2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章课后练习题

2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章课后练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，关于直线与平面垂直的判定定理，下列说法正确的是（）A.如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直B.如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直C.如果一条直线与平面内的三条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直D.如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直参考答案：A解析：根据直线与平面垂直的判定定理，若一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与平面垂直。选项B错误，因为直线与平面内的无数条直线垂直并不一定相交，无法保证垂直关系；选项C错误，三条直线若平行或共线则无法判定垂直；选项D错误，任意一条直线可能不满足相交条件。故正确答案为A。2.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知平面α和平面β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥l，b⊥l，那么直线a与直线b的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.垂直参考答案：A解析：由于直线a在平面α内，直线b在平面β内，且两平面相交于直线l，且a⊥l，b⊥l，根据平面几何性质，a与b平行。若a与b相交或异面，则无法同时满足垂直于l的条件。故正确答案为A。3.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知直线l与平面α斜交，直线m在平面α内，且l⊥m，那么直线l与平面α所成角的正弦值为（）A.sinθ（θ为l与m所成角）B.cosθ（θ为l与m所成角）C.tanθ（θ为l与m所成角）D.无法确定参考答案：B解析：直线l与平面α所成角的正弦值等于l在平面α内的投影与l的夹角的余弦值。由于l⊥m，且m在平面α内，因此l与m所成角即为l与平面α所成角的补角，其正弦值为cosθ。故正确答案为B。4.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，那么直线AE与平面C1DEF所成角的余弦值为（）A.√2/2B.1/2C.√3/2D.1/√2参考答案：D解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，C1(1,1,1)，E(0.5,0,0)，F(1,0.5,0)。平面C1DEF的法向量为向量AC1×向量DF，计算得法向量为(1,1,1)×(1,0.5,1)=(-0.5,1,-0.5)。直线AE的方向向量为(0.5,0,0)。余弦值为AE与法向量的夹角的余弦值，即|AE•法向量|/|AE||法向量|=|(0.5,0,0)•(-0.5,1,-0.5)|/√(0.5^2)×√(1^2+1^2+1^2)=1/√2。故正确答案为D。5.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知直线l与平面α所成角为30°，直线m与平面α所成角为60°，且l⊥m，那么直线l与直线m所成角的大小为（）A.30°B.60°C.90°D.120°参考答案：C解析：直线l与平面α所成角为30°，则l与平面α的夹角为60°；直线m与平面α所成角为60°，则m与平面α的夹角为30°。由于l⊥m，且两直线分别与平面α的夹角互补，因此l与m垂直，所成角为90°。故正确答案为C。6.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知平面α与平面β所成二面角为60°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，那么直线l与直线m所成角的大小为（）A.30°B.60°C.90°D.120°参考答案：D解析：二面角为60°，则两平面夹角的平面角为60°。直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，因此l与m所成角为二面角的补角，即120°。故正确答案为D。7.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，那么直线AE与平面B1C1DF所成角的正弦值为（）A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1/√2参考答案：B解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，B1(2,0,2)，C1(2,2,2)，E(1,0,0)，F(2,1,0)，G(2,2,1)。平面B1C1DF的法向量为向量B1C1×向量DF，计算得法向量为(0,2,0)×(1,1,1)=(-2,0,2)。直线AE的方向向量为(1,0,0)。正弦值为AE与法向量的夹角的正弦值，即|AE×法向量|/|AE||法向量|=|(1,0,0)×(-2,0,2)|/√(1^2)×√((-2)^2+0^2+2^2)=√2/2。故正确答案为B。8.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知直线l与平面α所成角为45°，直线m与平面α所成角为45°，且l∥m，那么直线l与直线m所成角的大小为（）A.0°B.45°C.90°D.135°参考答案：A解析：直线l与平面α所成角为45°，直线m与平面α所成角为45°，且l∥m，因此l与m平行，所成角为0°。故正确答案为A。9.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为3，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，H为棱C1D1的中点，那么直线AE与平面B1C1DFG所成角的余弦值为（）A.1/3B.√2/3C.2/3D.√3/3参考答案：B解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,3,0)，D(0,3,0)，B1(3,0,3)，C1(3,3,3)，E(1.5,0,0)，F(3,1.5,0)，G(3,3,1.5)，H(1.5,3,3)。平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,3,0)×(1,1,1)×(1.5,0,1.5)=(9,0,-4.5)。直线AE的方向向量为(1.5,0,0)。余弦值为AE与法向量的夹角的余弦值，即|AE•法向量|/|AE||法向量|=|(1.5,0,0)•(9,0,-4.5)|/√(1.5^2)×√(9^2+(-4.5)^2)=√2/3。故正确答案为B。10.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知平面α与平面β所成二面角为90°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，那么直线l与直线m所成角的大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°参考答案：D解析：二面角为90°，则两平面垂直。直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，因此l与m垂直，所成角为90°。故正确答案为D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为4，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，那么直线AE与平面C1DEF所成角的正弦值等于________。参考答案：√5/5解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,4,0)，D(0,4,0)，C1(4,4,4)，E(2,0,0)，F(4,2,0)。平面C1DEF的法向量为向量C1D×向量DF，计算得法向量为(0,0,-4)×(4,2,4)=(-8,16,0)。直线AE的方向向量为(2,0,0)。正弦值为AE与法向量的夹角的正弦值，即|AE×法向量|/|AE||法向量|=|(2,0,0)×(-8,16,0)|/√(2^2)×√((-8)^2+16^2)=√5/5。2.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知平面α与平面β所成二面角为30°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，那么直线l与平面β所成角的大小为________。参考答案：60°解析：二面角为30°，则两平面夹角的平面角为30°。直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，因此l与平面β所成角为60°。3.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为5，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，那么直线AE与平面B1C1DFG所成角的余弦值等于________。参考答案：√11/11解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(5,0,0)，C(5,5,0)，D(0,5,0)，B1(5,0,5)，C1(5,5,5)，E(2.5,0,0)，F(5,2.5,0)，G(5,5,2.5)。平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,5,0)×(5,5,5)×(2.5,0,2.5)=(25,0,-25)。直线AE的方向向量为(2.5,0,0)。余弦值为AE与法向量的夹角的余弦值，即|AE•法向量|/|AE||法向量|=|(2.5,0,0)•(25,0,-25)|/√(2.5^2)×√(25^2+(-25)^2)=√11/11。4.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知直线l与平面α所成角为30°，直线m与平面α所成角为60°，且l⊥m，那么直线l与直线m所成角的大小为________。参考答案：90°解析：直线l与平面α所成角为30°，则l与平面α的夹角为60°；直线m与平面α所成角为60°，则m与平面α的夹角为30°。由于l⊥m，且两直线分别与平面α的夹角互补，因此l与m垂直，所成角为90°。5.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为6，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，H为棱C1D1的中点，那么直线AE与平面B1C1DFG所成角的正弦值等于________。参考答案：√13/13解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(6,0,0)，C(6,6,0)，D(0,6,0)，B1(6,0,6)，C1(6,6,6)，E(3,0,0)，F(6,3,0)，G(6,6,3)，H(3,6,6)。平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,6,0)×(6,6,6)×(3,0,3)=(36,0,-36)。直线AE的方向向量为(3,0,0)。正弦值为AE与法向量的夹角的正弦值，即|AE×法向量|/|AE||法向量|=|(3,0,0)×(36,0,-36)|/√(3^2)×√(36^2+(-36)^2)=√13/13。6.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知平面α与平面β所成二面角为45°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，那么直线l与直线m所成角的大小为________。参考答案：135°解析：二面角为45°，则两平面夹角的平面角为45°。直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，因此l与m所成角为45°的补角，即135°。7.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为7，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，H为棱C1D1的中点，那么直线AE与平面B1C1DFG所成角的余弦值等于________。参考答案：√17/17解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(7,0,0)，C(7,7,0)，D(0,7,0)，B1(7,0,7)，C1(7,7,7)，E(3.5,0,0)，F(7,3.5,0)，G(7,7,3.5)，H(3.5,7,7)。平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,7,0)×(7,7,7)×(3.5,0,3.5)=(49,0,-49)。直线AE的方向向量为(3.5,0,0)。余弦值为AE与法向量的夹角的余弦值，即|AE•法向量|/|AE||法向量|=|(3.5,0,0)•(49,0,-49)|/√(3.5^2)×√(49^2+(-49)^2)=√17/17。8.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知直线l与平面α所成角为45°，直线m与平面α所成角为45°，且l∥m，那么直线l与直线m所成角的大小为________。参考答案：0°解析：直线l与平面α所成角为45°，直线m与平面α所成角为45°，且l∥m，因此l与m平行，所成角为0°。9.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知平面α与平面β所成二面角为60°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，那么直线l与直线m所成角的大小为________。参考答案：120°解析：二面角为60°，则两平面夹角的平面角为60°。直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，因此l与m所成角为二面角的补角，即120°。10.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为8，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，H为棱C1D1的中点，那么直线AE与平面B1C1DFG所成角的正弦值等于________。参考答案：√19/19解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(8,0,0)，C(8,8,0)，D(0,8,0)，B1(8,0,8)，C1(8,8,8)，E(4,0,0)，F(8,4,0)，G(8,8,4)，H(4,8,8)。平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,8,0)×(8,8,8)×(4,0,4)=(64,0,-64)。直线AE的方向向量为(4,0,0)。正弦值为AE与法向量的夹角的正弦值，即|AE×法向量|/|AE||法向量|=|(4,0,0)×(64,0,-64)|/√(4^2)×√(64^2+(-64)^2)=√19/19。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。参考答案：正确解析：根据直线与平面垂直的判定定理，若一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与平面垂直。2.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。参考答案：错误解析：直线与平面内的无数条直线垂直并不一定相交，无法保证垂直关系。3.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果一条直线与平面内的三条直线都垂直，那么这条直线与平面垂直。参考答案：错误解析：三条直线若平行或共线则无法判定垂直。4.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与平面垂直。参考答案：正确解析：任意一条直线若与平面内所有直线垂直，则该直线与平面垂直。5.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果直线l与平面α所成角为30°，直线m与平面α所成角为60°，且l⊥m，那么直线l与直线m所成角为90°。参考答案：正确解析：l与平面α的夹角为60°，m与平面α的夹角为30°，l⊥m，因此l与m垂直。6.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果平面α与平面β所成二面角为60°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，那么直线l与直线m所成角为120°。参考答案：正确解析：二面角为60°，则两平面夹角的平面角为60°。l在平面α内，m在平面β内，且l⊥m，因此l与m所成角为二面角的补角，即120°。7.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为9，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，那么直线AE与平面C1DEF所成角的正弦值等于√5/5。参考答案：正确解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(9,0,0)，C(9,9,0)，D(0,9,0)，C1(9,9,9)，E(4.5,0,0)，F(9,4.5,0)。平面C1DEF的法向量为向量C1D×向量DF，计算得法向量为(0,0,-9)×(9,4.5,9)=(-40.5,81,0)。直线AE的方向向量为(4.5,0,0)。正弦值为AE与法向量的夹角的正弦值，即|AE×法向量|/|AE||法向量|=|(4.5,0,0)×(-40.5,81,0)|/√(4.5^2)×√((-40.5)^2+81^2)=√5/5。8.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果直线l与平面α所成角为45°，直线m与平面α所成角为45°，且l∥m，那么直线l与直线m所成角为0°。参考答案：正确解析：直线l与平面α所成角为45°，直线m与平面α所成角为45°，且l∥m，因此l与m平行，所成角为0°。9.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果平面α与平面β所成二面角为90°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，那么直线l与直线m所成角为90°。参考答案：正确解析：二面角为90°，则两平面垂直。l在平面α内，m在平面β内，且l⊥m，因此l与m垂直，所成角为90°。10.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，如果正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为10，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，H为棱C1D1的中点，那么直线AE与平面B1C1DFG所成角的余弦值等于√21/21。参考答案：正确解析：取正方体的顶点A(0,0,0)，B(10,0,0)，C(10,10,0)，D(0,10,0)，B1(10,0,10)，C1(10,10,10)，E(5,0,0)，F(10,5,0)，G(10,10,5)，H(5,10,10)。平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,10,0)×(10,10,10)×(5,0,5)=(500,0,-500)。直线AE的方向向量为(5,0,0)。余弦值为AE与法向量的夹角的余弦值，即|AE•法向量|/|AE||法向量|=|(5,0,0)•(500,0,-500)|/√(5^2)×√(500^2+(-500)^2)=√21/21。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，简述直线与平面垂直的判定定理及其应用。参考答案：直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。应用：该定理常用于判断直线与平面是否垂直，例如在立体几何中证明直线与平面垂直，或计算直线与平面所成角。2.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，简述平面与平面垂直的判定定理及其应用。参考答案：平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。应用：该定理常用于判断平面与平面是否垂直，例如在立体几何中证明平面与平面垂直，或计算二面角。3.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，简述直线与平面所成角的定义及其计算方法。参考答案：直线与平面所成角：直线与平面内的一条直线所成角的最小角。计算方法：直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面内投影的夹角的正弦值，即sinθ=|AE×法向量|/|AE||法向量|。4.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，简述二面角的定义及其计算方法。参考答案：二面角：两个平面相交形成的角。计算方法：二面角的平面角的正弦值等于两平面法向量的夹角的正弦值，即sinθ=|n1×n2|/|n1||n2|。5.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，简述正方体中棱、对角线与平面的位置关系。参考答案：正方体中，棱与对角线与平面的位置关系取决于它们与平面的夹角。例如，棱与平面垂直时，夹角为90°；棱与平面平行时，夹角为0°；对角线与平面所成角为45°。6.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，简述直线与平面垂直的性质定理及其应用。参考答案：直线与平面垂直的性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。应用：该定理常用于证明直线与平面内的直线垂直，或计算直线与平面所成角。7.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，简述平面与平面垂直的性质定理及其应用。参考答案：平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂线垂直于另一个平面。应用：该定理常用于证明平面与平面内的直线垂直，或计算二面角。8.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，简述直线与平面所成角的计算步骤。参考答案：直线与平面所成角的计算步骤：9.确定直线与平面的交点；10.计算直线与平面内投影的夹角；11.计算夹角的正弦值，即sinθ=|AE×法向量|/|AE||法向量|。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为12，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，H为棱C1D1的中点，求直线AE与平面B1C1DFG所成角的正弦值。解题思路：2.取正方体的顶点A(0,0,0)，B(12,0,0)，C(12,12,0)，D(0,12,0)，B1(12,0,12)，C1(12,12,12)，E(6,0,0)，F(12,6,0)，G(12,12,6)，H(6,12,12)。3.平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,12,0)×(12,12,12)×(6,0,6)=(576,0,-576)。4.直线AE的方向向量为(6,0,0)。正弦值为AE与法向量的夹角的正弦值，即|AE×法向量|/|AE||法向量|=|(6,0,0)×(576,0,-576)|/√(6^2)×√(576^2+(-576)^2)=√3/3。参考答案：√3/3评分标准：5.正确确定顶点坐标得2分；6.正确计算平面法向量得2分；7.正确计算正弦值得2分。8.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知平面α与平面β所成二面角为60°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，求直线l与直线m所成角的大小。解题思路：9.二面角为60°，则两平面夹角的平面角为60°。10.l在平面α内，m在平面β内，且l⊥m，因此l与m所成角为二面角的补角，即120°。参考答案：120°评分标准：11.正确理解二面角得2分；12.正确计算所成角得2分。13.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为14，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，H为棱C1D1的中点，求直线AE与平面B1C1DFG所成角的余弦值。解题思路：14.取正方体的顶点A(0,0,0)，B(14,0,0)，C(14,14,0)，D(0,14,0)，B1(14,0,14)，C1(14,14,14)，E(7,0,0)，F(14,7,0)，G(14,14,7)，H(7,14,14)。15.平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,14,0)×(14,14,14)×(7,0,7)=(196,0,-196)。16.直线AE的方向向量为(7,0,0)。余弦值为AE与法向量的夹角的余弦值，即|AE•法向量|/|AE||法向量|=|(7,0,0)•(196,0,-196)|/√(7^2)×√(196^2+(-196)^2)=√2/2。参考答案：√2/2评分标准：17.正确确定顶点坐标得2分；18.正确计算平面法向量得2分；19.正确计算余弦值得2分。20.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知直线l与平面α所成角为30°，直线m与平面α所成角为60°，且l∥m，求直线l与直线m所成角的大小。解题思路：21.直线l与平面α所成角为30°，则l与平面α的夹角为60°；22.直线m与平面α所成角为60°，则m与平面α的夹角为30°；23.l∥m，因此l与m平行，所成角为0°。参考答案：0°评分标准：24.正确理解直线与平面所成角得2分；25.正确计算所成角得2分。26.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知平面α与平面β所成二面角为90°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，求直线l与直线m所成角的大小。解题思路：27.二面角为90°，则两平面垂直；28.l在平面α内，m在平面β内，且l⊥m，因此l与m垂直，所成角为90°。参考答案：90°评分标准：29.正确理解二面角得2分；30.正确计算所成角得2分。31.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为16，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，H为棱C1D1的中点，求直线AE与平面B1C1DFG所成角的正弦值。解题思路：32.取正方体的顶点A(0,0,0)，B(16,0,0)，C(16,16,0)，D(0,16,0)，B1(16,0,16)，C1(16,16,16)，E(8,0,0)，F(16,8,0)，G(16,16,8)，H(8,16,16)。33.平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,16,0)×(16,16,16)×(8,0,8)=(1024,0,-1024)。34.直线AE的方向向量为(8,0,0)。正弦值为AE与法向量的夹角的正弦值，即|AE×法向量|/|AE||法向量|=|(8,0,0)×(1024,0,-1024)|/√(8^2)×√(1024^2+(-1024)^2)=√2/2。参考答案：√2/2评分标准：35.正确确定顶点坐标得2分；36.正确计算平面法向量得2分；37.正确计算正弦值得2分。38.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知直线l与平面α所成角为45°，直线m与平面α所成角为45°，且l∥m，求直线l与直线m所成角的大小。解题思路：39.直线l与平面α所成角为45°，则l与平面α的夹角为45°；40.直线m与平面α所成角为45°，则m与平面α的夹角为45°；41.l∥m，因此l与m平行，所成角为0°。参考答案：0°评分标准：42.正确理解直线与平面所成角得2分；43.正确计算所成角得2分。44.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知平面α与平面β所成二面角为45°，直线l在平面α内，直线m在平面β内，且l⊥m，求直线l与直线m所成角的大小。解题思路：45.二面角为45°，则两平面夹角的平面角为45°；46.l在平面α内，m在平面β内，且l⊥m，因此l与m所成角为45°的补角，即135°。参考答案：135°评分标准：47.正确理解二面角得2分；48.正确计算所成角得2分。49.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知正方体ABCDS-A1B1C1D1的棱长为18，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱CC1的中点，H为棱C1D1的中点，求直线AE与平面B1C1DFG所成角的余弦值。解题思路：50.取正方体的顶点A(0,0,0)，B(18,0,0)，C(18,18,0)，D(0,18,0)，B1(18,0,18)，C1(18,18,18)，E(9,0,0)，F(18,9,0)，G(18,18,9)，H(9,18,18)。51.平面B1C1DFG的法向量为向量B1C1×向量DF×向量DG，计算得法向量为(0,18,0)×(18,18,18)×(9,0,9)=(324,0,-324)。52.直线AE的方向向量为(9,0,0)。余弦值为AE与法向量的夹角的余弦值，即|AE•法向量|/|AE||法向量|=|(9,0,0)•(324,0,-324)|/√(9^2)×√(324^2+(-324)^2)=√2/2。参考答案：√2/2评分标准：53.正确确定顶点坐标得2分；54.正确计算平面法向量得2分；55.正确计算余弦值得2分。56.在《2026年海南省人教版高一数学必修第一册第11章》中，已知直线l与平面α所成角为60°，直线m与平面α所成角为30°，且l⊥m，求直线l与直线m所成角的大小。解题思路：57.直线l与平面α所成角为60°，则l与平面α的夹角为30°；58.直线m与平面α所成角为30°，则m与平面α的夹角为60°；59.l⊥m，因此l与m垂直，所成角为90°。参考答案：90°评分标准：60.正确理解直线与平面所成角得2分；61.正确计算所成角得2分。【标准答案及解析】一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.A2.A3.B4.A5.A2.D7.B8.A9.B10.D二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.√5/512.60°13.√11/1114.90°15.√19/192.120°17.√17/1718.0°19.120°20.√21/21三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.正确22.错误23.错误24.正确25.正确2.正确27.正确28.正确29.正确30.正确四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。应用：该定理常用于判断直线与平面是否垂直，例如在立体几何中证明直线与平面垂直，或计算直线与平面所成角。2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。应用：该定理常用于判断平面与平面是否垂直，例如在立体几何中证明平面与平面垂直，或计算二面角。3.直线与平面所成角：直线与平面内的一条直线所成角的最小角。计算方法：直线与平面所成角的正弦值等于直线与平面内投影的夹角的正弦值，即sinθ=|AE×法向量|/|AE||法向量|。4.二面角：两个平面相交形成的角。计算方法：二面角的平面角的正弦值等于两平面法向量的夹角的正弦值，即sinθ=|n1×n2|/|n1||n2|。5.正方体中棱、对角线与平面的位置关系：正方体中，棱与对角线与平面的位置关系取决于它们与平面的夹角。例如，棱与平面垂直时，夹角为90°；棱与平面平行时，夹角为0°；对角线与平面所成角为45°。6.直线与平面垂直的性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于平面内的所有直线。应用：该定理常用于证明直线与平面内的直线垂直，或计算直线与平面所成角。7.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂线垂直于另一个平面。应用：该定理常用于证明平面与平面内的直线垂直，或计算二面角。8.直线与平面所成角的计算步骤：直线与平面所成角的计算步骤：9.确定直线与平面的交点；10.计算直线与平面内投影的夹角；11.计算夹角的正弦值，即sinθ=|AE×法向量|/|AE||法向量|。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.正方体中棱长为12，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点，G为棱