几何证明选讲

几何证明选讲第1页，共25页，2023年，2月20日，星期三考纲要求考纲研读1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理．2．会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理．3．会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理．4．了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).有关线段的比值问题，除了用平行线分线段成比例定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解．解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线．与圆有关的比例线段问题通常要考虑相交弦定理、切割线定理、相似三角形的判定定理．弦切角、圆周角定理可解决圆内有关等角问题．四点共圆对角互补.第2页，共25页，2023年，2月20日，星期三1．平行线分线段成比例定理成比例三条平行线截两条直线，所得对应线段________．推论1：平行于三角形的一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段________．成比例对应成比例

推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边____________．2．射影定理的结论BD·BCCD·CBBD·CD在RtABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D.则：AB2＝________；AC2＝_________；AD2＝_________.第3页，共25页，2023年，2月20日，星期三3．相似三角形的判定与性质三边对应成比例(1)相似三角形的判定定理：平行两角夹角

①预备定理：______于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②判定定理1：_____对应相等，两三角形相似． ③判定定理2：_____对应成比例且_____相等，两三角形相似． ④判定定理3：_______________的两个三角形相似． ⑤判定定理4：两直角三角形有一个______对应相等，则它们相似．锐角两直角边

⑥判定定理5：两直角三角形的___________对应成比例，则它们相似．两边第4页，共25页，2023年，2月20日，星期三

⑦判定定理6：如果一个直角三角形的_____和___________与另一个直角三角形的_____和____________对应成比例，则它们相似．斜边一条直角边一条直角边(2)相似三角形的性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于________；相似比②相似三角形周长的比等于________；相似比③相似三角形面积的比等于______________．4．(1)圆内接四边形的对角______．互补(2)圆内接四边形的外角等于它的________．共圆(3)如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点____．斜边相似比的平方内对角第5页，共25页，2023年，2月20日，星期三5．直线与圆一半度数

(1)圆周角定理、圆心角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______．圆心角的度数等于它所对弧的_____．

(2)弦切角定理：弦切角等于__________________________．

(3)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的____相等．它所夹的弧所对的圆周角(4)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的_________．比例中项积第6页，共25页，2023年，2月20日，星期三1．在同一圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x＋70)°和90°，则x＝______.552．如图18－1－1，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆)周角∠ACB的度数是( A．80° B．100° C．120° D．130°

图18－1－1D第7页，共25页，2023年，2月20日，星期三3．如图18－1－2，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O135°上，若∠C＝∠D＝∠E，则∠A＋∠B＝_______.

图18－1－2第8页，共25页，2023年，2月20日，星期三4．(2010年广东)如图

18－1－3，在直角梯形ABCD中，DC

AD的中点，则EF＝____.a2图18－1－3

解析：连接DE，可知为直角三角形．则EF是斜边上的中线，等于斜边的一半，

第9页，共25页，2023年，2月20日，星期三

5．如图18－1－4，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝2，则AB＝_____，AC＝______，BC＝_____.

图18－1－43第10页，共25页，2023年，2月20日，星期三考点1相似三角形

例1：(2011年广东)如图

18－1－5，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E，F分别为AD，BC上的点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为________． 图18－1－5第11页，共25页，2023年，2月20日，星期三第12页，共25页，2023年，2月20日，星期三

本题的关键在于延长AD，BC，交点为P，从而将我们从不太熟悉的梯形转化到三角形中解决，反复运用相似三角形的面积比等于相似比的平方．当然证明三角形相似是基础，主要方法有：①两角相等；②两边对应成比例且夹角相等；③三边对应成比例．第13页，共25页，2023年，2月20日，星期三的中点，AE交BC于F，则＝_____.【互动探究】

1．如图18－1－6，在△ABC中，D是AC的中点，E是BDBFFC

图18－1－612第14页，共25页，2023年，2月20日，星期三

2．如图18－1－7，在半圆O中，AB为直径，CD⊥AB，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，则图中相似三角形一共有___对．

图18－1－73．(2011年广东广州测试)在梯形

ABCD中，AD∥BC，AD＝则EF的长为_____.523 7第15页，共25页，2023年，2月20日，星期三考点2与圆有关的角

例2：①如图18－1－8，已知AB是⊙O的弦，AC切⊙O于点A，∠BAC＝60°，则∠ADB的度数为________．

图18－1－8120°第16页，共25页，2023年，2月20日，星期三

②如图18－1－9，已知PA，PB是⊙O的切线，A，B分别为切点，C为⊙O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________度．

解析：连接AO，BO，由∠ACB＝120°得∠ACB所对的弧为240°， ∴∠AOB＝120°.

又∠PAO＋∠PBO＝180°， ∴∠APB＝180°－∠AOB＝60°.60°图18－1－9第17页，共25页，2023年，2月20日，星期三借用等弦或等弧所对的圆周角相等，所对的圆心角相等，可进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(圆心角)所对的弧相等，可进行弧(或弦)的等量代换．第18页，共25页，2023年，2月20日，星期三【互动探究】

4．如图18－1－10，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，115°MN切⊙O于A，∠MAB＝25°，则∠D＝______.

图18－1－10第19页，共25页，2023年，2月20日，星期三

考点3与圆有关的比例线段 例3：(2011年北京)如图

18－1－11，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：①AD＋AE＝AB＋BC＋CA；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()

图18－1－11A．①②B．②③C．①③D．①②③第20页，共25页，2023年，2月20日，星期三解析：①正确．由条件可知，BD＝BF，CF＝CE，可得AD＋AE＝AB＋BC＋CA.②正确．通过条件可知，AD＝AE.由切割定理可得AF·AG＝AD2＝AD·AE.③错误．连接FD，若△AFB∽△ADG，则有∠ABF＝∠DGF.通过图可知∠ABF＝∠BFD＋∠BDF＝2∠DGF，因而错误．答案选A.答案：A第21页，共25页，2023年，2月20日，星期三

相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到圆的两条割线就要想到割线定理；见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．第22页，共25页，2023年，2月20日，星期三【互动探究】

5．如图18－1－12，⊙M和⊙O交于A，B两点，点M在⊙O上，⊙O的弦MC分别与弦AB，⊙M交于D，E两点，若MD＝1，DC＝3，则⊙M的半径为____.2

图18－1－126．AB是⊙O的直径，OA＝2.5，C是圆上一点，CD⊥AB，垂足为D，且CD＝2，则AC＝__________.第23页，共25页，2023年，2月20日，星期三1．圆内接四边形的判定和性质(1)四点共圆判定方法：①如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；②如果四边形的一