2020年宁夏银川某中学高一(下)期中数学试卷

期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）与2019°终边相同的角是（）A.37° B.141° C.-37° D.-141°下列四式中不能化简为的是（）A. B.

C. D.在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（-3，1），则cos2θ=（）A. B. C. D.若cos（π+α）=-，π＜α＜2π，则sin（2π-α）的值为（）A. B. C.± D.-已知向量=（1，1），2+=（4，3），=（x，-2），若∥，则x的值为（）A.4 B.-4 C.2 D.-2在△ABC中，内角A，B，C满足2sinBcosC=sinA，则△ABC的形状为（）A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等腰直角三角形 D.正三角形函数的定义域为（）A. B.

C. D.​函数f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值为（

）A. B.1 C. D.已知向量，满足||=，||=，⊥（），则与的夹角是（）A. B. C. D.将函数y=sin2x-cos2x的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A.最小正周期为 B.关于x=对称

C.关于点（，0）对称 D.在[，]上单调递减已知G是△ABC的重心，若，则x+y=（）A.-1 B.1 C. D.若tan（2x+）=-，则sin2x-3cos2x=（）A.5或 B.或- C.3或 D.或-二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）已知向量=（3，4），=（-2，4），那么在方向上的投影是______．王小一问同桌王小二一道题：cos215°-的值是多少？王小二微笑着告诉王小一：就等于的值，你认为王小二说得对吗？______（对或不对）平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，，点P在边CD上，则的取值范围是______．已知函数的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象先向右平移1个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数g（x）的图象，若在x0处取得最大值，则=______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．

（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；

（2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．

已知sinα+cosα=．

（Ⅰ）求sinα•cosα的值；

（Ⅱ）若α∈（），求sinα+cos（π-α）的值．

已知，，函数．

求函数图象的对称轴方程；

若方程在上的解为，，求的值．

在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量且．

（Ⅰ）若，求向量的坐标；

（Ⅱ）求y=cos2θ-cosθ+t2的值域．

设是两个不共线的非零向量．

（Ⅰ）设，，，那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线；

（Ⅱ）若，且与的夹角为60°，那么实数x为何值时的值最小？最小值为多少？

已知函数f（x）=2sinsin（π+ωx）cos（3π-ωx）-cos2（π-ωx）+（ω∈R）的最小正周期是π，且在区间[0，]上单调递减．

（1）求函数的解析式；

（2）若关于x的方程2a[f（x+π）+f（x+）]2-2[f（x+）+f（xπ）]-3a+3=0在[0，]上有实数解，求a的取值范围．

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：终边相同的角相差了360°的整数倍，

设与2019°角的终边相同的角是α，则α=2019°+k•360°，k∈Z，

当k=-6时，α=-141°．

故选：D．

终边相同的角相差了360°的整数倍，由α=2019°+k•360°，k∈Z，令k=-6，即可得解．

本题考查终边相同的角的概念及终边相同的角的表示形式．属于基本知识的考查．

2.【答案】C

【解析】解：由题意得

A：，

B：=，

C：，所以C不能化简为，

D：，

故选：C．

由题意得A：，

B：=，

C：，

D：；由以上可得只有C答案符合题意．

解决本题的关键是熟练掌握数列的运算性质．

3.【答案】D

【解析】解：∵角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（-3，1），

∴|OP|=，

∴sinθ=．

则cos2θ=1-2sin2θ=．

故选：D．

由任意角的三角函数的定义求得sinθ，然后展开二倍角公式求cos2θ．

本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．

4.【答案】B

【解析】【分析】

此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，同时在计算时注意角度的范围，属于基础题.

把已知的等式利用诱导公式化简，求出cosα的值，然后由α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，然后把所求的式子利用诱导公式化简后，把sinα的值代入即可求出值．

【解答】

解：由cos（π+α）=-cosα=-，得到cosα=，

∵π＜α＜2π，∴sinα=-=-，

则sin（2π-α）=-sinα=-（-）=．

故选：B．

5.【答案】B

【解析】解：；

∵；

∴x+4=0；

∴x=-4．

故选：B．

可求出，从而根据得出x+4=0，解出x=-4．

考查向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系．

6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．

利用正弦定理，余弦定理化简已知等式可得b=c，从而可得结论．

【解答】

解：∵2sinBcosC=sinA，

∴a=2bcosC，

∴a=2b•，

∴b2=c2，

∴b=c，

∴△ABC的形状是等腰三角形．

故选：B．

7.【答案】C

【解析】解：由题意得：1-tan（x-）≥0，

故tan（x-）≤1，

故kπ-＜x-≤kπ+，

解得：x∈（kπ-，kπ+]，k∈z，

故选：C．

根据二次根式的性质以及正切函数的性质求出函数的定义域即可．

本题考查了求函数的定义域问题，考查三角函数的性质，是一道基础题．

8.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查诱导公式的应用，三角函数的最值，正弦函数的有界性，考查计算能力，属于基础题．

利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可．

【解答】

解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x-）

=sin（x+）+cos（-x+）

=sin（x+）+sin（x+）

=sin（x+）．

故选：A．

9.【答案】B

【解析】解：∵；

∴；

∴；

又；

∴=；

∴；

∴；

∴；

又；

∴与的夹角为．

故选：B．

根据即可得出，再根据即可求出，然后对两边平方即可求出，从而可求出，这样根据向量夹角的范围即可求出与的夹角．

考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．

10.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查y=Asin（ωx+φ）的图象及性质，考查函数图象变换，属于基础题.

根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性、以及图象的对称性，得出结论．

【解析】

解：将函数y=sin2x-cos2x=2sin（2x-）的图象向左平移个单位长度，

所得图象对应的函数的解析式为y=2sin（2x+π-）=2sin（2x+）．

故所得图象对应的函数的最小正周期为=π，故排除A；

令x=，求得y=2sin（2×+）=1，不是最值，故排除B；

令x=，求得y=2sin（2×​​​​​​​+）=-​​​​​​​，故图象不关于点（，0）对称，故排除C；

在[，]上，2x+∈[，]，可得y=2sin（2x+）单调递减，故D满足条件，

故选：D．

11.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查三角形重心的定义以及向量的线性运算，本题属基础题．

本题可根据三角形的重心的定义和向量的线性运算进行解决．

【解答】

解：由题意，画图如下：

由重心的定义，可知：

=，

∴==．

∴x+y=．

故选：C．

12.【答案】B

【解析】解：sin2x-3cos2x==

∵tan（2x+）=-，

∴，∴tan2x=，

∴tan2x=，∴tanx=2或tanx=，

∴当tanx=2时，原式=，

当tanx=时，原式=，

故选：B．

根据tan（2x+）=-，求出tanx的值，将sin2x-3cos2x用tanx表示，然后求值即可．

本题考查了三角函数的化简与求值，考查了转化思想，属基础题．

13.【答案】

【解析】解：=3×（-2）+4×4=10．

||==2．

∴在方向上的投影为||•cos＜＞==．

故答案为．

计算，||，代入数量级的投影公式计算．

本题考查了平面向量的数量级运算，属于基础题．

14.【答案】对

【解析】解：cos215°-==，

=

所以王小而说得对．

故答案为：对．

对两式分别化简求值，判断两式的结果是否相等即可．

本题考查了三角函数的化简求值，属基础题．

15.【答案】[，0]

【解析】解：因为点P在边CD上，所以设，

则，，

所以=-λ（1-λ）×16-（1-λ）×4=，

又0≤λ≤1，所以，

故答案为：．

选择向量为基底，分别表示出向量，然后根据数量积建立函数来求解．

本题考查了平面向量数量积的运算以及共线定理，属于中档题目．

16.【答案】

【解析】解：函数的最大值为A=1，最小正周期为8，且过点（1，1），

则=8，得ω=，则f（x）=sin（x+φ），

则f（1）=sin（+φ）=1，

∵|φ|＜，∴当+φ=，得φ=，

则f（x）=sin（x+），

将函数f（x）的图象先向右平移1个单位长度，得到y=sin（x），

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的π倍，得到函数g（x）的图象，即g（x）=sin，

则=sin+2cos=（sin+cos）=sin（+θ），其中cosθ=，sinθ=，

当+θ=+2kπ，k∈Z，即x=2π-4θ+8kπ，k∈Z时，h（x）取得最大值，此时x0=2π-4θ+8kπ，k∈Z，

则sin=sin（π-2θ+4kπ）=sin2θ=2sinθcosθ=2××=，

故答案为：

由图象可得函数的周期及最值，求得ω和A，利用最值求出φ，利用两角和差的正弦公式和辅助角公式进行化简，结合二倍角公式进行求解即可．

本题考查了三角函数解析式的确定，考查了两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角公式的应用，关键是求得辅助角的三角函数值，属于综合题．

17.【答案】解：（1）由⊙O的半径r=10=AB，知△AOB是等边三角形，

∴α=∠AOB=60°=．

（2）由（1）可知α=，r=10，∴弧长l=α•r=×10=，

∴S扇形=lr=××10=，

而S△AOB=•AB•=×10×=，

∴S=S扇形-S△AOB=50．

【解析】（1）通过三角形的形状判断圆心角的大小，即可求弦AB所对的圆心角α的大小；

（2）直接利用弧长公式求出α所在的扇形的弧长l，利用扇形的面积减去三角形的面积，即可得到所在的弓形的面积S．

本题考查扇形弧长公式，以及扇形面积公式的求法，考查计算能力．

18.【答案】解：（Ⅰ）∵sinα+cosα=，

∴，即，

∴；

（Ⅱ）∵，

又∵α∈，∴sinα＞0，cosα＜0，

则sinα+cos（π-α）=sinα-cosα=．

【解析】（Ⅰ）把已知等式两边平方即可求得sinα•cosα的值；

（Ⅱ）求出（sinα-cosα）2的值，结合角的范围开方得答案．

本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．

19.【答案】解：∵=（sinx，cosx），=（cosx，-cosx），

∴f（x）=+=sinxcosx-=

=sin（2x-）

（1）令2x-=可得x=kπ，k∈z

∴函数f（x）图象的对称轴方程x=kπ，k∈z

（2）∵方程f（x）=在（0，π）上的解为x1，x2，

由正弦函数的对称性可知x1+x2=2k，

∵x1，x2∈（0，π），

∴x1+x2=

∴cos（x1+x2）=

【解析】（1）先根据向量数量积的坐标表示求出f（x）结合正弦函数的对称性即可求出函数的对称轴；

（2）由方程f（x）=在（0，π）上的解为x1，x2，及正弦函数的对称性可求x1+x2，进而可求．

本题主要考查了向量数量积的坐标表示，正弦函数的对称性的应用，数基础试题．

20.【答案】解：（Ⅰ）∵，又；

∴2t-cosθ+1=0；

∴cosθ-1=2t①；

又∵；

∴（cosθ-1）2+t2=5②；

由①②得，5t2=5；

∴t2=1；

∴t=±1；

当t=1时，cosθ=3（舍去）；

当t=-1时，cosθ=-1，∴B（-1，-1），即；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知；

∴==；

又∵cosθ∈[-1，1]；

∴当时，；当cosθ=-1时，ymax=3；

∴y的值域为．

【解析】（Ⅰ）可求出，根据即可得出cosθ-1=2t①，而根据即可得出（cosθ-1）2+t2=5②，联立①②即可解出t=±1，并可判断t=1不合题意，只能取t=-1，此时cosθ=-1，从而得出的坐标；

（Ⅱ）由上面得出，从而得出，配方即可求出y的最大、最小值，即得出y的值域．

考查函数值域的概念及求法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，平行向量的坐标关系，根据向量坐标求向量长度的方法，配方法求二次函数的值域．

21.【答案】解：（Ⅰ）由A，B，C三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ），

则（+）=λ（-）+（1-λ）t

则λ=，t=，

（Ⅱ）•=||||cos60°=，

∴|-2x|2=2+4x22-4x•=2+16x2-4

=16x2-4+4，

∴当x=-=时，|-2x|的最小值为．

【解析】（Ⅰ）由A，B，C三点共线知：存在实数λ使=λ+（1-λ），代入，，可得λ=，t=；

（Ⅱ）•=||||cos60°=，∴|-2x|2=2+4x22-4x•=2+16x2-4=16x2-4+4，利用二次函数求最值可得．

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．

22.【答案】解：（1）函数f（x）=2sinsin（π+ωx）cos（3π-ωx）-cos2（π-ωx）+（ω∈R）

=sinωx•cosωx）-cos2ωx+（ω∈R）

=sin2ωx-+=sin（2ωx-）；

T==π，所以：ω=±1；

当ω=1时；函数f（x）=sin（2x-）；此时在区间[0，]上单调递增．不合题意，∴ω=-1；

当ω=-1时；函数f（x）=sin（2ωx-）=-sin（2x+）；此时在区间[0，]上单调递减．符合题意，

故f（x）=-sin（2x+）；

（2）f（x）=-sin（2x+）；f（x+π）=-sin（2x+π+）=sin2x；f（x+）=-sin（2x+）=cos2x；

f（xπ）=-sin（2x++）=-cos2x；

方程方程2a[f（x+π）+f（x+）]2-2[f（x+）+f（xπ）]-3a+3=0即为：

2a[sin2x+cos2x]2-2[sin2x-cos2x]-3a+3=0；

令t=sin2x-cos2x=sin（2x-）∈[-1，1]

因为[sin2x+cos2x]2+[sin2x