《数列求和》导学案

《数列求和》导学案Q 情景引入“ingjingyinru中世纪，意大利数学家斐波那契(H70〜1250)在1202年发表《算盘全书》一书，书中有这样一题：“今有7老妇人共往罗马，每人有7骡，每骡负7袋，每袋盛有7个面包，每个面包有7把小刀随之，问列举之物全数共几何？”X 新知导学inzhidaoxue.回顾学过数列知识填空:⑴首项为_，公差为d的等差数列｛a｝前n项和S=n牛支=na+2 —1—推导方法为倒序相加法.⑵首项为(公比为q(qQ的等比数列⑷前n项和宁+^—=一句匕声.推导方法为错位相减法..请思考下列各数列如何求和:⑴11，31 1⑴11，31 1(2)3,33,333,3333,….3X7+7X11+11X15+15X19+…，⑷2X3+5X32+8X33+11X34+….⑴中数列每项都是两项的和，若将其用加法结合律分组，怎样求和呢?⑵中每一项具有怎样的规律，若将an如下变形：4n.=33 3 =\x99j^9aM 」 jif-9=3X(10n—1)=3X10n—3,怎样求和呢?⑶中数列的分母具有怎样的变化规律，写出其通项an,探求求和方法.⑷中数列都是两项的积，前项构成什么数列？后项呢？用什么方法求和？提示：(1)分组后(1+3+5+7+…)+(1+1+!+/+…)，可分别用等差(比)数列求392781和公式分组求和.⑵变形后可分组求和.

⑶若匕｝为等差数列，则求｛；｝的和时，可利用小=；（；—；）裂项求和.n dd+ ddacia^⑷可通过乘以公比3后，错位相减求和.Y预习自测uxizice.设等比数列｛an｝⑶若匕｝为等差数列，则求｛；｝的和时，可利用小=；（；—；）裂项求和.n dd+ ddacia^⑷可通过乘以公比3后，错位相减求和.Y预习自测uxizice.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,若S10S5=1 2,则S15S5=（A）A.3 4 B.2 3C.1 2 D.1 3［解析］在等比数列｛an｝中，S5,S10-S5,S15—S1O,…成等比数列，因为S1OS5=12所以S5=2S10,“=3"得"S5=3 4,故选A-.已知｛*｝是首项为1的等比数列，Sn是｛an｝的前n项和，且9s3=S6,则数歹心，｝的前n5项和为（C）31fB.而或531C—C16D.1591—Q3 1—Q6［解析］显然qW1,・・ - ="j^',.•1+q3=9,・・q=21—q 1—q・•・｛（是首项为1,n1—1公比为1的等比数列，前5项和T=——22 5 11-25__31一二1?.数列n,103,10。5,1。。°7,…的前n项和Sn=」＞n-1)+n2.［解析］数列的通项公式a=10n+(2n—1).n所以Sn=(10+1)+(102+3)H——b(10n+2n—1)=(10+102H——H0n)+［1+3H——H/ 10(2n—1)］=1—10n1—10n1+2n—1+ 210/s八,(10n—1)+n2.94.若an=(-1)n-1・n,数列｛an｝的前n项和为Sn,则S50+S101=26,［解析］VS50=(1—2)+(3—4)+(5—6)+——+(49—50)=—25.S101=1+(3—2)+(5—4)+(7—6)+——+(101—100)=51,S50+S101=—25+51=26.H 互动探究解疑udongtanjiujieyi

命题方向1中分组转化求和例题1已知数列1,1+2,1+2+2%…，1+2+224——卜2%•(1)求其通项公式a；n(2)求这个数列的前n项和Sn.［分析］注意观察数列的每一项可以发现，数列的第1,2,…n项依次为等比数列何｝的前n项和，其中an=2n-求该数列各项的和可先求通项a,再依备的特征选择求和方法.［解析］⑴a=1+2+2?+…+2n-in1—2n1—2n

1-2=2n—1..•.这个数列的通项公式为a=2n-1.(2)S=a1+a2+a3+…+a=(21—1)+⑵一1)+⑵一1)H \-(2n—1)=(2+22+23H——H2n)—n21—221—2n

1—2—n=2n+1—n—2.『规律总结』分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解.〔跟踪练习1〕各项均为正数的等比数列｛a｝,a=1,aa=16,数列｛b｝的前n项和为S,且S=①寺n1 24 n nn2(n£N+).(1)求数列｛an｝,｛bn｝的通项公式；⑵若cn=an+bn,求数列｛cn｝的前n项和Tn.[解析](1)设公比为q,：a]=1,a2a4=16,Aq4=16,Vq>0,Aq=2./.a=2n-1.nc 3n2+n7=—・•.当n・•.当nN2时，b=S-S=3^-L^-lnnn—1 2n—1=3n—1.当n=1时，b]=S]=2满足上式，/.bn=3n—1.(2)c=a+b=2n-1+3n—1./.T=C]+c2+…+c=2。+2+21+5+…+2n—1+3n—1=(2o+2H——H2n-i)+(2+5H——H3n-1)1—2nq1—2nq[2+3n-1]n1-2+ 2=2n一1+3n+1"1-命题方向2中裂项相消求和例题2等比数列｛a｝的各项均为正数，且2a+3a=1,a2=9aa.n 1 2 3 26(1)求数列｛a｝的通项公式；n(2)设bn=log3a1+log3a2H Hog3an,求数歹ij｛，｝的前n项和.n［分析］(1)求等比数列｛an｝的通项公式，只需求a1,q,由两个条件式建立两个方程求解；(2)由于｛a｝成等比数列，故｛loga｝成等差数列，b为此数列前n项的和，因此求｛1｝n 3n n Dn可以用裂项求和法.［解析］(1)设数列U｛an｝的公比为q,由a3=9a2a6得0|=9&2,所以q2=9.由条件可知q>0,故@=3.3由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=3.故数列｛an｝的通项公式为an=3;.TOC\o"1-5"\h\z(2)D=loga+logaH—+loga=一(1+2H—+n)=—-~~~~~.故!=一n 31 32 3n 2 Dn—2 oz1」2n

n+1'nn+1=2n

n+1'(+/+…+(=—2[(1—2)+(1—3)+…+(；—击)]=1 2 n所以数列3｝所以数列3｝的前n项和为2n

n+1'『规律总结』裂项求和法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，例如：⑴若｛a｝为等差数列，公差为d,n则一1一=1(-——)；a•a+1daa+］^+fc?nrK—如等.〔跟踪练习2〕已知等差数列｛*｝的前n项和为满足%+%=10,$5=40.⑴求数列匕｝的通项公式；n(2)设b=l，求数列｛b｝的前n项和T.naa n n［解析］(1)设公差为d,由题意得a1+a1+d=10、 1 1 ，5a+-X5X4d=40【i2a1=4d=2.'a=4+2(n—1)=2n+2.(2)b='=1(士—士),naa+14n+1n+2)]TL/11、J1、J1、 /)]n+1n+2..<=4[(2—3)+(3—4)+n+1n+2—1(1一4(2命题方向3中错位相减法求和例题3已知｛*｝是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=6,&产2=%(1)求数列｛a｝的通项公式；n(2)｛b｝为各项非零的等差数列，其前n项和为$.已知$,=bb,，求数歹U｛|n｝的前nn n 2n+1 nn+1 an项和Tn.［分析］(1)设出等比数列的公比，由已知的两个等式列方程组求解即可.(2)由给出的等式结合等差中项求出｛b｝的通项公式，进而得出｛bn｝的通项公式，然后利n an用错位相减法求其前n项和.［解析］⑴设｛a｝的公比为q,n由题意知a1(1+q)=6,a2q=a1q2,又an>0,由以上两式联立方程组解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知S =2n+1-"+叭1=(2n+1)b,2n+1 2 n+1又S2n+1=bnbn+1,bn+1W0,所以bn=2n+1.

令c=b，则c=2n+1.nan n2n因止匕Tn=C］+c2+ +cn357 2n—12n+1=-+—+—+ + + 22223 2n—1 2n，V1T3,57 2n—12n+1又2Tn=2；+5+2；+…+丁+丁,1 311两式相减得21 311两式相减得2工=2+(2+疗+…+2n－12n+1)—2n+1，所以『5-空『规律总结』错位相减法若数列｛a｝为等差数列，数列｛b｝是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为｛ab列为｛ab｝，当求该数列的前n项的和时，常常采用将｛ab｝的各项乘以公比q，然后错位一nnnn项与｛ab｝的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为nn错位相减法．〔跟踪练习3〕在数列｛在数列｛a｝中，a=1,点(an1 n⑴求数列｛a｝的通项公式；

nan+1)在直线x—y+2=0上.aaaa2n⑵已知1=1+3+2：+…+云，求2n［解析］(1)由条件知an—an+1+2=0,...a+1—a=2.・♦・数列｛a｝是以1为首项，以2为公差的等差数列U.n/.a=1+2(n—1)=2n—1.(2)t=1+3+|■+…+2n—1n22223 2n135 2n—1=5+5+2；+…+XT由①一②得11=1+2+/…+!■—，2n22223 2n2n+13_1_2n—12—2n—1—2n+1，Y易混易错警示ihunyicuojingshiATn=3—i—2Y易混易错警示ihunyicuojingshi对于通项中含字母的数列求和，忽略对字母进行分类讨论而致误

例题4例题4求数列1,a,小，…的前n项和S.c…，， . 1—汝汝一1［错解］［辨析］错误的原因在于忽略了对a的取值进行分类讨论.［正解］S=1+a+a2+…+anT,当a=1时，［错解］［辨析］错误的原因在于忽略了对a的取值进行分类讨论.［正解］S=1+a+a2+…+anT,当a=1时，S=1+H H=n；当aW1且aW0时，S=1—anan—11—a a-1.'na=1当a=0时满足上式.・•・『一Ia—1aW1分类讨论思想在数列求和中的应用X 学科核心素养分类讨论思想在数列求和中的应用uekehexinsuyang例题5已知等差数列｛a｝前三项的和为一3,前三项的积为&n⑴求等差数列｛a｝的通项公式；n⑵若a2,a3,3成等比数列，求数列｛|an|｝的前n项和.［解析］(1)设等差数列｛an｝的公差为5则%=%+5a3=a1+2d,由题意得3a+3由题意得3a+3d=—31a[ a]+d a]+2d=8fa=2解得|d=—3a1=—4d=3所以由等差数列通项公式可得a=2—3(n—1)=—3n+5,或a=—4+3(n—1)=3n—7.故an=-3n+5,或an=3n—7.(2)当an=—3n+5时，a2,a3,可分别为一1,—4,2,不成等比数列，不满足条件;当an=3n—7时，a2,a3,可分别为一1,2,—4,成等比数列，满足条件.f—3f—3n+7故1an1=13n—71=5n—7n=1,2nN3.记数歹U｛|aJ｝的前n项和为Sn.当n=1时，S]=|a]|=4；当n=2时，S2=|a1|+|a2|=5；当nN3时，S=S2+|a31+|a41+…+|a|=5+(3X3—7)+(3X4—7)+…+(3n—7)=5+n—2[2+3=5+n—2[2+3n—7]3n2—11n+10.乙'4 n=1当n=2时，满足此式.综上，Sn=^3_11〔2 2’…K 课堂达标验收etangdabiaoyanshou

.数列义，3；,5(,7!…的前n项和1为(A)A.n2+l—1 B.6+1—；^2n 2n—1C.n2+2C.n2+2一—D.6+212n—1［解析］由题设知，数列的通项为『加-1+（显然数列的各项为等差数列｛2n-1｝和等比数歹七｝相应项的和，从而，=［1+3+…+（2n—1）］+（2+4+…+2；）=n2+1—2；.2.已知数列｛a2.已知数列｛a｝的通项公式是a=%：n+%：n+1，若前n项和为10，则项数9为（C）A.11B.99C.120D.121A.11B.99C.120D.121［解析］因为a［解析］因为an=《+1^^1=Jn+1-3,所以Sn=a1+a2^ ^an=(\：2—1)+(\；3—\；,2)-I \-('-,；1n+1—%：n)="-..;'n+1—1=10,—\；,2)-I \-('-,；1n+1—%：n)="-..;'n+1—1=10,解得n=120.3.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,若Sn=1+2an,且a=2,则S=（B）219—1C.219-1［解析］•••Sn=1+2an(nN1),.\Sn-1=1+2an-1(n^2),221—2D.221-2①②①一②得a①一②得an=2an—2an-1，••・an=2an-1，a，、、・•・一=2(nN2).an—1・♦・数列｛an｝是首项为a1=2,公比q=2的等比数列U，AS=2-I=221—2,故选B.TOC\o"1-5"\h\z20 1—24.已知等比数列｛a｝的前n项和S=2n—1,则a2+a2+…+a2等于1(4—1).n n 12 n 3［解析］ VSn=2n—1,An^2时，arSn—Sn-FanT,当n=1时，a1=S1=1也满足,/.a=2n-1,Aa2=4n-1.n n,, , ,,, , 1X4n—1/.S2+a2- -4n-1= 1 2 n 4—11/ 、--(4n—1).3一、选择题1.等比数列｛a｝中，a=9A.81C.168［解析］a243K=v=|2A级基础巩固a=243,则伯｝的前4项和为（B）nB.D.120192a/.a=-j=3,11—341工一=120.1—32.数列｛an｝的通项公式a其前9项和为S,则S2if等于（AA.1008B.2016C.504D.［解析］•・•函数y=cos-的周期T==4,n2且第一个周期四项依次为0,—1,0,1.・••可分四组求和:a+a+a+…+a=0,2013008,008,a+a+——+a=—2—6 2014=5°4^--2-2014=—504*126 2014 2••.a+a+…+a=0,2015a+a+——+a=4+8+——+20162016504X4+2016=504X1010.故选A.故选A.“=》，那么数列｛bn｝nn+1.•・S2016=0—504X1008+0+504X1010=504X(1010—1008)=1008,.. 1 12 123 12343.已知数列｛an｝： 2, 3+3, 4+4+4, 5+5+5+5,…，设前n项的和为（A）A.4(1—n+1B.4(2-n+1D.112—n+1［解析］*/a=n1+2+3+…+nn+1nn+12

n+1n2,.•・b=

naa+1nn+1=4(——_!_［).

nn+1••・Sn=4［(1—；)+(泊)+(|-1)+…+J+川=4(1一+).4.已知数列｛aj的前n项和Sn=n2—4n+2,则|a1|十|a2|+…+|aj等于(A)A.66 B.65C.61 D.56［解析］当nN2时，a=S—S=n2—4n+2—［(n—1)2—4(n—1)+2］nnn—1=n2—4n+2—(n2—6n+7)=n2—4n+2—n2+6n—7=2n—5,当n=1时，a］=S］=—1不满足上式，•a=1—1n=1••n—］2n—5nN2 ^・•・1a11+1a21十…+电口+―+5+…+15=2+1+15

""2=2+1+15

""2X8,一=2+64=66.二、填空题.数列2,4,，，…，.,…前n项的和为4一呼2.22223 2n 2n—1——TOC\o"1-5"\h\z. 246 2n［解析］设S=-+7+7+ +7n22223 2n% 2 4 6 2n—S=—+—+—+^+—2n222324 2n+1①—②得Z,1^02,2,22,I22nC1 2n(1—2)Sn=2+22+23+24+…+2n—2n+1=2—2n-1—2n+1.•S•Sn=4—n+22n-1^.在等差数列｛aj中，若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=10.［解析］因为｛aj是等差数列，所以&3+&7=&4+&6=&2+&8=2&5，&3+&4+&5+&6+&7=5a5=25即a5=5,a2+a8=2a5=10.三、解答题.(2015•山东理，18)设数列｛aj的前n项和为“已知2sl=3n+3.(1)求｛a｝的通项公式；n(2)若数歹U｛bn｝满足anbn=log3ali，求｛bn｝的前n项和Tn.［解析］(1)因为2sl=3n+3，所以2al=3+3，故%=3，当nN2时，2Sn_1=3n-1+3，所以a=

n3n=l3n-l心2⑵因为ab=log所以a=

n3n=l3n-l心2⑵因为ab=loga,所以b=1,nn 3n 1 3当n三2时，bn=3i-nlog33n-i=(n—1)•3i-n.所以T]=b]=3；当nN2时，Tn=b]+b2+b3H Hbn=3+(1X3-1+2X3-2+…+(n—1)X3i-n),3所以3T=1+[1X3o+2X3-i+…+(n—1)X32-n].两式相减，得2T=j+(3。+3-1+3-2+…+32-n)—(n—1)X31-nn321-31-n

=3+1—3-1—/八c13(n―1)x31-n=-6n+32X3n.8.已知数列｛an｝为等差数列，且a1=5,a2=9,数列｛bn｝的前n项和Sn=|bn+1.(1)求数列｛an｝和｛bn｝的通项公式.⑵设cn=anlbn|，求数列｛cn｝的前n项的和Tn.[解析](1)公差d=a2—a]=9—5=4,.'a=a1+(n—1)d=5+4(n—1)=4n+1.2 1⑵・・・s=-b+-,n3n3nnn—1此时2a=2S—2s=3"—3n-i=2X3"-i,即nnn—1b/、、・『=-2(n».n—1又b1=S1=|b1+|,；.“=1,・♦・数列｛b｝是首项为1,公比为一2的等比数歹U，nnn4=&」bj=(4n+1)|(—2)n-i|=(4n+1)•2-1.AT=5X1+9X2+13X22H——b(4n+l)-2「i①n2T=5X2+9X22H——b(4n-3)-2n-i+(4n+l)-2n②n①一②得一T=5+4(2+2H 1-2"-1)—(4n+1)•2"n,，,，21—2n-l=5+4X「^(4n+l)-2n=5+8(2「i—1)—(4n+1)-2n=5+2n+2—8—(4n+1)-2n=2n+2—(4n+1)•2n—3=2n(4—4n—1)—3=2n(3—4n)—3,B级素养提升/.T=(4n—3)2n+3.B级素养提升一、选择题1.已知等差数列｛a1.已知等差数列｛a｝和e｝的前n项和分别为S,T,且・S_7n+1Tn=n+3，na+a+a+a则b2+b5+b"+K8 10 12 16=(A)A.31

yB.32A.31

yB.32C.6［解析］D.7C.6［解析］a+a+a+a

2 5 17 22・b8+b1o+b12+b16a+a+a+a“ 2a+2a— bg+b^ +b]o+b]2 —2b]2+2b]1a+aa+a=,1+,2=.+匕22,..S a+a X22 a+a22122122又.T22 b1+b22 X22 b1+b22，.a1+a227X22+131Y+b"22+3=31 22•a°+a匚+a,+a：312 5 17 22 ・b8+b1o+b12+b16 5•,一, ,2,一, ,2n-12.已知数列｛an｝的通项公式是an=--一. . 321 其前「项和Sn=^,则项数「等于（D）B.10A.B.10C.9D.6C.9［解析］Va=-^=1--,nZn Zn•7="；)+a-；)+a-5+…+"/)Z1,1,1, ,1、=n-(/4+8+…+%)1——=n- T2—=n—1+-1,TOC\o"1-5"\h\z令n—1+3=74=5+且，；.n=6.2n64 64二、填空题3.等比数列｛a｝的前n项和S=3n+1+a(a为常数)，b=),则数列｛b｝的前n项和为

n n na2 nn.^xd-1).32 9n［解析］二节为等比数列｛a｝的前n项和，且S=3(3n+|).n n n 3a r. c.Cc c.3=—1,..a=—3,..Sn=3n+1—3,.,.当n三2时，a=S—S1=(3n+1—3)—(3n—3)=2X3n①，又,.,a1=S1=6符合①式，.，.an=2X3n，। 1 1 1n，，b=-= =~n，na24X9n4n/.｛b｝/.｛b｝的前n项和为T1 「- 1i51—9n］一^ 、 , 、 , 3， 、4.求和1+(1+3)+(1+3+32)+(1+3+32+33)+…+(1+3+…+3n-1)=.(3n—1)4 n二2一.［解析］a］：，a2=1+3，a3=1+3+32， a=1+3+32+…+3nT=7^(3n—1)，n 2，原式=2(31—1)+|(32—1)+ +^(3n—1)=|［(3+32+ +3n)—n］=［(3n—1)一n21三、解答题5.S为数列｛a｝的前n项和.已知a>0,a2+2a=4S+3.nnn⑴求｛a｝的通项公式；n(2)设b=十，求数列｛b｝的前n项和.naa+1 n［解析］(1)当n=1时，ai+2a1=4S］+3=4ai+3,因为an>0,所以a1=3,当n三2时，a2+2a—a21-2a1=4S+3—4s1—3=4a,即(a+a1)(a—a1)=2(a+a1),因为an>0,所以an—an_1=2,所以数列｛a｝是首项为3,公差为2的等差数列，n所以an=2n+1.(2)由(1)知，bn=2n+1 2n+3J,——,2(2n+12n+3)，所以数列｛b｝前n项和为b+b+ +b=1［(1-1)+(j-1)+ 1Q-L-9nLq)［=n 1 2n235 57 2n+12n+31_1 n6-4n+6=32n+3.6.已知数列｛an｝和｛bn｝中，数列｛an｝的前n项和为Sn.若点(n,Sn)在函数y=-x?+4x的图象上，点(n