湖南省长沙市2026-2027学年高一（上）第一次月考数学试卷（9月份）(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年湖南省长沙市高一（上）第一次月考数学试卷（9月份）一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若集合A={x∈Z||x-1|＜a,a∈Z}内的元素个数为2027，则a=（）A.1012 B.1013 C.1014 D.10152.已知集合M={0}，N={x|x2=x}，则M与N的关系是（）A.M∈N B.M⊆N C.M=N D.M＜N3.“a＞b”是“＜＜0”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知x,y,z都是正数，则，这三个数（）A.都大于2 B.都小于2 C.至多有一个大于2 D.至少有一个不小于25.设p：0≤x≤3，q：mx2-mx＞6-m,若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A.（6，+∞） B. C.（8，+∞） D.6.已知集合A={x∈N*|1≤x≤20}，且集合B1，B2，B3，B4满足如下两个条件：

①每个集合均恰有5个元素；

②B1∪B2∪B3∪B4=A.

称集合Bi中元素的最大值与最小值之和为Bi的特征数Xi（i=1，2，3，4），则X1+X2+X3+X4的值可能为（）A.64 B.65 C.102 D.1037.现有一个迷宫如图所示，小球Ω从B，C，D三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球Ω从C口滚动进入”是“小球Ω从D口滚动出来”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.若a＞0，b＞0，c＞0且b+c=1，则的最小值为（）A. B.24 C.25 D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列集合中是空集的为（）A.{0} B.{x|x=n2+1，x＜0，n∈R}

C.{∅} D.10.若a＜b＜0，，则下列不等式中正确的有（）A. B.|c|＞|d| C. D.11.下列说法正确的是（）A.∀x∈R，-x2+9x+a+3＜0，则实数a的取值范围为

B.∃x∈R，-x2+9x+a+3＜-2x2+5x+3，则实数a的取值范围为

C.∃a∈R，∀x∈R，-2x2-（4-b）x+3＜-x2+bx+a+3＜10，则实数b的取值范围为

D.∃x∈（-∞，0），使得不等式0＜-x2+9x+a+3＜-2x2+5x+3成立，则实数a的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知命题p：“∀x≥3，使得2x-1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是

.13.设α：4≤x≤8，β：m+1≤x≤2m+4，m∈R，α是β的充分不必要条件，则实数m的取值范围是

.14.对于n元由0，1组成的有序数组，定义距离1为两个数组对应位置数字不相同的位置个数；对于非空整数集合M，N，定义距离2为满足M中每个数与N中数的差值的绝对值的最小值、N中每个数与M中数的差值的绝对值的最小值均不超过该数值的最小非负整数.若有两组0，1数组，另一组中间数组与二者的距离1均为2，则两组原数组的距离1的最大值为

；若整数集合A，B的距离2为3，B，C的距离2为2，则A，C的距离2的所有可能取值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知集合A={x|x2=a（3x-4）}，B={x|x2＞b}.

（1）若a=2，求A；

（2）若1∈A，且A⊆B，求实数b的取值范围.16.(本小题15分)

某班有学生20人，他们的学号分别是1，2，3，…，20，现有a,b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b.

（1）问至少读过一本书的有哪些同学？

（2）同时读了a,b两本书的有哪些同学？17.(本小题15分)

如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍.矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示.18.(本小题17分)

在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠D=∠E=∠F=90°，∠C=270°.设AB=a,BC=b,CD=c,DE=d.记六边形ABCDEF的周长为l,面积为S.

（1）求证：l＞4；

（2）若a=b,求l-4的最小值；

（3）求证：对任意正整数n≥5，存在六边形ABCDEF，使得l=n.19.(本小题17分)

已知函数y=ax2-（a+2）x+2，a∈R.

（1）y＜3-2x恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若关于x的方程y=（a-2）x+5有两个不相等的实数根x1、x2，且x1x2＞0，求的取值范围；

（3）若存在m＞0使关于x的方程有四个不同的实根，求实数a的取值范围.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】BD

10.【答案】AD

11.【答案】ACD

12.【答案】{m|m≤5}

13.【答案】[2，3]

14.【答案】41，2，3，4，5．

15.【答案】A={2，4}

（-∞，1）

16.【答案】解：（1）根据题意知，读过新书b的同学有学号为3，6，9，12，15，18的同学，

读过新书a的同学有学号为2，4，6，8，10，12，14，16，18，20的同学，

因此至少读过一本书的有学号为2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20的同学．

（2）同时读了a,b两本书的有学号为6，12，18的同学．

17.【答案】解：因为面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，

又仓库的四周建成绿地，

且仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍，

所以L＞4W＞0，

又（L+10）（W+10）＜350，

则所求不等式组为．

18.【答案】解：（1）证明：由图可知，外接矩形的长、宽分别为a+c,b+d,缺口矩形的长、宽分别为c,b,

因此l=2（a+b+c+d），S=（a+c）（b+d）-bc,

令X=a+c,Y=b+d,则．

又因为b,c均为正整数，所以bc＞0，从而S=XY-bc＜XY，

因此，即；

（2）当a=b时，l=4a+2c+2d,S=a2+ad+cd.

由恒等变形，．

若a+c≥3，由于a,c均为正整数，有ac≥a+c-1，所以．

而，故最小值不在a+c≥3时取得．

当a+c=2时，a=c=1，于是．

当d=2时，上式等于；

当d=1时，；

当d≥3时，，

因此上式在d=2时取得最小值，

此时（a,b,c,d）=（1，1，1，2），故的最小值为．

（3）证明：存在多边形使得对于任意正整数a,b,c,d,取A（0，0），B（a,0），C（a,b），D（a+c,b），E（a+c,b+d），F（0，b+d），

即可得到满足题设角度条件的六边形，且l=2（a+b+c+d），S=（a+c）（b+d）-bc.

下面对任意正整数n≥5构造相应的a,b,c,d.

当n=5时，取（a,b,c,d）=（1，1，2，1）．

此时l=10，S=4，所以，

当n=2k,其中k≥3时，取a=2k-1，b=4k2-16，c=1，d=2k3-4k2-6k+16，

其中b=4（k-2）（k+2）＞0，d=2[（k-3）（k2+k）+8]＞0，故a,b,c,d均为正整数．

又a+c=2k,b+d=2k（k2-3），所以l=4k（k2-2），S=4（k2-2）2，

因此．

当n=2k+1，其中k≥3时，取a=2k,b=k2+k-6，c=1，d=2k3+2k2-4k+4．

其中b=（k-2）（k+3）＞0，d=2[k（k-1）（k+2）+2]＞0，故a,b,c,d均为正整数．

又a+c=2k+1，b+d=（2k+1）（k2+k-2），所以l=2（2k+1）（k2+k-1），S=4（k2+k-1）2．

因此．

综上，对任意正整数n≥5，均存在满足的六边形ABCDEF．

19.【答案】解：（1）由y＜3-2x得ax2-（a+2）x+2＜3-2x恒成立，

因此ax2-ax-1＜0对任意的x∈R恒成立，

当a=0时，-1＜0恒成立，符合题意；

当a≠0时，那么，解得-4＜a＜0；

综上所述：实数a∈（-4，0]．

（2）由y=（a-2）x+5可得ax2-（a+2）x+2=（a-2）x+5，整理得ax2-2ax-3=0，

由题意可知a≠0，且Δ=4a2+12a＞0，解得a＜-3或a＞0，

根据韦达定理可得x1+x2=2，，可得a＜0，故a＜-3，

因此，

因为a＜-3，所以，所以，

故∈（2，4）．

（3）当m＞0时，令，根据基本不等式可得，

当且仅当时，即当m=1时取等号，

根据题意可得a|x|2-（a+2）|x|+2-t=0有四个不等实