高等数学第三版1-1函数课件

绪论一、关于微积分1.微积分的诞生及发展诞生在300多年前。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展，工业、交通和战争的需要向自然科学提出了新的研究课题，迫切需要力学、天文学等基础学科给予解答。归纳起来，主要是两个基本问题：物理上，一个是微积分的出现，是由初等数学向高等数学转变的一个具有划时代意义的大事。已知路程求速度；另一个是已知速度求路程。在等速运动的情况下，这两个问题可以用初等数学来解决，但在变速运动的情况下，只用初等数学就无法解决了。几何上的两个问题是求任意曲线的切线以及求任意曲线所围成的面积。许多数学家为解决这两类问题都做出了重要的贡献。这其中以牛顿和莱布尼兹为杰出代表，他们在前人工作的基础上，分别从力学和几何学独立地创造了微积分学。微积分刚一形成，就在解决实际问题中显示出强大的威力。例如，在天文学中，它能够精确地计算行星、彗星的运行轨迹和位置。英国天文学家哈雷就通过这种计算断定1531年、1607年、1682年出现过的彗星是同一颗彗星，并推测它将于1759年再次出现，这个预见后来果然被证实。随后微积分的应用愈来愈广泛，内容也愈来愈丰富，但在使用的过程中也出现了一些混乱。这主要是因为当时的微积分并没有确切的数学定义，它的理论体系还不严密，特别是一些定理的证明和公式的推导在逻辑上前后矛盾，不好理解，使人感到可疑，但推出的结论往往又是正确无误的。这样微积分就具有了一种“神秘性”，微积分也因此遭到各方面的非议，但是，数学家们并没有就此止步，在牛顿、莱布尼兹之后，数学家们科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用。微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎为一切领域所运用。从1665年牛顿创造了流数法到1855年维尔斯特拉斯给出极限的严格定义，经历了190年。如果从我国魏晋时代就有微积分计算方法的萌芽——割圆术算起，大约经历了1600多年，若再从阿基米德于公元前3世纪提出“穷竭法”算起，则经历了2000多年。微积分这个漫长的发展史，给我们的重要启示就是：一个新的理论的诞生，需要许多人付出艰辛的劳动，甚至要经过几代人的努力，科学研究的道路从来就是不平坦的。积分学的作用是使人们能够从物体现在的位置和作用在物体上力的知识计算该物体将来的位置，求平面上不规则区域的面积，度量曲线的长度，以及求任意空间物体的体积和质量

2.微积分的作用微积分是关于运动和变化的数学。哪里有运动或增长，哪里要用到的数学就是微积分。微分学的作用是使人们能够定义曲线的斜率，计算运动物体的速度和加速度，求得炮弹能达到其最大射程的发射角，预测何时行星靠得最近或离得最远。3.如何学好微积分(1)端正态度是关键——态度决定一切

(2)掌握方法很重要——预习、复习、做练习

犹太民族饱经磨难，但在智力领域中，却常能处于优势。在犹太人家里，小孩稍微懂事，母亲就会翻开《圣经》，滴一点蜂蜜在上面，然后叫孩子去吻《圣经》上的蜂蜜。这仪式的用意是:书本是甜的。犹太人家庭还有一个世代相传的传统，那就是书橱要放在床头，要是放在床尾，就会被认为是对书的不敬。14岁以上的犹太人平均每月读一本书，为世界之最。但是当学历相当时，阅读能力强的人担任高技能白领工作的机率就明显高得多，而且阅读能力比学历高低更能准确预测一个人在职场的发展。二、两个故事介绍数学家欧拉1707年4月15日欧拉（Euler,1707-1783）出生于瑞士第二名城巴塞尔，1720年进入巴塞尔大学学习神学、医学和东方语言。由于受到该校著名教授约翰.伯努利及其家族的赏识和影响，欧拉阅读了不少数学家的原著，在数学的广阔天地里纵横弛骋。欧拉17岁就获得了巴塞尔大学的硕士学位，18岁开始发表数学论文，1727年由丹尼尔.伯努利推荐到彼得堡科学院工作，26岁接替丹尼尔担任彼得堡科学院数学教授，并被选为科学院院士。

欧拉一生的论著数量巨大，涉猎面广，开创性的成果多，共发表论文、著作500多篇（部），以欧拉名字命名数学公式、数学定律、数学量则不胜枚举。如欧拉常数、欧拉恒等式、欧拉级数、欧拉方程、欧拉定理等。他还是一位将数学用于物理学、天文学的典范。他创立了分析力学及刚体力学，是理论流体力学的创始人。欧拉有坚忍的毅力和勤奋刻苦的拼搏精神。他在28岁时，为计算彗星轨道，奋战三天，因过度劳累，患了眼疾，使右眼失明。的最后一刻。在双目失明的17年内，他竟口述了400篇左右的论文和几本书，其中包括经典名著《积分学原理》、《代数基础》。欧拉的渊博学识，科学上的卓越贡献以及他的高尚品德，赢得了全世界的尊敬，他不愧为“数学家之英雄”。在他晚年的时侯，几乎欧洲所有数学家都尊称他为老师。

关于费马大定理等。尤其是被誉为相当于数学诺贝尔奖之菲尔兹奖，本来只授予不超过40岁的数学家，这次专门为他颁发了一个特别奖。韦尔斯获此殊荣当之无愧，他攻下了350多年来数学史上最大的难题。

1995年5月权威性的《数学年刊》刊载了英国数学家韦尔斯(A.Wiles,1953--)证明费马大定理的长篇论文。由于这一成就，韦尔斯几乎囊括了数学界所有的大奖，包括著名的沃尔夫奖、费马奖、科尔奖、肖克奖，等费马是法国数学家，自学成才，曾提出并证明过许多数学定理。他提出费马大定理，但并未给出证明，只是一个猜想。还有一个有趣的小插曲：1637年费马在一本拉丁文书《算术》中的第八个问题旁边空白处写下了这个猜想，接着他写道：“我对此已经有了一个确实非常奇妙的证明，只是此处空白太小，写不下。”后人曾为此专访费马故居，翻遍他的手稿，始终未发现有关证明。这种轶事流传至今，为费马大定理平添了几分传奇色彩。

中学生都知道直角三角形的勾股（弦）定理：x2+y2=z2,其中x、y、z分别为勾、股、弦的长度。巧妙的是x、y、z可以是整数，例如《周髀算经》记载的“勾三股四弦五”，即x=3，y=4，z=5，就是一组能满足该式的整数解。古希腊的毕达哥达斯学派对之曾进行过深入的探讨，找到了许多组整数解。他们还考察过：x3+y3=z3,出乎意料，始终无人能找出满足此式的x、y、z之非零整数解。费马考察了一般公式：xn+yn=zn，其中n是大于2的整数。他费尽心机，始终找不到非零整数解，于是提出猜想:韦尔斯从剑桥大学毕业后，1980年到美国普林斯顿大学做研究，这些年来他从未忘掉求证费马大定理。1986年他下决心攻这个难题，但能否成功，他没有把握。如果心无旁骛专攻费马大定理，不知何时才能发表论文。教授必须经常发表论文，否则就有碍声誉和发展前途。韦尔斯终于想出了两全之计：将自己在其他课题取得的成果写成若干篇论文，留着以后慢慢发表。韦尔斯开始潜心专攻费马大定理，他很快发现问题极为复杂——当然！否则早就有人解决了。为了求证费马大定理，不仅要用到最新的数学成果和技巧，而且还需要创造出新的办法。韦尔斯为了避免干扰，闭门谢客，此事除妻子外无人知晓。面壁七载，终于“大功告成”。韦尔斯写出了证明费马大定理的论文，1993年6月21日应邀在剑桥大学的国际数学讨论会上宣读。前一天在电脑网络中已有传言说韦尔斯的论文可能有关费马大定理，会场上座无虚席，走道上也站满了好奇的学生。韦尔斯的论文宣读持续了三天，黑板上写满一排排公式，擦掉后又写满了，两百多位听众急切地想知道结果到底如何。直到6月23日快结束时，韦尔斯才在黑板上写出了费马大定理，然后转过身来谦逊地说：“我想就到此为止。”费马大定理终于被证明了！大厅里响起一片掌声，纷纷向韦尔斯祝贺，消息马上传遍全世界。

可惜高兴地太早了，不久就在韦尔斯的证明中发现了漏洞。数学证明中出现漏洞可不是一件小事，证明定理全靠严密的逻辑推理，从前提到结论一步一步环环相扣，不能有一个环节脱扣，否则前功尽弃。对于韦尔斯来说，如果漏洞补不起来，千里长堤溃于一穴，七载艰辛付诸东流。而且将不成熟的论文公开发表也是丢脸的事，韦尔斯这个错误犯大了！但他没有灰心，马上找了他的一个学生，两人一起着手补救。又是一年多功夫，皇天不负苦心人，漏洞终于补起来了。韦尔斯终算幸运，类似情况下漏洞补不起来的，大有人在。第一节函数第一章函数与极限一、基本概念二、函数概念三、函数的特性四、反函数五、复合函数初等函数一、基本概念1.集合:具有某种特定性质的事物的全体.组成集合的事物称为该集合的元素.有限集

无限集不含任何元素的集合称为空集.规定空集为任何集合的子集.数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:特征：

两个变量，依赖关系

因变量自变量数集D叫做这个函数的定义域自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.思考：当x变化时，面积S与x之间是否为函数关系?(1)符号函数几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x][x]表示不超过的最大整数12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xyo阶梯曲线例如[1.5]=1[-1.5]=-2有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.oyM-Mxy=f(x)X有界1．函数的有界性:三、函数的特性几何意义：由于|f(x)|M

Mf(x)M.因此,f(x)在(a,b)内有界.就表示了的

f(x)图形夹在两平行直线例y=sinx,y=cosx在（-∞,+∞)上均为有界函数,

y

=M之间.说明:(1)有界函数的界不唯一(2)有界性与区间有关例如在(0,1)上无界在(1,2)上有界y011x等价定义:如果存在常数和,使得对任一,都有,就称在上有界,并分别称和为在上的一个下界和上界等价定义:如果存在常数和,使得对任一,都有,就称在上有界,并分别称和为在上的一个下界和上界函数的有界性定义:yM-Mxy=f(x)X邻域:2．函数的单调性:xyoxyo3．函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。四、反函数注:1.如果称为反函数,则y=f(x)称为直接函数.对应规则是一一对应的，定义域和值域互换2.习惯上,用x表示自变量,用y表示因变量,函数y=f(x)的反函数一般写为

,x∈f(D).

直接函数与反函数的图形关于直线对称.3.反函数图象特点4.单调函数必存在反函数关于反三角函数

由于三角函数都是周期函数,对值域中的任意y值有无穷多个x值与之对应,因此,在整个定义域上不存在反函数,但如果把三角函数的定义域限制在它的一个单调区间上,这样得到的函数在该区间上是单调的，就存在反函数。五、复合函数初等函数1.复合函数代入法注1不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;注2复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.例：指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成？分解的原则：分解为基本初等函数或多项式函数以及它们的和、差、积、商。练习：指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成？基本初等函数1.幂函数2、初等函数2.指数函数3.对数函数4.三角