第九节二项分布与正态分布

考点梳理1．相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称

．(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝

，P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝

．(3)若A与B相互独立，则

，

，

也都相互独立．(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，则

．A、B是相互独立事件P(B)P(A)·P(B)A与B相互独立现在是1页\一共有35页\编辑于星期五考点梳理2．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有

结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是

的．(2)二项分布在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为k，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝

，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．两种一样现在是2页\一共有35页\编辑于星期五考点梳理现在是3页\一共有35页\编辑于星期五助学微博3σ原则(1)服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，简称为3σ原则．(2)正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．一个原则二项分布事件发生满足的四个条件(1)每次试验中，事件发生的概率都相同；(2)各次试验中的事件相互独立；(3)每次试验结果只有发生、不发生两种情形；(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．四个条件现在是4页\一共有35页\编辑于星期五二项分布与两点分布有何关系？【提示】

两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布．

现在是5页\一共有35页\编辑于星期五B现在是6页\一共有35页\编辑于星期五2．(2011·湖北高考)如图10－8－1，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为() A．0.960B．0.864C．0.720D．0.576B现在是7页\一共有35页\编辑于星期五现在是8页\一共有35页\编辑于星期五3．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立．则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．0.128【解析】

此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明该选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.现在是9页\一共有35页\编辑于星期五 (2011·山东高考)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立． (1)求红队至少两名队员获胜的概率； (2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列． 【思路点拨】

(1)红队至少两名队员获胜，则甲、乙、丙三人全胜，或甲、乙、丙中仅有两人胜，另一个不胜，然后利用相互独立事件与互斥事件的概率公式计算；(2)ξ的可能取值为0,1,2,3，求ξ取每一个值的概率，列出分布列．相互独立事件的概率

现在是10页\一共有35页\编辑于星期五现在是11页\一共有35页\编辑于星期五现在是12页\一共有35页\编辑于星期五

1．解答本题关键是把所求事件包含的各种情况找出来，从而把所求事件表示为几个事件的和事件． 2．独立事件的性质：若事件A与事件B相互独立，那么事件与事件B、事件A与事件、事件与事件都相互独立． 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面计算难以入手时，可从其对立事件入手计算．现在是13页\一共有35页\编辑于星期五现在是14页\一共有35页\编辑于星期五现在是15页\一共有35页\编辑于星期五现在是16页\一共有35页\编辑于星期五现在是17页\一共有35页\编辑于星期五现在是18页\一共有35页\编辑于星期五现在是19页\一共有35页\编辑于星期五现在是20页\一共有35页\编辑于星期五【思路点拨】

(1)甲、乙、丙各购买一瓶饮料是否中奖，相互独立，由相互独立事件同时发生的概率乘法公式，第(1)问可求；(2)依题意随机变量ξ服从二项分布，不难求出分布列．独立重复试验与二项分布

现在是21页\一共有35页\编辑于星期五现在是22页\一共有35页\编辑于星期五现在是23页\一共有35页\编辑于星期五 1．(1)第(1)问的实质是“甲、乙、丙三人中恰有甲一人中奖”，这与“甲、乙、丙三人中恰有一人中奖”不同． (2)独立重复试验是在同样的条件下重复进行，各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的． 2．求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后求概率．

现在是24页\一共有35页\编辑于星期五现在是25页\一共有35页\编辑于星期五现在是26页\一共有35页\编辑于星期五现在是27页\一共有35页\编辑于星期五错解现在是28页\一共有35页\编辑于星期五现在是29页\一共有35页\编辑于星期五 错因分析：(1)对事件关系判断不明确，3人选择项目所属类别互不相同的事件AiBjCk(i，j，k互不相同)共有A＝6种情形，误认为只有A1B2C3发生，导致计算错误． (2)在第(2)问中，对ξ与η的转化搞不清，找不到ξ＝3－η的关系，难以利用二项分布，导致直接求P(ξ＝k)(k＝0,1,2,3)繁杂计算致误． 防范措施：(1)准确理解事件特征，理清事件间的关系，强化事件关系判断的训练，努力减少此类错误的发生． (2)针对第(2)问，要注意合理分类与转化，利用二项分布简化事件概率的计算．

现在是30页\一共有35页\编辑于星期五现在是31页\一共有35页\编辑于星期五

(2011·湖北高考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝() A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2正态分布下的概率

【思路点拨】根据正态曲线的对称性求解．

C现在是32页\一共有35页\编辑于星期五

(2011·湖北高考)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝() A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2正态分布下的概率

【解】

由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2，由题意知正态曲线的对称轴为直线x＝2，P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6，∴P(0＜ξ＜2)＝P(0＜ξ＜4)＝0.3.C现在是33页\一共有35页\编辑于星期五

1．求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0,4]关于x＝2对称． 2．关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 (1)把所求问题转化为已知概率