高中三角函数教学设计及习题及

高中三角函数授课方案及习题及答案高中三角函数授课方案及习题及答案/高中三角函数授课方案及习题及答案第三章三角函数章节结构图三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在察看中，以简单题和中档题为主．在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频频出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意解析比较，提高能力．3．1三角函数的看法(一)复习指导1．认识任意角的看法，认识弧度制看法，能进行弧度与角度的互化．2．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握任意角的三角函数在各个象限的符号．3．会应用三角函数线解决与三角函数相关的简单问题．(二)解题方法指导例1．写出与－60°终边相同的角的会集S，并把S中满足－2≤α≤4的元素α写出来．例2．已知角α终边上有一点P(x，1)，且cos1，求sinα，tanα．2例3．求函数f(x)sinx1的定义域．2例4．已知α∈(0，)，比较sin,tan的大小．22(三)领悟与感觉1．重点知识________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．问题与迷惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________________________________________________________________________________________第1页共14页13．2同角三角函数关系及引诱公式(一)复习指导1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1,sinxtanx.cosx2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π的正弦、余弦、正切的引诱公式．,π23．能综合运用引诱公式和同角关系式对代数式进行化简．(二)解题方法指导例1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．例2．求tan(120)cos(210)sin(480)的值．tan(690)sin(150)cos(330)例3．若sinxcosx2,，求sinxcosx的值．sinxcosx例4．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．(三)领悟与感觉1．重点知识_______________________________________________________________________________________________________________________________________________2．问题与迷惑_____________________________________________________________________________________________________________________________________________3．经验问题梳理___________________________________________________________________________________________________________________________________________3．3三角函数的图象与性质(一)(一)复习指导1．能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，认识三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等)第2页共14页2ππ3．理解正切函数在区间(,)的单调性．22(二)解题方法指导函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域周期奇偶性单调性增区间增区间增区间减区间减区间减区间对称性对称轴对称轴对称轴对称中心对称中心对称中心例1．用五点法画出函数ysin(xπ)草图，并求出函数的周期，单调区间，对称轴，3对称中心．例2．求函数y2sin(xπ]上的值域．)在区间[0，26例3．求以下函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2；(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．1sinx例4．求函数y的值域．3cosx(三)领悟与感觉1．重点知识________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．问题与迷惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________________________________________________________________________________________第3页共14页33．4三角函数的图象与性质(二)(一)复习指导1．认识函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义；能画出y=Asin(ωx+φ)的图象，认识参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2．认识三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．(二)解题方法指导例1．在同一个坐标系中，用五点法画出以下函数的草图．(1)ysinx,ysin(xπ(2)ysin2x,ysin(2xπ);).33例2．已知函数f(x)sin(2xπy=sinx的图象经过怎样的平)，该函数的图象能够由6移和伸缩变换获取．例3．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．例4．已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．π(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若x[0,],求f(x)的最大值、最小值．2(三)领悟与感觉1．重点知识________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．问题与迷惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________________________________________________________________________________________3．5和、差、倍角的三角函数(一)(一)复习指导1．掌握两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，认识它们的内在联系．3．能用上述公式解决一些化简和求值问题．第4页共14页4(二)解题方法指导例1．若1tanx5，则tan(xπ())的值为1tanx4(A)5(B)5(C)5(D)555例2．(sinxcosx)22sin2(πx)____________．4例3．已知tan(πx)1．求sin2x2cos2x的值．421cos2x例4．已知f(cosx)=cos2x.π(Ⅰ)求f(cos( ))的值；(Ⅱ)求f(sinx)．16(三)领悟与感觉1．重点知识________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．问题与迷惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________________________________________________________________________________________3．6和、差、倍角的三角函数(二)(一)复习指导1．能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值．2．掌握Asinx+Bcosx型代数式变形方法．(二)解题方法指导例1．已知cos4,(π,π)，则cos(π)()．5242(B)2(C)7272(A)1010(D)1010例2．f(x)cos2x23sinxcosx的最小值为____．例3．已知：0xπ3π5,cosx，且yπ，且sin(xy)，求cosy的值．25213第5页共14页5π34例4．已知0π,sin,cos( )255

，求sinβ．(三)领悟与感觉1．重点知识________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．问题与迷惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________________________________________________________________________________________3．7正弦定理和余弦定理(一)复习指导1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形胸襟问题．2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算相关的实质问题．(二)解题方法指导例1．在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，则其最大角为____．例2．在△ABC中，有acosA=bcosB，判断△ABC的形状．例3．在△ABC中，∠A=60°，面积为103，周长为20，求三条边的长．例4．在一条河的对岸有两个目标物A，B，但不能够到达．在岸边采用相距23里的C，两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，且A，B，C，D在同一个平面内，求A，B之间的距离．(三)领悟与感觉1．重点知识________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．问题与迷惑______________________________________________________________________________________________________________________________________________3．经验问题梳理____________________________________________________________________________________________________________________________________________第6页共14页6例题解析第三章三角函数3．1三角函数的看法例1解析：先把角转变为弧度制，尔后写出与其终边相同角的会集．解：因为60oπS{|2kππZ},，因此,k33S中满足－2π≤α≤4π的元素有π5π11π3,3,3例2解析：已知一个角的一个函数值，能够利用三角函数定义求其他三角函数值，也可以利用同角关系直接求得．解：因为P(x，1)在角α的终边上，因此，rx24,cosx1,x212解得x3,又因为x＞0，因此x3,因此sin33.,tan332小结：知道一个角某个三角函数值，求其他的函数值，是三角函数求值问题中典型问题之一．例3解：因为sinx10，因此sinx1,22当sinx1时，x2kππ或x2kπ5π,kZ,利用三角形函数线获取，266x[2kππ5πZ.,2kπ6],k6例4解析：比较不一样三角函数值的大小，能够充分利用三角函数线．解：因为α∈(0，π)，因此(0,π)，如图3－1－2，在单位圆中，作出的正弦线222MP和正切线AT，因为S△OAP＜S△OAT，因此1|OA||MP|1|OA||AT|,22即｜MP｜＜｜AT｜，因此sintan22小结：例3和例4都是三角形函数线的应用，其中例4还可以够利用比较法来解决，实质第7页共14页7上有xπ(0,)时，sinx＜x＜tanx．23．2同角三角函数关系及引诱公式例1解析：知道一个角某个三角函数值，求其他函数值，方程思想是通法．解：因为tanxsinx2，又sin2x＋cos2x=1，cosxsinx2cosx，联立得cos2xsin2x12525sinx5,sinx5.解这个方程组得cosx5cosx555小结：这道题和中的例2属于同一种类问题．例2解析：这种代数式化简，一般要用到引诱公式和同角函数关系，要注意公式的正确使用，特别是函数名称和符号的变化方法．解：原式tan(120180)cos(18030)sin(360120)tan(72030o)sin(150)cos(36030)tan60(cos30)(sin120)33.tan30(sin150)cos30例3解析：这种代数式求值，能够利用方程组的思想，求出每个函数值，也能够利用sinx±cosx与sinxcosx的关系，整体求值．解：法一：因为sinxcosx2,sinxcosx因此sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，22，联立方程组，解得获取sinx=－3cosx，又sinx＋cosx=1310sinx310sinx1010，，cosx10cosx1010103因此sinxcosx10第8页共14页8法二：因为sinxcosx2,sinxcosx因此sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，22因此(sinx－cosx)=4(sinx＋cosx)，因此有sinxcosx

310小结：这两种方法中，第一种是通法，第二种利用了整体求值．例4解析：这种证明问题，能够从左边开始变形，向右边看齐，也能够反过来，还有的时候是两边同时变形．在变形的时候，要注意公式的正确使用，同时要时辰注意目标是什么．证明：法一：右边＝222222222tanx－sinx=tanx－(tanx·cosx)=tanx(1－cosx)=tanx·sinx，问题得证．法二：左边=tan2x·sin2x=tan2x(1－cos2x)=tan2x－tan2x·cos2x=tan2x－sin2x，问题得证．3．3三角函数的图象与性质(一)例1解：π0ππ3π2πx223xππ2π7π5π36363y010－10周期为T=2π，单调增区间为5ππZ,(2kπ,2kπ),k66单调减区间为π7πZ,(2kπ,2kπ),k66对称轴为xkππ,kZ,6π对称中心为(kπ,0),kZ.小结：画图的时候，要注意五个点的采用．例2解析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与x相关的代数式的取值范围求出来，尔后利用三角函数图象求其值域．解：因为0≤x≤2π，因此0xπ,πxπ7π,由正弦函数的图象，26266xπ1,1],获取sin()[226因此y∈[－1，2]．例3解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，第9页共14页9令t=cosx，则t[1,1],y(t2t)3(t1)213(t1)213,2424利用二次函数的图象获取y[1,13].4(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)2－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx2，sin(xπ)，则t[2,2]则，yt2t1,4利用二次函数的图象获取y[5,12].4小结：利用三角函数关系把代数式转变为一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转变后自变量的取值范围．例4解：设A(3，1)，P(cosx，sinx)，把y看作定点A与动点P所在直线的斜率，因为动点P(cosx，sinx)在单位圆上，因此只要求经过点A(3，1)与单位圆相切的两条直线的斜率，两条切线的斜率分别为0和3,4因此y[0,3].4小结：这是数形结合解题的一个典型问题．3．4三角函数的图象与性质(二)例1解：(1)x0ππ3π2π22y010－10xπππ3π2π0223xππ2π7π5π36363y010－10第10页共14页10(2)2x0ππ3π2π22x0ππ3ππ424y010－102xπππ3π2π0223xπππ7π5π6123126y010－10例2解析：这种问题的难点在于确定变换的先后序次．解：法一：将函数y=sinx依次作以下变换：(1)把函数y=sinx的图象向左平移ππ个单位，获取函数ysin(x)的图象；66(2)把函数yπ图象上各点的横坐标减小到原来的1，纵坐标保持不变，获取sin(x)26函数ysin(2xπ)的图象．6法二：将函数y=sinx依次作以下变换：(1)把函数y=sinx的图象上各点的横坐标减小到原来的1，纵坐标保持不变，获取函数2y=sin2x的图象．(2)把函数y=sin2x向左平移π个单位，获取函数yππ12sin2(x)，即ysin(2x)的126图象．小结：在进行图象变换的时候，应注意平移变换和压缩变换的序次，序次不一样样，则平移的单位不一样样．如y=sin2x的图象向左平移π个单位，获取函数ysin2(xπ)，即1212ysin(2xπ)的图象．6例3解析：这样的问题，第一要清楚几个参数A，ω，φ对函数图象的影响，能够画出一个草图来解析问题．解：由最高点为(2,2)，获取A2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是1个周期，这样求得T4，T=16，因此π448第11页共14页11又由22sin(π2)，获取能够取πππ.y2sin(x).8484例4解析：这个函数的解析式比较复杂，我们先对其进行化简，这包括减少函数名称，降低次数，尔后再求相应的问题．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x(cos2xsin2x)sin2xcos2xπ2x)2sin(2xπsin2x2sin()44因此最小正周期为π．(Ⅱ)若x[0,πππ3π时，f(x)取最大值为2sin(π1;]，则(2x)[,]，因此当x=0)24444当x3π时，f(x)取最小值为2.83．5和、差、倍角的三角函数(一)πtanx例1解：1tanxtantan(πx)5，因此tan(πx)114π,1tanx1tan44π54tanxtan(x)4选C．小结：本题还可以够tanx把的值求出来，尔后使用两角和的正切公式求值．例2解：(sinxcosx)22sin2(πx)41sin2x1πx)1sin2x1sin2x2.cos2(4例3解：因为tan(sin2x2cos2x1cos2x

πx)1tanx1，因此41tanx22sinxcosx2cos2x2cos2tanxx

tanx1,3413小结：在求值问题中，应该先对代数式进行化简，在化简的过程中解析怎样利用条件推导出结果．例4解：(Ⅰ)因为f(cos(πcosπ16)),8π1cosπ1222ππ22242;而cos8224且cos0，因此cos288(Ⅱ)因为f(sinx)πx))πx))c