空间向量及其运算和空间位置关系

空间向量及其运算和空间位置关系一、上节课回顾如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a>0,b/0），且交抛物线y2=2px（P>0）于M（X1，yi），N（x2,y2）两点（1）写出直线l的截距式方程；（2） 证明：上+—=-；约七b（3） 当a=2p时，求ZMON的大小2.如图，矩形ABCD中，\AB\=2/|BC|=2b,以AB边所在的直线为x辄AB的中点为原点建立直角坐标系，P是x轴上方一点，使PC、PD与线段AB分别交于C、D两点，且AD2,DC2,CB2成等比1 1 1 11 1数列，求动点P的轨迹方程到两定点A（0，0），B（3,4）距离之和为5的点的轨迹是A椭圆 BAB所在直线 C线段ABD无轨迹若点（x，y）在椭圆4x2+y2=4上，则的最小值为x-22■A1B—1C——过3D以上都不对3若直线mx+ny—3=0与圆x2+y2=3没有公共点，则m、n满足的关系式为；以（川，n）为点P的坐标，过的一条直线与椭圆与+卜的公共点有——个

二、本节课内容知识点归纳、空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向量)表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合.共面向量平行于同一平面的向量.共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b^0)，a〃bo存在4ER，使a=Ab.共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面。存在唯一的有序实数对(x，y)，使p=xa+yb.空间向量基本定理定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组｛x，y，z｝使得p=xa+yb+zc.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的二个有序实数x、y、z使OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1.二、数量积及坐标运算两个向量的数量积⑴a•b=|a||b|cos〈a,b〉；a±b^a•b=0(a,b为非零向量);|a|2=a2,|a|=、•../X2+y2+z2.向量的坐标运算a=（a，a，a），b=（b，b，b）1 2 3 1 2 3向量和a+b=（a+b，a+b，a+b）1 1 2 2 3 3向量差a—b=（a】一b「a?—b?，&3—ba）数量积a•b=ab+a2b2+a3b3共线a〃be&]=-b「a2=二b2，a3=二b3（AeR）垂直a1boaR+aR+aRnO夹角公式, ab+ab+abcos〈a，b〉= ——2rr寸当+&2+&印坍+切+於三、平面的法向量所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量.在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的.练习回顾已知a=(—2,—3,1),b=(2,0,4),c=(—4,一6,2)则下列结论正确的是( )A.a〃c,b〃c B.a〃b,a±c C.a〃c,a±b D.以上都不对若{a,b,c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()A. {a, a+b, a—b} B. {b,a+b,a—b}C. {c, a+b, a—b} D. {a+b,a—b,a+2b}下列命题：若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA=0；若MB=xMA+yMB，则M、P、A、B共面； ► ► ► ►若p=xa+yb,则p与a,b共面.其中正确的个数为(~A.0 B.1C.2 D.3在四面体O—ABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=(用a,b,c表示).5.已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，①(AA+AD^+A1B1)2=3A1B12；②AC.(A1B1—AA)=0；③向量AD与向量AB的夹角是60°:④正方体ABCD—ABCD的体积为|AB•AA•AD|.1 1 ► ► ►1111 ► ► —1_►►其中正确命题的序号是.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.2.直线的方向向量与平面的法向量的确定：直线的方向向量：l是空间一直线，A,B是直线l上任意两点，则称AB为直线l的方向向量，与AB平行的任意非零向量也是直线l的方向向量. 一平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面a内两不共线向量，n为平面a的法向量，则求'n•a=0,法向量的方程组为］un・b=0.

（三）例题讲解1、空间向量的线性运算［例1］如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中G为^ABD的重心，设AB=a,AD=b,AA1=c，试用a,b,c表示AC1,AG.变式:本例条件不变，设A1C1与BR交点为M,试用a,b,c表示MG.总结：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则.练习：如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC,M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，若OG=xOA+yOB+z0C，则x,y,z的值分别为.2、共线、共面向量定理的应用［例2］如右图，已知平行六面体ABCD—A，B，CD'，E、F、G、H分别是棱A，D，、D，C，、C，C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面.

总结：应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较:三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA=APB且同过点PMP=xMA+yMB对空间任一点O,PP=OA一+1AB对空间任一点0,OP=OM+xMA+yMB __对空间任一点0,OP=xOA+(i-x)OB对空间任一点0，OP=xOM+yOA+(1—x—y)OB练习：已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证:(1)E、F、G、H四点共面;⑵BD〃平面EFGH.3、利用空间向量证明平行或垂直长为2a，AD=DE=2AB，F为CD的中点.BF[例3] 已知AB±平面长为2a，AD=DE=2AB，F为CD的中点.BF(1)求证：AF〃平面BCE；(2)求证：平面BCE±平面CDE.总结：利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直.设直线l的方向向量v=(a,b,c),l的方向向量v=(a，b,c).TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1 1 2 2 2 2 2贝l〃l=v〃vo(a,b,c)=k(a,b,c)(kER).12 12 1 1 1 2 2 2l±lov±voaa+bb+cc=0.1 2 1 2 12 12 12设直线l的方向向量为v=(a,b,c),平面。的法向量为n=(a,b,c),则l〃aov±noaa1 1 1 2 2 2 12+b1b2+c1c2=0.l侦ov〃no(a,b,c)=k(a,b,c).1 1 1 2 2 2设平面。的法向量n=(a,b,c),p的法向量为n=(a,b,c),则。〃&on〃n,a±P1 1 1 1 2 2 2 2 1 2on1±n2.练习：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1=/2,M是线段BR的中点.求证：BM〃平面D1AC； A】求证：D1O±平面AB1C.练习题1.若直线l的方向向量为a,平面a的法向量为n,能使l〃a的是()A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,A),若a,b,c三向量共面，则实细等于()62A.了6362A.了63▽6065D3如图所示，在平行六面体ABCD-A1如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A&与BR的交点.若AB=a,A^=b,AA]=c,则下列向量中与BM相等的向量是（）A.-a+k+c

如图所示，已知空间四边形OABC,OB=OC,且匕AOB=/AOC=n，3则如图所示，已知空间四边形OABC,OB=OC,且匕AOB=/AOC=n，3则cos〈OA,8C〉的值为（）C.«A.0平行六面体ABCD-ABCD中，向量AB、AD、AA两两的夹角均为60°,且|AB|=1,|AD|1111 1=2,|AA|=3，则皿」等于（）A.5B.6 C.4D.8D1PGTOC\o"1-5"\h\z在正方体ABCD-ABCD中，P为正方形ABCD四边上的动点，O为底面」'佑/[1111 1111 f 土 '正方形ABCD的中心，M,N分别为AB,BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ=MN的实数4的值有（）A.0个B.1个 C.2个 D.3个 t" “在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是.①OM=2OA-OB-OC:②OM=^OA+1OB+1OC:③MA+MB+MC=0；④OM5 3 2+OA+OB+OC=『一 一.一一一 _._.—. —.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD上. ， ， 、 、―*的点，如果B1E±平面ABF，则CE与DF的和的值为.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB=2,E为PB的中点，cos尸]〈DP，AE〉=寸，若以DA、DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间 ""直愈标系，则点E的坐标为.4 B

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA±底面ABCD,AB±AD,AC±CD,ZABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:AE±CD；PD±平面ABE.已知矩形ABCD中，AB=6,BC=6*2,E为AD的中点(图甲).沿BE将AABE折起，使二面角A-BE-C为直二面角(图乙)，且F为AC的中点.求证：FD〃平面ABE；求证：ACXBE.ZABC=90°，PD±平面ABCD,ADZABC=90°，PD±平面ABCD,AD=1，AB=，..j3，BC=4.求证：BD±PC；设点E在棱PC上，PE=XPC，若DE〃平面PAB,求^的值.

作业：已知AB=(1,5,—2),BC=(3,1,z),若AB±BC,BP=(x—1,y,—3)，且BP±平面ABC,则实数x,y,z分别为()33 15—,——33 15—,——,40,y, 7,40C3,—2,4 D.4,40了，一151Z1ZC1CD=ZC1CB=ZBCD=60°.设空间四点O,A,B,P满足OP=OA+tAB，其中0<t<1,则有()A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段BA的延长线?D二P不一定在直线AB上已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2,E、F分别是BB、DD的中点.求证:1111 1 1FC1〃平面ADE；平面ADE〃平面B1C