神经网络2-hopfield网络课件

智能控制技术电信学院

宋晓茹第七章神经网络控制系统

7.4反馈神经网络模型——Hopfield网络

Hopfield网络属于无监督学习神经元网络。Hopfield网络是单层反馈网络，是一种全连接加权无向图，可分为连续型和离散型二种形式。

7.4反馈神经网络模型——Hopfield网络

1982年，J．Hopfield提出了可用作联想存储器的互连网络，这个网络称为Hopfield网络模型，也称Hopfield模型。Hopfield神经网络模型是一种循环神经网络，从输出到输入有反馈连接。Hopfield网络是单层反馈网络，有n个神经元节点，每个神经元的输出连接到其它神经元的输入。各个节点自己没有反馈，图中的每个节点都附有一个阈值和权系数。每个节点都可处于一种可能的状态（1或－1），即当该神经元所受的刺激越过其阈值时，神经元处于一种状态（比如1）。否则神经元就始终处于另一状态（比如－1），图中顶点的个数就是该神经网络的阶数

。

从时域上来看，Hopfield网可以用一组耦合的非线性微分方程来表示。在一定条件下，Hopfield网络可以用作联想存储器。Hopfield网络得到广泛应用的另一个特点是它具备快速优化能力

。

离散型的Hopfield网络即二值型的Hopfield网络，只有一个神经元层次。每个处理单元均有一个活跃值（状态）取两个可能的状态值之一，通常用0和1或－1和1来表示神经元的两个状态，即抑制或兴奋。整个网络的状态由单一神经元的状态组成。网络的状态可用一个由0(-1)/1组成的矢量来表示，其中每一元素对应于某个神经元的状态

。

其特点：1)自联想回归(或全连接)，所有神经元与其它单元相连，但无自连接；2)按内容编址存贮器方式进行操作，新提供的输入模式可自动找到已存贮的合适模式。Hopfield网络可以看成是一个动态系统，其相空间包含代表系统基本存贮内容的固定(稳定)点的集合。Hopfield网络可以检索信息,以一定的误差恢复信息。如果Hopfield网络是一个能收敛的稳定网络，则反馈与迭代过程所产生的变化越来越小，一旦到达了稳定平衡状态；那么Hopfield网络就会输出一个稳定的恒值。对于一个Hopfield网络来说，关键是在于确定它在稳定条件下的权系数。应该指出：反馈网络有稳定的，也有不稳定的。对于Hopfield网络来说，还存在如何判别它是稳定网络，亦或是不稳定的问题；而判别依据是什么，也是需要确定的。1离散Hopfield网络

Hopfield最早提出的网络是二值神经网络，神经元的输出只取1和0这两个值，所以，也称离散Hopfield神经网络。在离散HopfieId网络中，所采用的神经元是二值神经元；故而，所输出的离散值1和0分别表示神经元处于激活和抑制状态。先考虑由三个神经元组成的离散Hopfield神经网络，其结构如图7—13中所示

。第一层是实际神经元，故而执行对输人信息和权系数乘积求累加和，并由非线性函数f处理后产生输出信息。f是一个简单的阈值函效，如果神经元的输出信息大于阈值θ，那么，神经元的输出就取值为1；小于阈值θ，则神经元的输出就取值为θ

。对于二值神经元，它的计算公式如下其中：xi为外部输入。并且有：Yi=1,当Ui≥θi时Yi=0,当Ui<θi时对于一个离散的Hopfield网络，其网络状态是输出神经元信息的集合。对于一个输出层是n个神经元的网络，则其t时刻的状态为一个n维向量：Y(t)=[Y1(t),Y2(t),...,Yn(t)]T故而，网络状态有2n个状态；因为Yj(t)(j＝1……n)可以取值为1或0；故n维向量Y(t)有2n种状态，即是网络状态。

对于三个神经元的离散Hopfield网络，它的输出层就是三位二进制数；每一个三位二进制数就是一种网络状态，从而共有8个网络状态。网络状态如图7—14中所示。立方体的每个顶角表示一种网络状态。同理，对于n个神经元的输出层，它有2n个网络状态，也和一个n维超立方体的顶角相对应。

结构如图7—13对于一个网络来说，稳定性是一个重大的性能指标！对于离散Hopfield网络，其状态为Y(t)：Y(t)=[Y1(t),Y2(t),...,Yn(t)]T如果，对于任何△t>0．当神经网络从t＝0开始，有初始状态Y(0)；经过有限时刻t，有：Y(t+△t)=Y(t)则称网络是稳定的。对Hopfield网络引入一个Lyapunov函数，即所谓能量函数即：

对于神经元j，其能量函数可表示为

：

即：

神经元j的能量变化量表示为△Ej：如果存在条件

Wii=0,i=1,2,...,nWij=Wji

i=1,2,...,n

j=1,2,...,n则有：1．如果Uj≥θj，即神经元j的输入结果的值大于阀值，则Uj-θj≥0，则从二值神经元的计算公式知道：Yj的值保持为1，或者从0变到1。这说明Yj的变化△Yj只能是0或正值。这时很明显有△Ej：△Ej≤0这说明Hopfield网络神经元的能量减少或不变。

2．如果Uj≤θj，即神经元j的输入结果的值小于阀值，则Uj-θj≥0，则从二值神经元的计算公式可知：Yj的值保持为0，或者从1变到0。这说明Yj的变化△Yj只能是零或负位。这时则有△Ej：△Ej≤0这也说明Hopfield网络神经元的能量减少。。上面两点说明了Hopfield网络在权系数矩阵W的对角线元素为0，而且W矩阵元素对称时，Hopfield网络是稳定的。hopfield网络的一个功能是可用于联想记忆，也即是联想存储器。这是人类的智能特点之一。对于Hopfield网络，用它作联想记忆时，首先通过一个学习训练过程确定网络中的权系数，使所记忆的信息在网络的n维超立方体的某一个顶角的能量最小。当网络的权系数确定之后，只要向网络给出输入向量，这个向量可能是局部数据．即不完全或部分不正确的数据，但是网络仍然产生所记忆的信息的完整输出。1984年Hopfield开发了一种用n维Hopfield网络作联想存储器的结构。在这个网络中，权系数的赋值规则为存储向量的外积存储规则(outproductstorageprescription)其原理省略。

2连续Hopfield网络连续Hopfield网络的拓朴结构和离散Hopfield网络的结构相同。这种拓朴结构和生物的神经系统中大量存在的神经反馈回路是相一致的。在连续Hopfield网络中，和离散Hopfield网络一样，其稳定条件也要求Wij=Wji。

最后结论：当Hopfield网络的神经元传递函数g是连续且有界的，eg：Sigmoid函数，并且网络的权系数矩阵对称，则这个连续Hopfield网络是稳定的。在实际应用中任一系统，如果其优化问题可以用能量函数E(t)作为目标函数，则总可以用连续Hopfield网络对其进行求解。由于引入能量函数E(t)，Hopfield使神经网络和问题优化直接对应；这种工作是具开拓性的。利用神经网络进行优化计算，就是在神经网络这一动力系统给出初始的估计点，即初始条件；然后随网络的运动传递而找到相应极小点。这样，大量的优化问题都可以用连续的Hopfield网来求解。这也是Hopfield网络用于神经计算的基本原因。例2：由3个神经元组成的Hopfield网络，有2个基本存贮器，存贮2个向量[1，-1，1]和[-1，1，-1]，设计权连接矩阵。

解析：按公式：

其它点都是不稳定的点，例如，对[1，1，1]，和[1，1，-1]，迭代结果都移向稳定点。对[1，1，1]对[1，1，-1]

此过程可用图表示如7－29：

Hopfield网络的工作过程有4个步骤：1）存贮（学习），异步、随机。2）初始化，加入初始试样，然后移走。3）迭代直至收敛4）输出，得到稳定点

。例7-3假设一个3节点的离散Hopfield神经网络，已知网络权值与阈值如下图7－30所示，已知网络权值初值圈内为阈值，线上为连接函数。计算状态转移关系。图7－30离散Hopfield神经网络解析：以初始状态为例，我们可以依次选择节点，确定其节点兴奋的条件及状态的转移。假设首先选择节点，激励函数为

可见，节点处于兴奋状态并且状态y1由0→1。网络状态由000→100，转移概率为1/3。同样其它两个节点也可以以等概率发生状态变化，它们的激励函数为节点状态保持不变。因此，由状态000不会转移到001和010。

图2－30b)网络状态转移，圈内为状态，线上为转移概率

从这个例子上可以看出，系统状态是一个网络的稳定状态；网络从任意一个初始状态开始经几次的状态更新后都将到达此稳态。仔细观察图中的状态转移关系，就会发现Hopfield网络神经元状态要么在同一“高度”上变化，要么从上向下转移。这样的一种状态变化有着它必然的规律。Hopfield网络状态变化的核心是每个状态定义一个能量E，任意一个神经元节点状态变化时，能量E都将减小。这也是