数理统计第五章假设检验5.2参数

第五章参数假设检验基本任务:某些方面(如总体均值、总体方差、总体分布本身等等)的假设作出合理的判断.1 D

2例如，要某食品包装生产线工作是否正3正态总体参数的假设检单个正态总体均值设XX1,Xn)为从正态总体N(,2)的样本，给定检验水平，求下列三类检验问(1)H0:0;H1:

(2)H':;H':

H'':;H'': 4H0:0;H1:Xn

ni1n

Xi是的无偏估计且具有 质D{X(X1,

,Xn):|X0|5根据推论2.4.2,在原假设H0TX ~SnSn取T作为检验统计量D{X(X1, ,Xn):|T|其中c为常数，待定6D{X(X1, ,Xn):|T|由检验水平为，可P(|T|c|H)

X

|c|

Sn Sn得到ctn1(,X,X):|XnSn

0 DX(X1

| 7

,

计量T的观察值t,并与tn1(

若|t||x | (2)， 原假s

n1若|t||x | (2),则接受原假设s

n18H':;H': Xn

nni1

Xi是的无偏估计且具有 质D{X(

,Xn):X09 XSnT ~Sn取T作为检验统计量Sn,Sn,Xn):D{X(X1,其中c为常数，待定

X ,Xn):D{X,Xn):

X SnSn在原假设H':成立下 TX TX~Snn得 Snn

P(T0tn1())P(Ttn1())D(X (,X):X,X):XnS

,

计量T的观察值t,并与

若txs 若txs

tn1()， 原假设tn1(),则接受原假设.H'':;H'': Xn

nni1

Xi是的无偏估计且具有 质D{X(

,Xn):X0 XSnT ~Sn取T作为检验统计量XX ,Xn):D{,Xn):其中c为常数，待定

,Xn):D{X,Xn):

X SnSn在原假设H成立下 TX TX~Snn得 Snn

P(T0tn1())P(Ttn1())D(X (,X):X,X):XnS 第四步：根据样本观察值x1,x2

,

计量T的观察值t,

若txs 若txs

tn1()， 原假设tn1(),则接受原假设.正态总体参数的显著性检验(t-检验法H0H10TXS ~T0T注5.2.1:单个正态总体方差已知时均值问题.设XX1,Xn)为从正态总体N(,2)的样本，给定检验水平，求下列三类检验问(1)H0:0;H1:(2)H':;H':

H'':;H'': n UX~Nn取U作为检验统计量同理可以得到上述三种检验问题的水平为的检验的否定域.否定域中的临界值将tn1分位数改成相应的标准正态分位数即可.具体结果见下表H0H10UX ~U0Uu例5.2.1食品厂用自动装罐机装罐头食品每罐标准重量为500g，每天开工需检查机器的工作状况.今抽得10罐，测得其重量(单位：g)如下4955105054985034925021249750假定罐头重量X服从正态分布N(,2已知6.5，问机器是否工作正常(取检验水平0.05.H0500H1否定域,X):|XnnD,X):|Xnn 2 其中n10,0.05,|U

||502500|0.973XX 足够理由说明自动灌装机工作不正常，接受H0例5.2.2 某砖厂所生产的地砖的抗断强度服从正态分布N(,2),今从该厂生产的地砖中随机抽取6块测得抗断强度(单位：kg/cm2)32.5629.66，31.6430.0031.8731.03问这批地砖的抗断强度可否认为不低于32.50kg/cm2(取检验水平0.05.H032.50H1

D(X

(,X):X,X):XnSn 其中n6,0.05,未知Sn6TX 31.1332.502.99<-Sn6落入否定域，否定H0即认为地砖强度达不到32.50kg/cm2.例(补充):某厂生产小型马达,其说明书上写着这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过0.8.现随机抽取16台马达试验,求得平均耗电流为 消耗电流的标准差 假设马达所消耗的电流服从正态分布,取显著性水平为=0.05,问根据这个样本,解H0:0.8 H1:>未知故选检验统计量TXS

~域D(X ,X):X0.8 S 查表t15(0.051.753计算x0.81.5s 故接受原假设,即不能否定厂方断言解 H0:0.8 H1:<检验统计域

TXS

~ X

D

S

查表得t15(0.051.753计算s 故接受原假设,即否定厂方断言 假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.使得原假设H0的决策变得比较慎重,也就是H0得到特别的保护.因而通常把有把握的经验的结论作为原假设或者尽量使严重的错误成为第 正态总体参数的假设检单个正态总体方差设XX1,Xn)为从正态总体N(,2)的样本，给定检验水平，求下列三类检验问H:22;H:2

H':22;H

:

H'':22;H'':2 0其中2为已知常数0H:22;H:2 样本方差S2

n

nni1

( X)2i是2的无偏估计且具有 质(是UMVUE).i,Xn):D{,Xn):

2/

A或S

/

A1其中A1和A2为常数，待定

根据定理2.2.3,在原假设H02(n1)S20

2~~取2作为检验统计量D{XX Xn1)S22c或(n1)S22c 其中c1和c2为常数，待定D{XX Xn1)S22c或(n1)S22c 由检验水平为，可P(

c或2c|H P(n1)S22c或

/

c|H得到c

(/

DX(X

(n1)S ,X)(n2n,X)(n2n0

n1(/2)

/2)

2

2 (n1)S 若n1(1/2) n1(/2),则接受原假设0假设检验中选取的检验统计量服从2分布的检验方法称为2检验法.H':22;H':2 样本方差S2

n1

( X)2i是2的无偏估计且具有 质(是UMVUE).iD{X(X ,X):S2/2 根据定理2.2.3,

2(n1)S

2~~取2作为检验统计量D{X(X ,X):(n1)S2/

其中c为常数，待定D{X(X ,X):(n1)S2/

在原假设H

22成立下002(n1)S00

(n1)S ~20得 0

(n1)S

(n1)S P

n1()P

1DX(X1

,X),X)(n2n20

()

0(n1)s2

), n10

则接受原假设.假设检验中选取的检验统计量服从2分布的检验方法称为2检验法.H':22;H':2 样本方差S2

n1

( X)2i是2的无偏估计且具有 质(是UMVUE).iD{X(X ,X):S2/2 根据定理2.2.3,

2(n1)S

2~~取2作为检验统计量D{X(X ,X):(n1)S2/

其中c为常数，待定D{X(X ,X):(n1)S2/

在原假设H

22成立下002(n1)S00

(n1)S ~20得 0

(n1)S

(n1)S P

n1(1)P

n1(1)1DX(X1

,X),X)(n2n20

(1) 计量2的观察值,并与

0(n1)s2

(1), 0

则接受原假设假设检验中选取的检验统计量服从2分布的检验方法称为2检验法.均值未知关于2的检

2检验域2=020 ~未知2 (1 或2 ( 202<02 202>022注5.2.2:单个正态总体均值已知时方差问题.设XX1,Xn)为从正态总体N(,2)的样本，给定检验水平，求下列三类检验问H:22;H:

其中2为已知常数H':22;H':2 H'':22;H'':2

Xn n i1

0

~*取2作为检验统计量*同理可以得到上述三种检验问题的水平为的检验的否定域.将否定域中确定临界值的2分布的自由度由n1改成n即可.具体结果见下表均值已知时关于2的检

2检验域2=0202 * 已知22(1/ 22(n202<022 202>0 例5.2.3 (解 H0:

1.22 ;H1:

22~ (n1)S ~

(n-1)S2152(0.025)27.488,

(0.975)6.262

45.94

(0.025) H0 ,即认为例(补 某种零件的长度服从正态分布0按规定其方差不得超过20.0160一批零件中抽取件测量其长度,得其样本方差为0.025.问能否由此推断这(0.01，解 H0:

0.016;1

:

构造统计

2(n ~2 ~否定域为D

(n1)s2

()

2(0.01)42.982(0.05)36.415 (n1)s2240.0250 0.0160

37.5由于37.5 H0,由于37.5 H0, 大小有关，越小越不容易 进一步解一般进行工艺时,若指标的方差显著增大,则需朝相反方向进行以减少方差；若方差变化不显著,则需试行别的方案. X~N(,,2 2 H0:20.00040；H1:2>

20

~

2(n

落在D内,故 H0.即 设X Y m1,, X1 1nXi和Ynm

1m1 S1

(mm

X)S S n

nn

给定检验水平，讨论下列三类检验H0:2-10;H1:2-1

H':-;H':- H'':-;H'':- 1.已知方差条件下两个正态总体均值差的检首先考虑双边检验问题(7)H0:2-10;H1:2-1因X,Y分别为1，2的无偏估 Y~N(2, 2),X~N(1, 1

2得 X~N

2 nYX是21的无偏估计且具有 质D{(X,Y):|YX0| 且当21=0U YX

~N2/m2/ 2/m2/2/m2/12

~N作为检验统计量D(X,Y)

YXYX /m /2212其中c为常数，待定D(X,Y)

YXYX /m /2212由检验水平为，可0 /m0 /m /2212P(|U|c|H0)P

YX

c|H

得到cu2.D (X,Y)

YX YX /m /2212

比较,作出|u

yx

， 原假设2/m2/ |u

yx

,则接受原假设2/m2/ 2-1

2-1

21m22nU 21m22n

U2

2-12-1

~N(0,1)212， 已知2

UU两样本检 2σ1 =σ但σ未知时2均值差的假设检Swm1nTYXSwm1n

mn2w S w

(m1)S2(n1)S mn

(YY)2

(XXmn2

因此取T作为检验统计量

2-1

2-

YXSw 1Sw 1T ~

T

2-1

T mn -

-

(

T

两样本t检

例5.2.4 为研究正常成年男 液红细胞平均数的差别，检验某地正常成年男子156人，女子74人，计算男女红细胞的平均数和样本标准差分别为男：X465.13万/mm3，S女：Y422.16万/mm3，S2

54.80万/mm349.20万/mm3假定正常成年男女红细胞数分别服从正态分布，且方差相同，检验正常成年人红细胞数是否与 有关(取检验水平0.0. X 检验问题H0:2-10;H1:2-1YYSwm1nD(X,Y)

tmn2

(/2)m156n74X465.13，Y 54.80，S 49.20万 SS2 mn

计算得到t y 5.74

1

因此否定H0,即认为正常成年人的红细胞数 有关例某物质在处理前和处理后分别处理前:(X)处理后:(Y)且方差相同.问处理前后的含脂率的平 (0.05) H0:1 ;H1:1构造统计m7,

T X 1/m 1/m1/

～tmn20.05, t13(0.025)2.16041X=0.24,S1Y=0.13,S

0.00910.00392代入 中,得 的观测值 |t|=2.678>2.1604故在显著性水平0.05下 H0,即认为处理前后含脂率的平均值有显著变化.σ12，σ22均未知，但是记ZiYiXiZ~

,

2

i ,i,Zn独立同,Zn独立同分布因此Z1,Z2,Zn

可视为从总体Z~N( ,22)抽取的样本，且

ZY

S S

ZSzn Z(21)Szn

n

H0:2-10;H1:2-1,Zn):|D{(Z1,Z2 |t,Zn):|,Z)Zn ,Z)Zn zn

|tn1(/22–1

2–12–1<

UYX ~N方差2,2已

UU–

–

U 域22–1TYX 1 ~tmn2方差2=2未 T2–12–1<T2–12其中Sw

mn 5.2.5参 例为鉴别甲、乙两种型号分离机在析出某种元素效能上的高低,今取8批溶液,每批分两份,分别给甲、乙两机处理.其析出效果如下表所示:12345678甲4.3.4.5.4.6.5.4.乙3.3.3.2.4.5.3.2.zixi1.0.0.3.-0.0.2.1.X与Y都服从正态分布 (0.1)解:由X,Y服从正态分布推出Z=X-Y也服从正态分布,记为N(,2),、2 检 H0:0；H1:检验统计

TZ SZ

/2 t7(0.05)ZZ1.15,S2Z算 T n

2.798 H0,即认为两机析出效能有显著差异.设X Y m1,, X1 1nXi和Ynm

1m1 S1

(mm

X)S S n

nn

给定检验水平，讨论下列三类检验 H:21;H:21

12 120::0::

21;H'

2212

1 10::0::

21;H212

2212首先考虑双边检验问题(10) :21;H:2 由于S2和S2分别是2和2的无偏估 并具有优良性质(UMVUE) 1 S 接 S21 S S X,Y 2c1或2c2S S 其中c1和c2为常数，待定 S2S1S2S12221 nF

～

n1,m m1 m1在H0

221成立条件下21S 21

S S X,Y 2Fn1,m1(12)或2Fn1,m1(S S Fn1,m1(1/2)

Fm1,n1(/5.2.6182例两台车床加工同种零件,分别从个测量其直径,得:

s20.345;

假定零件直径服从正态分布.试比较(解 :2 ;H:2 构造统计

S2SF ~S S1/20.05, F8,7(0.05)3.73F8,7(0.95)1/F7,8(0.05)1/3.500.2857

SS2F 2S21

由 故在显著水平0.1下接受

例用来测量某物体次,得个数据.体也得个数据.计算两组数据的

S 1.25,S2 (2解 H0:2

H1:

进2进构造统计进2进

SS2F S2进

~0.05 F10,10(0.05)2.9F10,10(0.95)1/F10,10(0.051/2.980.3SF2 1.250.32SF2 进 进 H0 ,即认为—指数分设总体X服从参数为的指数分布，密度为exf(x)0为未知参数,X1

xx,Xn为抽自总体X的样本1H0:0 H0: H0:0

;H1:0;H1:0;H1:01H0: ;H1: