高中不等式例题超全

一．不等式的性质：二．不等式大小比较的常用方法：1．作差：作差后经过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．解析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的单调性；7．搜寻中间量或放缩法；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三．重要不等式221.（1）若a,bR，则a2b22ab(2)若a,bR，则abab（当且仅当ab时取“=”）22.(1)若a,b*，则abab(2)若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“”）R2=a2*，则abb(当且仅当ab时取“=”）(3)若a,bR23.若x0，则x12(当且仅当x1时取“”）;x=1若x0，则x2(当且仅当x1时取“”）x=若ab0，则ab2(当且仅当ab时取“=”）baR，则(ab)224.若a,b2ab（当且仅当ab时取“=”）22注：（1）当两个正数的积为定植时，能够求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，能够求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实责问题方面有广泛的应用．2aba+ba2+b2a+b≤ab≤2≤2应用一：求最值例1：求以下函数的值域（1）y＝3x2＋12（）＝＋12x2yxx解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x5，求函数y4x21的最大值。44x5评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时，求yx(82x)的最大值。技巧三：分别例3.求yx27x10的值域。(x1)x1技巧四：换元解析二：此题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分别求最值。当,即t=时,y2t49（当t=2即＝1时取“＝”号）。5xta的单技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)xx调性。例：求函数yx25的值域。x24解：令x24t(t2)，则yx25x241t1(t2)x24x24t因t0,t11，但t1解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。tt因为yt1在区间1,单调递加，因此在其子区间2,为单调递加函数，故y5。t2因此，所求函数的值域为5,。22．已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.；3．0x2，求函数yx(23x)的最大值.3条件求最值1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是.解析：“和”到“积”是一个减小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b23ab6当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，3a3b的最小值是6．变式：若log4xlog4y112，求的最小值.并求x,y的值xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2：已知x0,y0，且191，求xy的最小值。xy应用二：利用基本不等式证明不等式1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca1）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例6：已知a、b、cR，且abc1。求证：1111118abc解析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又111abc2bc，可由此变形下手。aaaa解：a、b、cR，abc1。111abc2bc。同理112ac，112ab。aaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1111112bc2ac2ab8。当且仅当abc1时取等号。abcabc3应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知x0,y0且191，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy解：令xyk,x0,y0,191，xy9x9y1.10y9x1xykxkykkxky11023。k16，m,16k应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若ab1,Plgalgb,Q1(lgalgb),Rlg(ab)，则P,Q,R的大小关系是.21（lga2解析：∵ab1∴lga0,lgb0Qlgb)lgalgbpRlg(ab)1lgab2lgabQ∴R>Q22四．不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次经过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）依照曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式(x1)(x2)20。（答：{x|x1或x2}）；（2）不等式(x2)x22x30的解集是____（答：{x|x3或x1}）；（3）设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)0的解集为{x|1x2}，g(x)0的解集为，则不等式f(x)g(x)0的解集为______（答：(,1)[2,)）；（4）要使满足关于x的不等式2x29xa0（解集非空）的每一个x的值最少满足不等式x24x30和x26x80中的一个，则实数a的取值范围是.（答：[7,81)）84．分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能够去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式5xx212x3（答：(1,1)(2,3)）；（2）关于x的不等式axb0的解集为(1,)，则关于x的不等式axb0的解集为____________x2（答：(,1)(2,)）.指数和对数不等式。6．绝对值不等式的解法：（1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;②|ax+b|≥cax+b≥c或ax+b≤-c.（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，表现了分类谈论的思想；方法三：经过构造函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。例1：解以下不等式：

(1).x2

2x

x

(2).-3<

1

<2x【解析】：（1）解法一（公式法）原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1∴原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜解法2（数形结合法）作出表示图，易观察原不等式的解集为﹛x︱x<0或0<x<1或x>3﹜第（1）题图第（2）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且简单解答错误；若能结合反比率函数图象，则解集为x|x1或x<-1,结果如数家珍。3例2：解不等式：|x|1x1【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)=x的图象，（－，0）[1，＋）易知解集为解不等式.|x1||x1|3例3：2。【解法1】令2(x1)g(x)|x1||x1|2x(1x1)2(x1)h(x)32，分别作出函数g(x)和h(x)令的图象，知原不等式的[3,)解集为4【解法2】原不等式等价于|x1|3|x1|2g(x)|x1|,h(x)|x31|令2(3,7)分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g（x）和h（x）的图象的交点坐标为44|x1||x1|3[3,)因此不等式2的解集为4|x1||x31|【解法3】由2的几何意义可设Ｆ1（－１，０），Ｆ２（１，０），Ｍ（x，y），MF1MF232，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ2为焦点的双曲线的右支，其中右极点为（若，０），由双曲线的图象和｜x+1｜－｜x-1｜≥知x≥.7．含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类谈论是要点．”注意解完此后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数谈论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数谈论，最后应求并集.如（1）若loga21，则a的取值范围是__________（答：a1或0a2）；33（2）解不等式ax2x(aR)ax11或x0}；a1（答：a0时，{x|x0}；a0时，{x|x0时，{x|x0}或x0}）aa提示：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有会集的形式表示；（2）不等式解集的端点值经常是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式axb0的解集为(,1)，则不等式x20的解集为__________（答：（－1,2））axb例2.(1)求函数yx3x1的最大和最小值；(2)设aR，函数fxax2xa(1x1).若a1，求fx的最大值例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的行程之和最小，生活区应该建于哪处？七．证明不等式的方法：比较法、解析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后经过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，尔后作出结论。).常用的放缩技巧有：1111)11n11nn1n(nn2n(n1)1n如（1）已知abc，求证：a2bb2cc2aab2bc2ca2；(2)已知a,b,cR，求证：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；（3）已知a,b,x,yR，且11,xy，求证：xyy；abxab(4)若a、b、c是不全相等的正数，求证：lgablgbclgcalgalgblgc；222（5）已知a,b,cR，求证：a2b2b2c2c2a2abc(abc)；(6)若nN*，求证：(n1)21(n1)n21n；(7)已知|a||b|，求证：|a||b||a||b|；|ab||ab|（8）求证：11112。2232n2八．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的老例办理方式？（常应用函数方程思想和“分别变量法”转变成最值问题，也可抓住所给不等式的构造特色，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB如（1）设实数x,y满足x2(y1)21，当xyc0时，c的取值范围是______（答：21,）；（2）不等式x4x3a对一的确数x恒成立，求实数a的取值范围_____m(x2（答：a1）；（3）若不等式2x11)对满足m2的所有m都成立，则x的取值范围_____711））；（答：（,31)n122（4）若不等式(1)na2(关于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____n3)）；（答：[2,（5）若不等式x222mx2m10对0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围.⑹若不等式x2logax,对x(0,1)恒成立，则实数a的取值范围是2此题直接求解无从着手，结合函数x2及y=logax在（0,1）上的图象2易知，a只需满足条件：loga11即可从而解得a[1,1)0＜a＜1，且24162).能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmax