2023年上海黄浦区数学高一下期末监测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．袋中有个大小相同的小球，其中个白球，个红球，个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（）A． B． C． D．2．甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（）A．，乙比甲成绩稳定B．，甲比乙成绩稳定C．，乙比甲成绩稳定D．，甲比乙成绩稳定3．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别为1，1，则输出的是（）A．29 B．17 C．12 D．54．已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①，，，则；②，，，则；③，，，则；④，，，则其中正确的命题个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知圆：及直线：，当直线被截得的弦长为时，则等于（）A． B． C． D．6．函数则＝（）A． B． C．2 D．07．化成弧度制为（）A． B． C． D．8．已知为角终边上一点，且，则（）A． B． C． D．9．已知平面上四个互异的点、、、满足：，则的形状一定是（）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形10．等差数列的前n项和为，且，，则(

)A．10 B．20 C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．12．已知，则___________.13．正六棱柱各棱长均为，则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________．14．在等比数列中，，，则______________.15．经过两圆和的交点的直线方程为______．16．函数的反函数为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的单调递增区间.18．已知函数，且.（1）求常数及的最大值；（2）当时，求的单调递增区间.19．已知向量且，（1）求向量与的夹角；（2）求的值.20．已知公差为正数的等差数列，，且成等比数列.（1）求；（2）若，求数列的前项的和.21．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，点是的中点，点是和的交点．(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】

利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】从袋中个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为，故选D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.2、C【解析】甲的平均成绩，甲的成绩的方差；乙的平均成绩，乙的成绩的方差.∴，乙比甲成绩稳定.故选C.3、B【解析】

根据程序框图依次计算得到答案.【详解】结束，输出故答案选B【点睛】本题考查了程序框图的计算，属于常考题型.4、B【解析】

根据线面和线线平行与垂直的性质逐个判定即可.【详解】对①,,,不一定有,故不一定成立.故①错误.对②,令为底面为直角三角形的直三棱柱的三个侧面,且,,,但此时,故不一定成立.故②错误.对③,,,,则成立.故③正确.对④,若,,则,或,又,则.故④正确.综上,③④正确.故选：B【点睛】本题主要考查了根据线面、线线平行与垂直的性质判断命题真假的问题,需要根据题意举出反例或者根据判定定理判定,属于中档题.5、C【解析】

求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算弦长可解得．【详解】由题意，圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以，解得．故选：C.【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，解题方法由垂径定理得垂直，由勾股定理列式计算．6、B【解析】

先求得的值，进而求得的值.【详解】依题意，，故选B.【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.7、A【解析】

利用角度化弧度公式可将化为对应的弧度数.【详解】由题意可得，故选A.【点睛】本题考查角度化弧度，充分利用公式进行计算，考查计算能力，属于基础题.8、B【解析】

由可得，借助三角函数定义可得m值与.【详解】∵∴，解得又为角终边上一点，∴，∴∴故选B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和正切公式，属于基础题．9、C【解析】

由向量的加法法则和减法法则化简已知表达式，再由向量的垂直和等腰三角形的三线合一性质得解.【详解】设边的中点，则所以在中，垂直于的中线，所以是等腰三角形.故选C.【点睛】本题考查向量的线性运算和数量积，属于基础题.10、D【解析】

由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，即可得出．【详解】解：由等差数列的前项和的性质可得：，，也成等差数列，，，解得．故选：．【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.详解：∵，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.12、；【解析】

把已知式平方可求得，从而得，再由平方关系可求得．【详解】∵，∴，即，∴，即,∴.故答案为．【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查正弦的二倍角公式，在用平方关系求值时要注意结果可能有正负，因此要判断是否只取一个值．13、【解析】

根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.【详解】将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.，，，故从A沿正侧面和上表面到D1的路程最短为故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间几何体展形图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.14、1【解析】

根据已知两项求出数列的公比，然后根据等比数列的通项公式进行求解即可．【详解】∵a1＝1，a5＝4∴公比∴∴该等比数列的通项公式a3＝11＝1故答案为：1．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，一般利用基本量的思想，属于基础题．15、【解析】

利用圆系方程，求解即可．【详解】设两圆和的交点分别为，则线段是两个圆的公共弦．令，，两式相减，得，即，故线段所在直线的方程为．【点睛】本题考查圆系方程的应用，考查计算能力．16、【解析】

首先求出在区间的值域，再由表示的含义，得到所求函数的反函数.【详解】因为，所以，.所以的反函数是.故答案为：【点睛】本题主要考查反函数定义，同时考查了三角函数的值域问题，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】

（1）由函数的图象经过点且f（x）的图象有一条对称轴为直线，可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．【详解】（1）函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象经过点，，且f（x）的图象有一条对称轴为直线，故最大值A＝4，且,∴，∴ω＝1．所以.因为的图象经过点，所以，所以，.因为，所以，所以.（2）因为，所以，，所以，，即的单调递增区间为.【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．18、（1），（2）递增区间为.【解析】

（1）由二倍角公式降幂，再由求出，然后由两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，结合余弦函数单调性可得最大值；（2）由（1）结合余弦函数性质可得增区间．【详解】（1），由得，，即.∴，当时，即时，.（2）由，得，又，所以，所以递增区间为.【点睛】本题考查二倍角公式，考查两角和的余弦公式，考查余弦函数的性质．三角函数问题一般都要由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数或余弦函数性质求解．19、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用平面向量的数量积的运算法则化简，进而求出向量与的夹角；（Ⅱ）利用，对其化简，代入数值，即可求出结果．【详解】解：（Ⅰ）由得因向量与的夹角为（Ⅱ）【点睛】本题考查平面向量的数量积的应用，以及平面向量的夹角以及平面向量的模的求法，考查计算能力．20、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的通项公式，进一步利用错位相减法求出数列的和．【详解】（1）设公差为，由，，成等比数列，得，结合，解得，或（舍去），∴.（2）∴，∴，①，②，由①②可得：∴.【点睛】本