30.20.1000通过以上两个图的比较，可以发现采取避孕措施，将使幼象、小象数减少，中老年象数增加。由于采取避孕措施，使得初生小象数减少，因此会不可避免地引起象群年龄结构的改L=zeros(71,71);L(1,13)=0.1448*0.376/6;L(2,1)=0.75;fori=14:61L(1,i)=0.1448*0.376;end;L;forj=3:61L(j,j-1)=0.98;end;L;fork=62:71L(k,k-1)=0.98-0.98*(k-61)/10;end;L;eig(L);n15=L^15*x0';n30=L^15*n15;n60=L^30*n30;n15=100*n15/norm(n15,1);n30=100*n30/norm(n30,1);n60=100*n60/norm(n60,1);M15=5500*n15/norm(n15,1);M30=5500*n30/norm(n30,1);M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,55*y0)title('图6a避孕前种群量分布');axis([0,70,0,250])图图6a避孕前种群量分布00bar(a,M15)title('图6b避孕15年后种群量分布');axis([0,70,0,250])图图6b避孕15年后种群量分布25020050040302050000bar(a,M30)title('图6c避孕30年后种群量分布');axis([0,70,0,250])图图6c避孕30年后种群量分布2502005004030205060700M60=5500*n60/norm(n60,1);bar(a,M60)title('图6d避孕前种群量分布');axis([0,70,0,250])图图6d避孕前种群量分布250200500010203040506070n70=L^70*x0';n70=100*n70/norm(n70,1);k1=100*m1/norm(m1,1);图7给出了避孕前后年龄结构稳定状态的比较plot(a,k1,'r-',a,n70,'b-.');title('图7避孕前后稳定的年龄结构');axis([0,70,0,5])后后稳定的年龄结构4050图7避孕前54.543.532.521.500数据不确定性对结果的影响01211y==0.421,y=0.5790.1448ss11[1/6+s(1s48)/(1s)]012221-1/(0.1448*0.7*0.95^11*(1/6+(0.95-0.95^49)/0.05))ans=0.01151-sqrt(1-0.0115)ans=载0.00581-1/(0.1448*0.8*0.99^11*(1/6+(0.99-0.99^49)/0.01))ans=0.74661-sqrt(1-0.7466)ans=0.4966每年需避孕的母象比例为0.6%—49.7%。对于每年可以迁移50-300头大象及s=0.75,s=s=0.98，下面分析避孕方案的变化0120121301i012q(p)=/p12+/p13++/p60=161令001122130114012q(p)='+'++'=161012221-1/(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98-0.98^49)/0.02))ans=0.62401-sqrt(0.376)ans=0.3868p=1.01;1-p^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p).^49)/(1-0.98./p)))载ans=0.48481-sqrt(0.5152)ans=0.2822p=1.02;1-p.^12./(0.1448*0.75*0.98^11*(1/6+(0.98./p-(0.98./p)^49)/(1-0.98/p)))ans=0.30801-sqrt(0.692)ans=0.1681p=1.025;