人教版八年级数学上册第十二章-全等三角形-同步课时练习题

第十二章全等三角形12．1全等三角形01基础题知识点1全等形1．下列各图形中，不是全等形的是(A)2．如图所示，是全等形的是(1)和(9)；(2)和(3)；(4)和(8)；(5)和(7)；(11)和(12)．知识点2全等三角形的概念及表示方法3．已知△ABC与△EDF全等，其中点A与点E，点B与点D，点C与点F是对应顶点，则对应边为AB与ED，AC与EF，BC与DF，对应角为∠A与∠E，∠B与∠D，∠C与∠F，△ABC≌△EDF．4．如图，若把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，则图中全等的三角形记为△ABC≌△ADE，∠BAC的对应角为∠DAE，DE的对应边为BC．知识点3全等三角形的性质5．(厦门中考)如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE相交于点M，则∠DCE＝(A)A．∠BB．∠AC．∠EMFD．∠AFB6．(大同矿区恒安一中月考)已知△ABC≌△DEF，且∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△DEF中最大边长是10，最大角是90°．7．如图，把△ABC沿直线BA翻折至△ABD，那么△ABC和△ABD是全等三角形(填“是”或“不是”)．若CB＝5，则DB＝5；若△ABC的面积为10，则△ABD的面积为10．8．如图，已知△ABD≌△ACD，且点B，D，C在同一条直线上，那么AD与BC有怎样的位置关系？为什么？解：AD⊥BC.理由：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB＝∠ADC.又∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴AD⊥BC.9．如图，△ACE≌△DBF，AC＝6，BC＝4.(1)求证：AE∥DF；(2)求AD的长度．解：(1)证明：∵△ACE≌△DBF，∴∠A＝∠D.∴AE∥DF.(2)∵△ACE≌△DBF，∴AC＝DB.∴AC－BC＝DB－BC＝6－4＝2，即AB＝CD＝2.∴AD＝AC＋CD＝6＋2＝8.易错点对应边不确定10．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2x－1.若这两个三角形全等，则x等于(C)A.eq\f(7,3)B．4C．3D．3或eq\f(7,3)02中档题11．如图所示，将△ABC沿AC翻折，点B与点E重合，则图中全等的三角形有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对12．如图，△ABE≌△ACD，∠B＝50°，∠AEC＝120°，则∠DAC的度数是(B)A．120°B．70°C．60°D．50°13．如图，将直角三角形ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，AB＝10，DO＝4，BF＝21，平移距离为6，则△OEC的面积为(A)A．27B．40C．42D．5414．(教材P33习题T3变式)如图是两个全等三角形，请根据图中提供的信息，写出x＝20．15．(大同矿区恒安一中月考)如图，△ABD≌△ACE，AD＝8cm，AB＝3cm，则BE＝5cm.16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为65°．17．(沈阳中考)如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：∠CEB＝∠CBE.证明：∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD.∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠ABD.∴∠CEB＝∠ABC，即∠CEB＝∠CBE.18．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC，DE相交于点F，求∠DFB的度数．解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，∴∠BAD＝eq\f(1,2)(∠BAE－∠DAC)＝20°.∵∠B＝∠D，∠AGB＝∠FGD，∴∠DFB＝∠BAD＝20°.03综合题19．如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE.(1)你能说明BD，DE，CE之间的数量关系吗？(2)请你猜想△ABD满足什么条件时，BD∥CE?解：(1)BD＝DE＋CE.理由：∵△BAD≌△ACE，∴BD＝AE，AD＝CE.∴BD＝AE＝AD＋DE＝CE＋DE，即BD＝DE＋CE.(2)△ABD满足∠ADB＝90°时，BD∥CE.理由：∵BD∥CE，∴∠E＝∠BDE.∵△BAD≌△ACE，∴∠ADB＝∠E.∴∠ADB＝∠BDE.∵∠ADB＋∠BDE＝180°，∴∠ADB＝90°.20．(阳泉盂县期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，A(2，1)，B(4，1)，C(1，3)．若△ABC与△ABD全等，则点D的坐标为(1，－1)，(5，3)或(5，－1)．

12.2三角形全等的判定第1课时用“SSS”判定三角形全等01基础题知识点1用“SSS”判定三角形全等1．如图，如果AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，那么下列结论正确的是(A)A．△ABC≌△A′B′C′B．△ABC≌△C′A′B′C．△ABC≌△B′C′A′D．这两个三角形不全等2．如图，下列三角形中，与△ABC全等的是③．3．如图所示，AD＝BC，AC＝BD，用三角形全等的判定“SSS”可证明△ADC≌△BCD或△ABD≌△BAC．4．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD.证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AD，,BD＝CD，))∴△ABD≌△ACD(SSS)．知识点2三角形全等的判定与性质的综合5．如图，在△ABC和△ADC中，AB＝AD，BC＝DC，下列结论错误的是(D)A．两个三角形的周长相等B．两个三角形的面积相等C．∠BAC＝∠DACD．∠BAD＋∠D＝180°6．(教材P43习题T1变式)如图，在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AC＝DC.若∠A＝25°，∠BCD＝35°，求∠ABD的度数．解：在△ABC和△DBC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DB，,AC＝DC，,CB＝CB，))∴△ABC≌△DBC(SSS)．∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DCB，∠ABC＝∠DBC.∴∠ABE＝∠DBE.∵∠A＝25°，∠BCD＝∠ACB＝35°，∴∠ABE＝∠A＋∠ACB＝25°＋35°＝60°.∴∠ABD＝2∠ABE＝120°.知识点3尺规作一个角等于已知角7．如图，已知∠AOB，点C是OB边上的一点．用尺规作图画出经过点C且与OA平行的直线．解：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点D；②以点C为圆心，OD的长为半径画弧，交OB于点G；③以点G为圆心，DE的长为半径画弧，交前弧于点H，连接CH，则CH∥OA.02中档题8．如图所示，△ABC是三边都不相等的三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出(B)A．2个B．4个C．6个D．8个9．(阳泉平定县月考)如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是(C)A．△ABE≌△ACDB．△ABD≌△ACEC．∠C＝30°D．∠1＝70°10．(长春中考)如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为65°．11．(桂林中考)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF.(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A＝55°，∠B＝88°，求∠F的度数．解：(1)证明：∵AC＝AD＋DC，DF＝DC＋CF，且AD＝CF，∴AC＝DF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF，,AC＝DF，))∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)由(1)可知，△ABC≌△DEF，∴∠F＝∠ACB.∵∠A＝55°，∠B＝88°，∴∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝37°.∴∠F＝∠ACB＝37°.12．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E三点在同一直线上，求证：∠3＝∠1＋∠2.证明：在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AE，,BD＝CE，))∴△ABD≌△ACE(SSS)．∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2.∵∠3＝∠BAD＋∠ABD，∴∠3＝∠1＋∠2.13．(山西农大附中期中)如图，AB＝AC，DB＝DC，EB＝EC.(1)图中有几对全等三角形？请写出来；(2)过点D作DH⊥BE，DG⊥CE，垂足分别为H，G，求证：DG＝DH.解：(1)有3对全等三角形：△ABD≌△ACD；△ABE≌△ACE；△DBE≌△DCE.(2)证明：在△BED和△CED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CE，,ED＝ED，,BD＝CD，))∴△BED≌△CED(SSS)．∴S△BED＝S△CED.∵DG⊥CE，DH⊥BE，∴eq\f(1,2)BE·DH＝eq\f(1,2)CE·DG.∴DH＝DG.03综合题14．如图，AD＝CB，E，F是AC上两个动点，且有DE＝BF.(1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；(2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有AF＝CE，则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？(3)若点E，F不重合，则AD和CB平行吗？请说明理由．解：(1)证明：∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,DE＝BF，,AE＝CF，))∴△ADE≌△CBF(SSS)．(2)△ADE≌△CBF成立．理由如下：∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.在△ADE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CB，,DE＝BF，,AE＝CF，))∴△ADE≌△CBF(SSS)．(3)AD与CB不一定平行．理由如下：在△ADE和△CBF中，仅有AD＝CB，DE＝BF，不能判定它们全等，即不能得出∠A＝∠C.故AD与CB不一定平行．

第2课时用“SAS”判定三角形全等01基础题知识点1用“SAS”判定三角形全等1．下图中全等的三角形有(D)①②③④A．①和②B．②和③C．②和④D．①和③2．(朔州右玉县校级月考)如图，AC与BD相交于点P，AP＝DP，则用“SAS”证明△APB≌△DPC，还需添加的条件是(B)A．BA＝CDB．PB＝PCC．∠A＝∠DD．∠APB＝∠DPC3．(武汉中考改编)如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，求证：△ABF≌△DCE.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.在△ABF和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠B＝∠C，,BF＝CE，))∴△ABF≌△DCE(SAS)．知识点2三角形全等的判定与性质的综合4．(泸州中考)如图，点C是线段AB的中点，CD＝BE，CD∥BE.求证：∠D＝∠E.证明：∵点C是线段AB的中点，∴AC＝CB.∵CD∥BE，∴∠ACD＝∠CBE.在△ACD和△CBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝CB，,∠ACD＝∠CBE，,CD＝BE，))∴△ACD≌△CBE(SAS)．∴∠D＝∠E.5．(大同矿区恒安一中月考)如图，已知B，D，E，C四点在一条直线上，且△ABE≌△ACD.求证：(1)BD＝CE；(2)△ABD≌△ACE.证明：(1)∵△ABE≌△ACD，∴EB＝DC.∴EB－DE＝DC－DE，即DB＝EC.(2)∵△ABE≌△ACD，∴∠B＝∠C，AB＝AC.在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠B＝∠C，,DB＝EC，))∴△ABD≌△ACE(SAS)．知识点3用“SAS”判定三角形全等解决实际问题6．【关注社会生活】如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△AOB≌△A′OB′的理由是边角边(或SAS)．7．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成1，2两块．现需配成同样大小的一面镜子，为了方便起见，需带上第1块，其理由是两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等．易错点误用“SSA”判定三角形全等8．如图，AD平分∠BAC，BD＝CD，则∠B与∠C相等吗？为什么？解：相等．理由：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.在△ABD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD，,AD＝AD，,∠BAD＝∠CAD，))∴△ABD≌△ACD.∴∠B＝∠C.以上解答是否正确？若不正确，请说明理由．解：不正确．理由：错用“SSA”来证明两个三角形全等，∠BAD不是BD与AD的夹角，∠CAD不是CD与AD的夹角．02中档题9．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是(B)A．BD＝CEB．∠ABD＝∠ACEC．∠BAD＝∠CAED．∠BAC＝∠DAE10．(陕西中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对11．如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为30°．12．(教材P43习题T2变式)如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使△ABE≌△ACD，你添加的条件是AB＝AC(或BD＝CE)(填一个即可)．13．如图所示，A，F，C，D四点在同一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)∠CBF＝∠FEC.证明：(1)∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.∵AF＝CD，∴AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DF，,∠A＝∠D，,AB＝DE，))∴△ABC≌△DEF(SAS)．(2)由(1)知△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.在△FBC和△CEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝EF，,∠FCB＝∠CFE，,FC＝CF，))∴△FBC≌△CEF(SAS)．∴∠CBF＝∠FEC.03综合题14．(教材P44习题T10变式)如图1，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD.(1)求证：△AOB≌△COD；(2)如图2，连接BC，若AB＝4，BC＝5，求OB的取值范围；(3)如图3，连接BC，AD，求证：AD∥BC且AD＝BC.解：(1)证明：在△AOB和△COD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOB＝∠COD，,OB＝OD，))∴△AOB≌△COD(SAS)．(2)由(1)知△AOB≌△COD，∴CD＝AB＝4，OB＝OD.在△BCD中，BC－CD<BD<BC＋CD，∴1<2OB<9.∴eq\f(1,2)<OB<eq\f(9,2).(3)在△AOD和△COB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOD＝∠COB，,OD＝OB，))∴△AOD≌△COB(SAS)．∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO.∴AD∥BC.15．(临汾襄汾县期中)如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1＋∠2＋∠3的度数为(D)A．90°B．105°C．120°D．135°

第3课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等01基础题知识点1用“ASA”判定三角形全等1．如图所示，AB与CD相交于点O，∠A＝∠B，AO＝BO，又因为∠AOC＝∠BOD，所以△AOC≌△BOD，其依据是ASA．2．(宜宾中考)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB和△BCA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DBA＝∠CAB，,AB＝BA，,∠DAB＝∠CBA，))∴△ADB≌△BCA(ASA)．∴BC＝AD.3．(孝感中考)如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠AEC，,AD＝AE，,∠A＝∠A，))∴△ABD≌△ACE(ASA)．∴AB＝AC.又∵AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，即BE＝CD.知识点2用“AAS”判定三角形全等4．如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB，AC作垂线段DE，DF，则能够直接判定△BDE≌△CDF的理由是(D)A．SSSB．SASC．ASAD．AAS5．(玉林中考)如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求证：△ABC≌△AED.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EAC＝∠2＋∠EAC，即∠BAC＝∠EAD.在△ABC和△AED中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠D，,∠BAC＝∠EAD，,AB＝AE，))∴△ABC≌△AED(AAS)．6．(宜宾中考)如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证：CB＝CD.证明：∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD.在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠B＝∠D，,∠ACB＝∠ACD，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(AAS)．∴CB＝CD.知识点3三角形全等判定方法的选用7．(太原期末)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是(C)A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DBD．AB＝DC8．(济宁中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE相交于点H，请你添加一个适当的条件：答案不唯一，如AH＝CB，使△AEH≌△CEB.02中档题9．(朔州右玉二中月考)如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(C)10．(南京中考)如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为(D)A．a＋cB．b＋cC．a－b＋cD．a＋b－c11．【关注社会生活】(宜昌中考)杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD，垂足为D，已知AB＝20m，请根据上述信息求标语CD的长度．解：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°.∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB.∵相邻两平行线间的距离相等，∴OD＝OB.在△ABO和△CDO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABO＝∠CDO，,OB＝OD，,∠AOB＝∠COD，))∴△ABO≌△CDO(ASA)．∴CD＝AB＝20m.12．(吕梁孝义期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是AB，AC上的点，连接BF，CE交于点D，连接AD并延长交BC于点H，∠ABF＝∠ACE.求证：BD＝CD.证明：在△ABF和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAF＝∠CAE，,AB＝AC，,∠ABF＝∠ACE，))∴△ABF≌△ACE(ASA)．∴AF＝AE.∵AB＝AC，∴AC－AF＝AB－AE，即BE＝CF.在△BDE和△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BDE＝∠CDF，,∠EBD＝∠FCD，,BE＝CF，))∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴BD＝CD.13．【类比思想】(吕梁期中)问题情境：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C(不需要证明)；特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D.求证：△ABD≌△CAF；归纳证明：如图3，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC.求证：△ABE≌△CAF；拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC.点D在边BC上，CD＝2BD，点E，F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为5．证明：特例探究：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，∴∠BDA＝∠AFC＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°，∠BAD＋∠CAF＝90°.∴∠ABD＝∠CAF.在△ABD和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BDA＝∠AFC，,∠ABD＝∠CAF，,AB＝CA，))∴△ABD≌△CAF(AAS)．归纳证明：∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE＋∠ABE，∠BAC＝∠BAE＋∠CAF，∠2＝∠ACF＋∠CAF，∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠ACF.在△ABE和△CAF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABE＝∠CAF，,AB＝AC，,∠BAE＝∠ACF，))∴△ABE≌△CAF(ASA)．

第4课时用“HL”判定直角三角形全等01基础题知识点1用“HL”判定直角三角形全等1．如图，可直接用“HL”判定Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是(C)A．AC＝DF，BC＝EFB．∠A＝∠D，AB＝DEC．AC＝DF，AB＝DED．∠B＝∠E，BC＝EF2．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，可以证明△BAD≌△BCD的理由是(A)A．HLB．ASAC．SASD．AAS3．在Rt△ABC和Rt△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D＝90°，再补充一个条件答案不唯一，如BC＝EF，便可得Rt△ABC≌Rt△DEF.4．(教材P43练习T1变式)如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同时到达C，D.若CB⊥AB，DA⊥AB，则CB与DA相等吗？为什么？解：CB＝DA.理由：由题意易知AC＝BD.∵CB⊥AB，DA⊥AB，∴∠DAB＝∠CBA＝90°.在Rt△DAB和Rt△CBA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝AC，,AB＝BA，))∴Rt△DAB≌Rt△CBA(HL)．∴DA＝CB.5．如图，∠ACB＝∠CFE＝90°，AB＝DE，BC＝EF，求证：AD＝CF.证明：∵∠ACB＝∠CFE＝90°，∴∠ACB＝∠DFE＝90°.在Rt△ACB和Rt△DFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,BC＝EF，))∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL)．∴AC＝DF.∴AC－AF＝DF－AF，即AD＝CF.知识点2直角三角形全等判定方法的选用6．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，那么下列各条件中，不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是(B)A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°7．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F.若BE＝CF，则图中全等三角形有(C)A．1对B．2对C．3对D．4对8．(大同矿区期中改编)如图，AC⊥AB，BD⊥CD，请添加一个条件，使△ABC≌△DCB.(1)添加AB＝DC，根据是HL；(2)添加AC＝DB，根据是HL；(3)添加∠ABC＝∠DCB，根据是AAS；(4)添加∠ACB＝∠DBC，根据是AAS．02中档题9．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE⊥BC，AC＝6，EC＝6，∠ACB＝60°，则∠ACD的度数为(B)A．45°B．30°C．20°D．15°10．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝7．11．如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.求证：∠DAC＝∠DBF.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△BFD和△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝AC，,FD＝CD，,∠BDF＝∠ADC，))∴△BFD≌△ACD.∴∠DAC＝∠DBF.上面的证明过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正确的证明过程．解：不正确．直角三角形全等的判定中没有“SSA”，而应该是“HL”．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△BFD和Rt△ACD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝AC，,FD＝CD，))∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)．∴∠DAC＝∠DBF.12．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高．如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADB＝∠AFB＝90°.在Rt△ABD和Rt△ABF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AB，,AD＝AF，))∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴DB＝FB.在Rt△ADC和Rt△AFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AE，,AD＝AF，))∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴DC＝FE.∴DB－DC＝FB－FE，即BC＝BE.03综合题13．(原创题)已知Rt△ABO在平面直角坐标系中如图所示，点A的坐标为(－3，1)，与AO长度相等的线段PQ的两个端点P，Q分别在x轴、y轴上滑动，当△OAB与△POQ全等时，求点P与点Q的坐标．解：∵A(－3，1)，∴OB＝3，AB＝1.∵∠POQ＝∠ABO＝90°，PQ＝AO，∴只要有一条直角边对应相等，两个直角三角形就全等．当P(－1，0)时，Q1(0，3)，Q2(0，－3)；当P(－3，0)时，Q3(0，1)，Q4(0，－1)；当P(1，0)时，Q5(0，3)，Q6(0，－3)；当P(3，0)时，Q7(0，1)，Q8(0，－1)．

小专题(四)证明三角形全等的解题思路思路一：找边边相等呈现的方式：①公共边(包括全部公共和部分公共)；②中点．类型1已知两边对应相等，找第三边相等1．如图，已知AB＝DE，AD＝EC，点D是BC的中点，求证：△ABD≌△EDC.证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.在△ABD和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝ED，,AD＝EC，,BD＝DC，))∴△ABD≌△EDC(SSS)．类型2已知两角对应相等，找夹边相等2．如图，∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠DBC，求证：△ABD≌△CDB.证明：在△ABD和△CDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠CDB，,BD＝DB，,∠ADB＝∠CBD，))∴△ABD≌△CDB(ASA)．类型3已知两角对应相等，找其中一角的对边相等3．两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点O为边AC和DF的交点，不重叠的两部分△AOF与△DOC是否全等？为什么？解：全等．理由：∵两三角形纸板完全相同，∴BC＝BF，AB＝BD，∠A＝∠D.∴AB－BF＝BD－BC，即AF＝DC.在△AOF和△DOC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠D，,∠AOF＝∠DOC，,AF＝DC，))∴△AOF≌△DOC(AAS)．类型4已知直角三角形的直角边(或斜边)相等，找斜边(或直角边)相等4．如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，BE＝CF.求证：△ABC≌△DFE.证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.在Rt△ABC和Rt△DFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DF，,BC＝FE，))∴Rt△ABC≌Rt△DFE(HL)．思路二：找角角相等呈现的方式：①公共角；②对顶角；③角平分线；④垂直；⑤平行．类型5已知两边对应相等，找夹角相等5．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.在△ABC和△ADE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAC＝∠DAE，,AC＝AE，))∴△ABC≌△ADE(SAS)．6．(山西农大附中期末)把两个等腰直角三角板如图放置(AC＝BC，∠ACB＝∠ECD＝90°，CE＝CD)，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.(1)求证：△BEC≌△ADC；(2)AF与BE之间有怎样的位置关系？请说明理由．解：(1)证明：在△BEC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EC＝DC，,∠ECB＝∠DCA，,BC＝AC，))∴△BEC≌△ADC(SAS)．(2)AF⊥BE，理由如下：∵△BEC≌△ADC，∴∠EBC＝∠DAC.∵∠DAC＋∠CDA＝90°，∠FDB＝∠CDA，∴∠EBC＋∠FDB＝90°.∴∠BFD＝90°，即AF⊥BE.类型6已知一边一角对应相等，找另一角相等7．如图，D是AC上一点，AB＝DA，DE∥AB，∠B＝∠DAE，求证：△ABC≌△DAE.证明：∵DE∥AB，∴∠CAB＝∠EDA.在△ABC和△DAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAB＝∠EDA，,AB＝DA，,∠B＝∠DAE，))∴△ABC≌△DAE(ASA)．8．如图，已知∠BDC＝∠CEB＝90°，BE，CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：(1)△ADO≌△AEO；(2)△BDO≌△CEO.证明：(1)∵AO平分∠BAC，∴∠DAO＝∠EAO.∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴∠ADO＝∠AEO.在△ADO和△AEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADO＝∠AEO，,∠DAO＝∠EAO，,AO＝AO，))∴△ADO≌△AEO(AAS)．(2)∵△ADO≌△AEO，∴DO＝EO.在△BDO和△CEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BDO＝∠CEO，,DO＝EO，,∠DOB＝∠EOC，))∴△BDO≌△CEO(ASA)．

小专题(五)全等三角形的基本模型类型1平移模型1．如图，AC＝DF，AD＝BE，BC＝EF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AC∥DF.证明：(1)∵AD＝BE，∴AD＋DB＝BE＋DB，即AB＝DE.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DF，,AB＝DE，,BC＝EF，))∴△ABC≌△DEF(SSS)．(2)∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠EDF.∴AC∥DF.类型2对称模型2．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么CE＝DF吗？解：CE＝DF.理由：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB＝∠BDA＝90°.在Rt△ABC和Rt△BAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝AD，,AB＝BA，))∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA.∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEC＝∠BFD＝90°.在△ACE和△BDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAE＝∠DBF，,∠AEC＝∠BFD，,AC＝BD，))∴△ACE≌△BDF(AAS)．∴CE＝DF.3．某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC＝BD，AB＝CD，小华认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO.你认为小华的思考过程对吗？如果正确，指出他用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程．解：小华的思考不正确，因为AC和BD不是这两个三角形的边．正确的解答是：连接BC，在△ABC和△DCB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,AC＝DB，,BC＝CB，))∴△ABC≌△DCB(SSS)．∴∠A＝∠D.在△AOB和△DOC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOB＝∠DOC，,∠A＝∠D，,AB＝DC，))∴△AOB≌△DOC(AAS)．【思考】你还能用其他解法解决此题吗？试试看．类型3旋转模型4．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AB∥CD，O是BD的中点．(1)求证：△ABO≌△CDO；(2)若BC＝AC＝4，BD＝6，求△BOC的周长．解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO.∵O是DB的中点，∴BO＝DO.在△ABO和△CDO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAO＝∠DCO，,∠ABO＝∠CDO，,BO＝DO，))∴△ABO≌△CDO(AAS)．(2)∵△ABO≌△CDO，∴AO＝CO＝eq\f(1,2)AC＝2.∵BO＝eq\f(1,2)BD＝3，∴△BOC的周长为BC＋BO＋OC＝4＋3＋2＝9.5．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图1，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图1的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP.之后，他将点P移到等腰△ABC外，原题中其他条件不变，发现“BQ＝CP”仍然成立，请你就图2给出证明．证明：∵∠QAP＝∠BAC，∴∠QAP＋∠PAB＝∠PAB＋∠BAC，即∠QAB＝∠PAC.在△ABQ和△ACP中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AQ＝AP，,∠QAB＝∠PAC，,AB＝AC，))∴△ABQ≌△ACP(SAS)．∴BQ＝CP.类型4一线三等角模型6．如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.(1)求证：MN＝AM＋BN；(2)如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N(AM＞BN)，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由．解：(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°.∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°.∴∠BCN＋∠CBN＝90°.∴∠ACM＝∠CBN.在△ACM和△CBN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACM＝∠CBN，,∠AMC＝∠CNB，,AC＝CB，))∴△ACM≌△CBN(AAS)．∴MC＝NB，MA＝NC.∵MN＝MC＋CN，∴MN＝AM＋BN.(2)(1)中的结论不成立，结论为MN＝AM－BN.理由：同(1)中证明可得△ACM≌△CBN，∴CM＝BN，AM＝CN.∵MN＝CN－CM，∴MN＝AM－BN.类型5综合模型平移＋旋转模型：平移＋对称模型：7．如图1，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF.(1)求证：△AFC≌△DEB；(2)如果将BD沿着AD边的方向平行移动至图2，3的位置时，其余条件不变，(1)中的结论是否依然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．解：(1)证明：∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.∵DE∥AF，∴∠A＝∠D.在△AFC和△DEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝DE，,∠A＝∠D，,AC＝DB，))∴△AFC≌△DEB(SAS)．(2)在图2，3中结论依然成立．证明：在图2中，∵DE∥AF，∴∠A＝∠D.在△AFC和△DEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝DE，,∠A＝∠D，,AC＝DB，))∴△AFC≌△DEB(SAS)．在图3中，∵AB＝CD，∴AB－BC＝CD－BC，即AC＝BD.∵AF∥DE，∴∠A＝∠D.在△AFC和△DEB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AF＝DE，,∠A＝∠D，,AC＝DB，))∴△AFC≌△DEB(SAS)．

周测(12.1～12.2)(时间：40分钟满分：100分)一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列各组的两个图形属于全等形的是(D)2．根据下列条件，只能画出唯一的△ABC的是(C)A．AB＝3，BC＝4B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．∠C＝60°，AB＝53．如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(D)A．SSSB．ASAC．SSAD．HL4．如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E.其中能使△ABC≌△DEF的条件共有(C)A．1组B．2组C．3组D．4组5．如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则AB与DE的数量关系为(B)A．AB>DEB．AB＝DEC．AB<DED．无法确定6．如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别在PA，PB，AB上，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝40°，则∠P的度数为(C)A．140°B．90°C．100°D．110°7．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是(D)A．90°B．120°C．135°D．180°8．如图所示，AB⊥BC且AB＝BC，CD⊥DE且CD＝DE，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是(D)A．64B．50C．48D．32二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图，如果图中的两个三角形全等，根据图中所标数据，可以推理得到∠α＝67°．10．如图，点B在AE上，∠CAB＝∠DAB，要使△ABC≌△ABD，可补充的一个条件是：AC＝AD(答案不唯一)．(写出一个正确的即可)11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足分别为D，E.若BD＝3，CE＝2，则DE＝5．12．如图，要测量河两岸正相对的两点A，B之间的距离，在河一岸BF上找点C，D，使BC＝CD，过D点沿垂直于河岸的方向找一点E，使A，C，E在一条直线上，此时测得DE的长度就是AB的长度．这里可直接判定△ABC和△EDC全等的依据是ASA．13．如图，在3×3的正方形网格中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝225°．14．已知在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，点P与点O不重合，写出所有符合条件的点P的坐标：(4，0)，(0，4)和(4，4)．三、解答题(共44分)15．(8分)已知：如图，点A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF.证明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF，即AC＝DF.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DF，,AB＝DE，,BC＝EF，))∴△ABC≌△DEF(SSS)．16．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：AB＝FC.证明：∵FE⊥AC，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠ACB＝90°.∴∠F＋∠ECF＝90°.∵CD⊥AB，∴∠A＋∠ECF＝90°.∴∠A＝∠F.在△ABC和△FCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠F，,∠ACB＝∠FEC，,BC＝CE，))∴△ABC≌△FCE(AAS)．∴AB＝FC.17．(12分)如图，点B在AE上，点D在AC上，AB＝AD，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE(只能添加一个)．(1)你添加的条件：答案不唯一，如：∠C＝∠E或∠ABC＝∠ADE或AC＝AE或∠EBC＝∠CDE或BE＝DC；(2)添加条件后，请说明△ABC≌△ADE的理由．解：选∠C＝∠E为条件，理由：在△ABC和△ADE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠C＝∠E，,∠A＝∠A，,AB＝AD，))∴△ABC≌△ADE(AAS)．18．(14分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．解：BE＝EC，BE⊥EC.证明：∵AC＝2AB，点D是AC的中点，∴AB＝AD＝CD.∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°.在△EAB和△EDC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EA＝ED，,∠EAB＝∠EDC，,AB＝DC，))∴△EAB≌△EDC(SAS)．∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠AEB＋∠BED＝∠DEC＋∠BED，即∠AED＝∠BEC＝90°.∴BE⊥EC.

12．3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质01基础题知识点1角的平分线的作法1．如果要作已知角∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)①作射线OC；②在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE；③分别以点D，E为圆心，大于eq\f(1,2)DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点C.A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)A．SSSB．ASAC．AASD．角的平分线上的点到角的两边的距离相等3．如图，已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的平分线，保留作图痕迹，不写作法．解：如图所示．知识点2角的平分线的性质4．(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是(D)A．2B．3C．4D．65．已知：如图，点O在∠BAC的平分线上，OD⊥AC，OE⊥AB，垂足分别为D，E，DO，EO的延长线分别交AE，AD的延长线于点B，C，求证：OB＝OC.证明：∵点O在∠BAC的平分线上，OD⊥AC，OE⊥AB，∴OE＝OD，∠BEO＝∠CDO＝90°.在△BEO和△CDO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BEO＝∠CDO，,OE＝OD，,∠EOB＝∠DOC，))∴△BEO≌△CDO(ASA)．∴OB＝OC.知识点3文字命题的证明6．命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两条线段是两个全等三角形对应边上的高，求证是这两条线段相等．7．(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．求证：PD＝PE．请你补全已知和求证，并写出证明过程.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.在△PDO和△PEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PDO＝∠PEO，,∠DOP＝∠EOP，,OP＝OP，))∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD＝PE.02中档题8．(山西农大附中期中)在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A)A．M点B．N点C．P点D．Q点9．(教材P52习题T7变式)(阳泉平定县东关中学月考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)A．8B．6C．4D．210．(枣庄中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于eq\f(1,2)MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为(B)A．15B．30C．45D．6011．如图，△ABC的角平分线AD交BC于点D，BD∶DC＝2∶1.若AC＝3cm，则AB＝6__cm．12．(教材P51习题T1变式)如图，已知∠MON，点A，C在射线OM上，请按要求完成下列作图(保留画图痕迹)及证明．(1)在射线ON上分别截取OD＝OA，OE＝OC；(2)连接AE，DC，交于点P；(3)作射线OP；(4)求证：OP平分∠MON.解：(1)(2)(3)如图所示．(4)证明：在△DOC和△AOE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OD＝OA，,∠DOC＝∠AOE，,OC＝OE，))∴△DOC≌△AOE(SAS)．∴∠OCD＝∠OEA.∵OD＝OA，OE＝OC，∴OE－OD＝OC－OA，即DE＝AC.在△APC和△DPE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠APC＝∠DPE，,∠ACP＝∠DEP，,AC＝DE，))∴△APC≌△DPE(AAS)．∴CP＝EP.在△POC和△POE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OC＝OE，,OP＝OP，,CP＝EP，))∴△POC≌△POE(SSS)．∴∠COP＝∠EOP，即OP平分∠MON.03综合题13．(大同一中期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF，求证：(1)CF＝EB.(2)AB＝AF＋2EB.证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△CDF和Rt△EDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝DF，,DC＝DE，))∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)．∴CF＝EB.(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC和Rt△ADE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝DE，,AD＝AD，))∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)．∴AC＝AE.∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.

第2课时角的平分线的判定01基础题知识点1角的平分线的判定1．如图，PC⊥OA，PD⊥OB，当PC＝PD时，Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)，∴∠POC＝∠POD．2．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件中：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO，能判定OC是∠AOB的平分线的有①②③④．3．如图，∠AOB＝70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D.若QC＝QD，则∠AOQ＝35°．4．如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠DFC＝90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,DB＝DC，))∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．∴DE＝DF.∴AD是∠BAC的平分线．5．(教材P51习题T3变式)如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.在△BOD和△COE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BOD＝∠COE，,OD＝OE，,∠ODB＝∠OEC，))∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.(2)在△BOD和△COE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ODB＝∠OEC，,∠BOD＝∠COE，,OB＝OC，))∴△BOD≌△COE(AAS)．∴OD＝OE.又∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，即∠1＝∠2.知识点2三角形的角平分线6．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(B)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条高的交点D．以上均不对7．(大同一中期中)如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝70°，则∠BOC＝125°．知识点3角的平分线的实际应用8．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，若在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．9．【关注社会生活】如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请用尺规作图找出符合实际要求的点．解：在A，B，C，D四个区域各有一个点，图略．02中档题10．(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线相交于点E，若存在点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的平分线D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)11．(教材P50练习T2变式)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．03综合题12．(教材P52习题T7变式)如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：(1)CO平分∠ACD；(2)OA⊥OC；(3)AB＋CD＝AC.证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E，∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.∵点O为BD的中点，∴OB＝OD.∴OE＝OD.又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°，∴CO平分∠ACD.(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AO＝AO，,OB＝OE，))∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL)．∴∠AOB＝∠AOE＝eq\f(1,2)∠BOE.同理，∠COD＝∠COE＝eq\f(1,2)∠DOE.∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝eq\f(1,2)∠BOE＋eq\f(1,2)∠DOE＝eq\f(1,2)×180°＝90°.∴OA⊥OC.(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE.同理可得CD＝CE.∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC.

与角平分线有关的面积问题【结论1】如图1，在△ABC中，AD是它的角平分线，则S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC.【结论2】如图2，当点E在角平分线AD上的任何位置(不与点A重合)，都有S△ABE∶S△ACE＝AB∶AC.1.如图，△ABC的三边AB，AC，BC的长分别为4，6，8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB∶S△OAC∶S△OBC＝2∶3∶4．2.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是3．3.(山西农大附中期中)如图，△ABC的周长是12，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝3，则△ABC的面积是18．4.如图，AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE，BD相交于点E，EF⊥AB于点F.若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为2．)

小专题(六)构造全等三角形的常用方法方法1利用“角平分线”构造全等三角形因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：(1)在角的两边截取两条相等的线段；(2)过角平分线上一点作角两边的垂线段．1．(滨州中考改编)如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN.证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，∴∠PEO＝∠PFO＝90°.∴∠EPF＋∠AOB＝180°.∵∠MPN＋∠AOB＝180°，∴∠EPF＝∠MPN.∴∠EPM＝∠FPN.∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF.在△PEM和△PFN中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EPM＝∠FPN，,PE＝PF，,∠PEM＝∠PFN，))∴△PEM≌△PFN(ASA)．∴PM＝PN.【拓展1】OM＋ON的值是否为定值？请说明理由．解：OM＋ON的值是定值．理由：∵△PEM≌△PFN，∴ME＝NF.易证△EPO≌△FPO，∴OE＝OF.∴OM＋ON＝OE＋EM＋ON＝OE＋NF＋ON＝OE＋OF＝2OE＝定值．【拓展2】四边形PMON的面积是否为定值？请说明理由．解：四边形PMON的面积是定值．理由：∵△PEM≌△PFN，∴S△PEM＝S△PFN.∴S四边形PMON＝S四边形PEOF＝定值．方法2利用“截长补短法”构造全等三角形截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等题目．2．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠ABE＝∠FBE，∠FCE＝∠DCE.在△ABE和△FBE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝FB，,∠ABE＝∠FBE，,BE＝BE，))∴△ABE≌△FBE(SAS)．∴∠A＝∠BFE.∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°.∴∠BFE＋∠D＝180°.∵∠BFE＋∠CFE＝180°，∴∠CFE＝∠D.在△FCE和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CFE＝∠D，,∠FCE＝∠DCE，,CE＝CE，))∴△FCE≌△DCE(AAS)．∴CF＝CD.∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.3．(德州中考)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.点E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是EF＝BE＋DF；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，上述结论是否仍然成立？并说明理由．解：EF＝BE＋DF仍然成立．理由：延长FD到G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝DG，,∠B＝∠ADG，,AB＝AD，))∴△ABE≌△ADG(SAS)．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG.∵∠EAF＝eq\f(1,2)∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF.在△AEF和△AGF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AG，,∠EAF＝∠GAF，,AF＝AF，))∴△AEF≌△AGF(SAS)．∴EF＝FG.∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF.方法3利用“倍长中线法”构造全等三角形将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等．4．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.证明：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN.∵点M为BC的中点，∴BM＝CM.在△AMC和△NMB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AM＝NM，,∠CMA＝∠BMN，,CM＝BM，))∴△AMC≌△NMB(SAS)．∴AC＝BN＝AD，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠NBM＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.在△ABN和△EAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝EA，,∠ABN＝∠EAD，,BN＝AD，))∴△ABN≌△EAD(SAS)．∴DE＝NA＝2AM.方法4利用“三垂直”构造全等三角形如图，若AB＝AC，AB⊥AC，则可过斜边的两端点B，C向过A点的直线作垂线构造△ABD≌△CAE.在平面直角坐标系中，过顶点A的直线常为x轴或y轴．5．已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC放在平面直角坐标系中，如图所示．(1)如图1，若A(1，0)，B(0，3)，求C点坐标；(2)如图2，若A(1，3)，B(－1，0)，求C点坐标；(3)如图3，若B(－4，0)，C(0，－1)，求A点坐标．解：(1)过点C作CD⊥x轴，垂足为D.则∠CAD＋∠ACD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠BAO＋∠CAD＝90°.∴∠BAO＝∠ACD.在△ABO和△CAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOB＝∠CDA，,∠BAO＝∠ACD，,AB＝CA，))∴△ABO≌△CAD(AAS)．∴BO＝AD，OA＝CD.∵A(1，0)，B(0，3)，∴OA＝1，OB＝3.∴AD＝3，CD＝1.∴OD＝OA＋AD＝4.∴C(4，1)．(2)过点A作AD⊥x轴，垂足为D，过点C作CE⊥AD，垂足为E.同(1)可证△ACE≌△BAD，∴AE＝BD，CE＝AD.∵A(1，3)，B(－1，0)，∴BD＝2，AD＝3.∴CE＝3，DE＝AD－AE＝1.∴C(4，1)．(3)过点A作AD⊥x轴，AE⊥y轴，垂足分别为D，E.同(1)可证△BAD≌△CAE，∴CE＝BD，AE＝AD.∵B(－4，0)，C(0，－1)，∴OB＝4，OC＝1.∴AE＝OB－BD＝OB－CE＝OB－(OC＋OE)＝3－AE.∴AE＝eq\f(3,2).∴A(－eq\f(3,2)，eq\f(3,2))．

章末复习(二)全等三角形01分点突破知识点1全等三角形的性质(山西中考2017T17解，2016T19解)1．如图，△ABC≌△DEC，∠A＝70°，∠ACB＝60°，则∠E的度数为(B)A．70°B．50°C．60°D．30°2．如图，已知△ABC≌△DAE，BC＝2，DE＝5，则CE的长为(C)A．2B．2.5C．3D．3.5知识点2全等三角形的判定(山西中考2018T22解，2017T17解，2016T19解)3．(安顺中考)如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD(D)A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BD＝CED．BE＝CD4．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点C在DE上．求证：△ABD≌△ACE.证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△ABD和△ACE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△ABD≌△ACE(SAS)．知识点3全等三角形的实际应用5．小明不小心把一块三角形形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带(C)A．①B．②C．③D．①和②6．如图，高速公路上有A，B两点，C，D为两村庄．已知DA＝10km，CB＝15km.DA⊥AB于点A，CB⊥AB于