《现代控制理论》第3版课后习题答案

#能观标准II型为0-31-4y=b1]x+u3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型-1y=b00-2解：A=1-3100-3C=b01]01-31-272-511A2bLrankM=2<3,系统为不能控系统不能变换为能控标准型。C001CA=-1-1-3CA21-79N=,rankN=3系统为能观系统，可以变换为能观标准型。3-11试将下列系统按能控性进行分解(1)A=2 -110-43解：-103rankM=2〈3,系统不是完全能控的.构造奇异变换阵R：cR=Ab=2-103，其中R3是任意的，只要满豚满秩.c-1033-103-12（1）0-3214-2001得R-1cb=R-1b=cA=R-1ARccc=cR=12-1]c试将下列系统按能观性进行结构分解21-4-103-1解：由已知得A解：由已知得A=3则有N二CCACA2rankN=2〈3,该系统不能观构造非奇异变换矩阵R-构造非奇异变换矩阵R-1，0有Ro1-1-300-2-712-20-2-712-2解:由已知得MAAbAb21120126-23-1-12-10001则R=o5c=R-iARx+R-ibu=000y=cRx=\l0o]x03—13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解121rankM=3,则系统能控2511rankN=3,则系统能观所以此系统为能控并且能观系统11 121226，则11 121226，则T-1=c220-2-37-314121474-354c=cTc=cT=171323]10-5,B=T-1b=c20143—14求下列传递函数阵的最小实现。(1)解：a(1)解：a0=1,% 1 1，Ac-10-1-1-1取R-1=0所以A所以A=R-1AR00-100八，B=R-1B-1 0cC=CR=c0所以最小实现为A=1，111]，C验证：CmI'-AmIBm二11=^)3-15设工和工是两个能控且能观的系统1 2

TOC\o"1-5"\h\z0 1 0 「］工：A= ，b=，C=b1」ii-3—4i1 i£：A=-2,b=1,C=12 2 2 2(1)试分析由£和£所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；1 2(2)试分析由£和£所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。12解：(1)£1和£2串联当£的输出y是£的输入u时，元=—2元+2元+工

1 1 2 2 3 3 1 20 1「3-0 1「3-4y=[001]x01-4M=[bAbA2b]=1-41301-4则rankM=2〈3,所以系统不完全能控。W(sW(s)=C(sI-A)-1B=(s+2)(s+3)(s+4)当£得输出y是£的输入u时2 2 1 101x+0u,y=[210]x1100 1因为M=[bAbA2b]=01-61-2-4rankM=3 则系统能控c因为N二cAcA22c因为N二cAcA22=62310-2154rankN=2<3则系统不能观W(s)=C(si-A)-1B二1s2+7s+120 10 1-3-40 0M=[A00'+-201-4AbAb2=1-4131-2-4因为rankM=3,所以系统完全能控1-1-24因为rankN=3,所以系统完全能观w(w(s)=C(sI-A)-1B=r2s+2+2lSs+1)G+2)G+3)现代控制理论第四章习题答案4—1判断下列二次型函数的符号性质:Q(%)=一%2-3%现代控制理论第四章习题答案4—1判断下列二次型函数的符号性质:Q(%)=一%2-3%2-11%2+2%%-%%-2%%1 2 3 12 23 13v(%)=%2+4%2+%2-2%%-6%%-2%%2312 2313解：（1）由已知得%1%2%3=[%1A=-1<0，A1 2-3-11%1%2%3-3-3

Q(x)=[x1-x2-x3—x+4x—3xQ(x)=[x1-x2-x3—x+4x—3x—x—3x+x]31x1x2x3-1-1因此Q（x）不是正定的-3-3x1x2x3-3-31=-16<04—2已知二阶系统的状态方程:aiia21a12a22试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。即:九一a11一a21一a12九一a22=X2-(a+a)X+aa-aa11 22 1122 1221=0有解，且解具有负实部.即：a11+a即：a11+a<0且aa221122>aa1221方法（2）方法（2）:系统的原点平衡状态x=0为大范围渐近稳定，

e等价于AtP+PA=-Q.p11pp11p12p12p22」，则带入AtP+PA=-Q,得到2a2a011212a2a01121aa+aa1211 222102a2a若1222=4(a+a)(aa-a11 22 11222a2a0p-1112111aa+aap01211 22211202a2ap-11222221-a）中0,则此方程组有唯一解。即12212(a+a11 222(a+a11 22)lAl_-(alAl+a2+a221 22：a+aa)1222 2111-(aa+aa)1222 2111|A|+a2+a2aa1221其中detA=lAl=aa-aa12211122要求尸正定，则要求A=P=

1 1121—2(a+aii：—22—〉022)1川因此a+a<0，且detA>011 22a2因此a+a<0，且detA>011 2211 224-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。(1)x-—112-3(2)x-解：(1)系统唯一的平衡状态是x=0。选取Lyapunov函数为V(x)=x2+x2>0，则e 12V(x)=2xx+2xxii=2x(—x+2x)+2x(2x—3x)11 2 21 2=—2x2+6xx—6x2二—2(x—112 233—X)2——X2<022 22V(x)是负定的。|x-8，有V(x)-8。即系统在原点处大范围渐近稳定。(2)系统唯一的平衡状态备=0。选取Lyapunov函数为V(x)=x2+x2>0,则12V(x)=2xx+2xx11 22=2x(—x+x)+2x(—x—x)

112 212=—2x2—2x2<012V(x)是负定的.||x||-8，有V(x)-8。即系统在原点处大范围渐近稳定。4—6设非线性系统状态方程为：X=X2x=—〃(l+x)2x—x,a>02 2 1试确定平衡状态的稳定性.解:若采用克拉索夫斯基法，则依题意有f(x)= x2—a(1+x)2x—x2 21J(x)=年J0 1一d.xt —1—a—4ax—3ax2220100-1+-a-4ax—3ox22 2」0 1-2a-Sax—60x22 2」0-11-a-4ax—3ox22 2」很明显，Q(x)的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为V(x)=+x;〉。，则(x)=2xx+2xx11 22=2xx+2x(-x-a(l+x)12 2 1 2 2=-2a(l+x2)x2<022P(x)是负定的。1Mf00,有8。即系统在原点处大范围渐近稳定。4-9设非线性方程:x-x1 2X--X3-X2 1 2试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解：(1)采用克拉索夫斯基法，依题意有:f(x)=Xf(x)=2-X3—X1 2」J⑺乎J⑺乎OXT0—3x2=X2+(—X3-%)=X2+(—X3-%)2

2 1 2TOC\o"1-5"\h\z-X3—X+ 21 2」 -%3-XL1 2」||x||-00,有V(x)—8。取尸二/—。⑴=〃⑴+/(X)0—3x2 0 1=1+1 -1 —3x2-11」一0 1—3x2一二1TOC\o"1-5"\h\z1-3x2 -2L1 」n _1_i_Y2则。⑴二 1 ，根据希尔维斯特判据，有:—1+3x2 2L1 」A=0,A1 2-1+3x2A=0,A1 2-1+3x213x2-112二(3%2-1)2>o,Q(x)的符号无法判断。133(2)李雅普诺夫方法:选取Lyapunov函数为V(x)=一x4+-x2＞0，则4122(x)=3x3x+3xx11 22=3x3x+3x(一x3一x)12 2 1 2=-3x2<02(x)是负定的.||x||f8，有V(x)-8.即系统在原点处大范围渐近稳定。4—12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数x--x+2x2xTOC\o"1-5"\h\z<1 1 12X--X2 2解：假设V(x)的梯度为:(VVJ(VVJv121 122Iax+axJ211 222计算V(x)的导数为:V(x)V(x)=(VV)t%=(qa-xaxax+ax)111 122 211 222-x+2x2x112l -x2--ax2-(a+a)xx一ax2+2ax2x2+2ax3x111 12 21 12 222 1212 1112TOC\o"1-5"\h\z选择参数，试选a-a-1,a-a-0，于是得：11 22 12 21VVJ'］，显然满足旋度方程£1-第2同装=3-0,表明上述选择的参数是允许的.则有:lxJ d.x dx dx dx2 2 1 21V(x)--(1-2xx)x2-x212 1 2如果1-2xx>0或xx<1则V(x)是负定的，因此xx<1是x和卜的约束条件12 12 2,x ， ,12 2 1 2 .计算得到V(x)为:x1(x2-0) x2(x1-x1)V(x)- Jxdx+Jxdx11 22001=2(x2+x2)1V(x)是正定的，因此在1-2xx＞。即『＜万范围内，x-0是渐进稳定的。12 12 2 e现代控制理论第五章习题答案5-15-1已知系统状态方程为:11"00"11"00"比=0110试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，—3。解:依题意有:-11001M01M=bAbA2b；011112rankM；3,系统能控。2系统E=(A,b,C)的特征多项式为:0|XI-A；(九一1)3-(九一1)+1=X3-3九2+2九+1则将系统写成能控标准0 1I型，则有―则将系统写成能控标准0 1I型，则有―0 0-1-203"00"引入状态反馈后，系统的状态方程为：文=(A+)K)x+b"，其中K为x3矩阵，设K=[kkk],则系统0 1 2E=(A,bK,C)的特征多项式为：Kf(X)=det[AI-(A+bK)]=九3+(-3-k)Q+(2-k)九+(1-k)2 1 0根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：k；-9k=-9,则有：K=[-5-9-9].1 2f*(九)=(X+1)(k；-9k=-9,则有：K=[-5-9-9].1 2比较f(X)与户(九)各对应项系数，可解得：k；-505—3有系统:—21

x=_0—

y=L0]x(1)画出模拟结构图。(2)若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？(3)若指定极点为3—3,求状态反馈阵。解(1)系统模拟结构图如下：Y Y—]— ―2—如系统模拟由科图(2)系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统Z=(A/,C)完全能控。o对于系统Z=(A,/?,C)有：oM=[bAb]=\01]"1函=2,系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点.1—1(3)系统Z=(A),C)的特征多项式为：o|X/-A|=(X+2)(X+l)=X2+3X+2则将系统写成育时空标准I型，则有文』0 1[x+「0]"。-2-3JL1引入状态反馈后，系统的状态方程为： 比=(A+/?K)x+/?m,设K= k],则系统Z=(AbK,C)的特征多项TOC\o"1-5"\h\zo1 K式为：/(X)=det[九/—(A+bK)]= +(3—「)/+(2—左)1 o根据给定的极点值得到期望特征多项式为：/*(九)=(九+3)2=九2+6九+9比较/(九)与户(九)各对应项系数，可解得：k=-7k=-3,K=[-7-3]oo 15-4设系统传递函数为(s-D(s+2)(s+l)(s—2)(s+3)试问能否利用状态反馈将传递函数变成S—1(s+2)(s+3)若有可能，试求出状态反馈K,并画出系统结构图。

解：W(解：W(s)=(s-1)(S+2)(s+1)(s-2)(s+3) s3+2s2-5s-6由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。能控标准I型为20062006105令k=kkk］为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为012f(X)=det[九I-(A+bK]=X3+(2-k)X2+(-5-k)X+(-6+k)由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意配置极点应为一2,-2,—3,得期望特征多项式为f*(九)二(九+2)(九+3)(九+2):卜+7九2+16九+12比较f(X)与f*(九)的对应项系数，可得k=-18kk=-18k=-21k=-5

2即K=L18-21-5]5—5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。(1)A=(1)A=-101-2-10-21-1解：系统的能控阵为:2-2-4M=[bAbA2b]=011 100rankM=3,系统能控.-5由定理5。2。1可知，采用状态反馈对系统Z=(A,b,C)任意配置极点的充要条件是Z=(A,b,C)完全0 0能控。又由于rankM=3,系统Z=(A,b,C)能控,可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使闭0环系统镇定。5—7设计一个前馈补偿器，使系统1s1s+21ss+11s(s+1)解耦，且解耦后的极点为-1,-1,-2,-2.一1W(s)-1—1s”(s) 10 11 -1