力学量的算符

力学量的算符第1页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量一给定状态 里，力学量坐标的平均值在统计物理中知道当可能值为离散值时:一个物理量的平均值等于物理量出现的各种可能值乘上相应的几率求和；当可能值为连续取值时：一个物理量出现的各种可能值乘上相应的几率密度求积分。基于波函数的几率含义，我们马上可以得到粒子坐标的平均值。先考虑一维情况，然后再推广至三维。第2页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量为简单计，除去时间ｔ变量（或者说，先不考虑随时间的变化）设ψ(x)

是归一化波函数，|ψ(x)|2

是粒子出现在x点的几率密度，则的几率是:二给定状态 里，力学量动量的平均值?粒子出现在px点的几率密度，则的几率是:错误第3页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量由ψ(x)直接计算动量平均值，与坐标的平均值的式子有类似的结构。动量必须改造成与经典力学不同的算符形式具体的表象变换稍后讨论任何波函数Ψ(r,t)可用各种不同动量的平面波第4页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量三用算符表示微观粒子的物理量体系状态用坐标表象中的波函数ψ(r)描写时，坐标x的算符就是其自身，即说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。动量px在坐标表象（非自身表象）中的形式必须改造成动量算符形式：三维情况：体系状态用坐标表象中的波函数描写时坐标算符：第5页，共72页，2023年，2月20日，星期三如果量子力学中力学量F在经典物理中有对应的力学量，并且在经典物理中该力学量可以写成是动量和坐标的函数，即：则量子力学中，该力学量的算符将写为：力学量F：动量算符：§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量第6页，共72页，2023年，2月20日，星期三角动量算符：§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量动能算符：第7页，共72页，2023年，2月20日，星期三能量算符：在势场中的粒子能量算符就是哈密顿算符结论1、在状态中，力学量F的平均值可以通过算符对的运算得到。2、如果量子力学中力学量F在经典物理中有对应的力学量，则量子力学中，该力学量的算符将写为§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量第8页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量四算符的运算规则和性质在数学上，一个算符表示一种运算符号，它的意义表现在，对一个函数的运算结果得到另一个函数。即：其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写力学量的算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。1线性算符例如：第9页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量2单位算符指使波函数不变的运算3两个算符相等

若两个算符,对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即:则算符和算符相等记为。4算符之和若两个算符和对体系的任何波函数ψ有：则称为算符之和，算符求和满足交换率和结合率。第10页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量5算符之积两个算符和之积，记为通常6逆运算设能唯一解出则注意：并非所有的算符都有逆运算，只有满足下式的才有逆运算存在第11页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量7算符的函数8复共轭算符给定一个函数F(X),其各阶导数都存在，没有一个算符，则可定义算符的函数F()为:算符的复共轭是将的表达式中所有的量换成其复共轭如:第12页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量9转置算符10厄米共轭算符算符的转置算符定义为如:算符的厄米共轭算符定义为第13页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量11厄米算符算符的等于自己的厄米共轭算符，称为厄米自共轭算符可证明：则例1：证明坐标和动量算符是厄米算符。见课本p312。第14页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.1测量结果的期望值用算符表示力学量定理：在任何情况下厄米算符的平均值都为实数。逆定理：在任何情况下平均值为实数的算符一定是厄米算符。总结量子力学第二基本假设：力学量用线性厄米算符来表示。第15页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数给定状态里，力学量的期望值---平均值1、力学量可能的取值：只与系统本身的性质和所处的外部条件有关，与运动状态无关。2、各种可能取值的几率：既依赖于力学量的算符，也与状态的波函数有关。第16页，共72页，2023年，2月20日，星期三一力学量的本征值方程相对于平均值的涨落：体系（微观粒子）处于某种状态，若测量某个力学量F时，可能出现各种结果，每个结果有一定的几率，经过多次测量，结果的平均趋于一个确定值。若某种特殊状态，在些状态下，力学量F有确定值。§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第17页，共72页，2023年，2月20日，星期三算符本征方程算符本征值本征值对应的本征函数本征函数所描述的态称为本征态1、量子力学基本假设：某一力学量所能取的值是这一力

学量的算符在系统性质决定的定解条件下的本征值。说明§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第18页，共72页，2023年，2月20日，星期三2、厄米算符的本征值是实数4、定解条件下解本征方程，可能会得到一系列本征值(本征谱)，及相对应的本征函数。分立：连续：3、波函数的标准条件：连续、单值、有限。量子数§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第19页，共72页，2023年，2月20日，星期三二几个力学量的本征值方程1动量算符的本征值和本征函数一维情况：解得(a)若粒子在无限空间中运动，即取任何值波函数均满足标准化条件，动量本征值是一个连续谱。动量算符常数,本征值本征值对应的本征函数§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第20页，共72页，2023年，2月20日，星期三(b)若粒子在有限空间中运动，即采用周期性边界条件，即：动量的本征值是分立谱。§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第21页，共72页，2023年，2月20日，星期三动量算符常数（这里是一个常矢量）本征值属于本征值的本征函数以上的方程可以分解为三个分量的形式方程等号两边的矢量分量分别相等，可列出三个分量方程三维情况：§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第22页，共72页，2023年，2月20日，星期三由于粒子在三个方向的运动是独立的，因此我们可以使用分离变量法代入左边的方程得到§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第23页，共72页，2023年，2月20日，星期三解得这其实就是第一章自由粒子的德布罗意平面波的空间部分。动量算符的本征函数就是平面波在这个状态中，粒子动量确定，就是本征值§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第24页，共72页，2023年，2月20日，星期三动量本征值取连续谱。对于这类本征值构成连续谱的本征函数怎么归一化？所得到的本征函数将不能归一化§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第25页，共72页，2023年，2月20日，星期三

归一化系数的确定注意：在积分中我们取了两个属于不同本征值的平面波，与普通波函数的归一化公式不一样对于以上类型的积分有以下的数学公式利用以上公式，我们可以得到如果取不妨取被“归一化”为δ-函数第26页，共72页，2023年，2月20日，星期三“归一化”的平面波具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的，而只能归一化为δ-函数。

但是，如果我们加上适当的边界条件，则可以用以前的归一化方法来归一，这种方法称为箱归一化。§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第27页，共72页，2023年，2月20日，星期三把微观粒子装在一个正方体箱子里面，其边长为L。取箱中心为坐标原点。这是一个完全对称的物理结构。因此在箱子边界的对应点A,A’上，波函数的值应该相等，此边界条件称为周期性边界条件。xyzAA’oL箱归一化周期性边界条件§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第28页，共72页，2023年，2月20日，星期三在y和z方向也能得到类似的结论由此表明，如果把粒子装到如上所述的箱子里面，将引入周期性边界条件。这导致本征值p(px,py,pz)不能任意取值，只能取满足上述条件的分立值换言之，加上周期性边界条件后，本征值连续谱变成了分立谱。第29页，共72页，2023年，2月20日，星期三px,py,pz的不同取值之间的间隔为随着L不断扩大，间隔不断缩小，就会由分立谱过度为连续谱加入周期性条件后，动量本征方程的解变为连续谱时本征值p取任意数值一个动量取值对应三个整数箱内箱外由于本征值由连续谱变分立谱，以上波函数将能够归一化，验证如下第30页，共72页，2023年，2月20日，星期三这时归一化系数c可由归一化条件来确定当时不妨取此时归一化的波函数为箱内箱外箱外波函数为零因此这个波函数描述了一个装在箱子里的自由粒子的可能状态第31页，共72页，2023年，2月20日，星期三2一维自由运动粒子的能量算符的本征值和本征函数（1）能量算符的形式（2）本征方程本征函数本征值这个二阶微分方程的解:§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第32页，共72页，2023年，2月20日，星期三k取任意实值都满足波函数标准条件，是连续谱。若令A=0或者B=0，可得与动量波函数相比完全相同§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第33页，共72页，2023年，2月20日，星期三（a）对于自由粒子，能量算符和动量算符可以有共同的本征函数。（b）和同一个能量本征值（除E=0外）对应，能量算符有两个线性独立的本征函数。这种对应两个独立本征函数的本征值被称为二重简并。相对于力学量的一个本征值，有r个线性独立本征函数，则称力学量是简并的，简并度为r.说明§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第34页，共72页，2023年，2月20日，星期三3角动量算符的本征值和本征函数（1）角动量算符的形式(I)直角坐标系§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第35页，共72页，2023年，2月20日，星期三角动量平方算符由于角动量平方算符中含有关于x，y，z偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第36页，共72页，2023年，2月20日，星期三直角坐标与球坐标之间的变换关系xz球坐标ry(II)球坐标对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函数）则有：也可写为第37页，共72页，2023年，2月20日，星期三将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：将（2）式两边分别对xyz求偏导数得：将（3）式两边分别对xyz求偏导数得：第38页，共72页，2023年，2月20日，星期三将上面结果代回原式得：则角动量算符在球坐标中的表达式为：第39页，共72页，2023年，2月20日，星期三（2）本征方程(I)Lz的本征方程本征函数本征值这个一阶微分方程的解为波函数单值条件，要求当φ转过2π角回到原位时波函数值相等，即：因此§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第40页，共72页，2023年，2月20日，星期三归一化不妨取最后得Lz的本征函数和所属的本征值：当粒子处于状态时，粒子的角动量在z方向的分量有确定值第41页，共72页，2023年，2月20日，星期三(II)L2的本征值问题L2的本征值方程可写为：设本征值其中是属于本征值的本征函数。此方程就是大家熟悉的球谐函数方程，其求解方法在数学物理方法中已有详细的讲述，得到的结论是：要使方程的解在变化的整个区域(0,π)内都是有限的（即满足波函数的有限性标准条件），本征值必须有所限制第42页，共72页，2023年，2月20日，星期三本征值必须满足该方程的解叫做球函数其具体形式为：叫做缔合勒让德多项式，它是的函数归一化系数，由归一化条件确定可以算得为第43页，共72页，2023年，2月20日，星期三的本征函数所属的本征值另外根据球函数我们还可以看到

被称为角量子数，因为它决定了角动量平方的大小对应同一个

角量子数

，m取值为0,±1,±2,±3,...,±，共(2+1)个值。即属于本征值的本征函数不止一个对应一个本征值有一个以上本征函数的情况叫做简并。当粒子处于这些函数描述的状态时，角动量平方取确定值，且都等于一个本征函数对应一个本征函数，都是非简并的。当粒子处在状态时，角动量平方为确定值，值为换句话说，它们满足如下等式第44页，共72页，2023年，2月20日，星期三同一个本征值对应的本征函数的数量叫做简并度，这里的简并度是2+1这里的m叫做磁量子数，事实上这里的m和上面求解的Lz本征值方程时得到的m是一个东西。这可以通过以下步骤验证：让算符作用到球函数上第45页，共72页，2023年，2月20日，星期三球函数角量子数，决定了角动量平方的大小磁量子数，决定了角动量在z方向分量的大小角动量在z方向分量算符的本征函数角动量平方算符的本征函数又叫做的共同本征函数由此可见球函数不仅是的本征函数函数，还是的本征函数。换句话说，当粒子处在状态，角动量平方有确定值，角动量在z方向上的分量也有确定值为第46页，共72页，2023年，2月20日，星期三4粒子在一维无限深势阱中运动V(x)0a求能量本征值和本征函数（1）能量算符的形式（2）本征方程第47页，共72页，2023年，2月20日，星期三这个二阶微分方程的解:（3）能级和本征函数第48页，共72页，2023年，2月20日，星期三波函数标准条件:单值,有界,连续.要求波函数在阱内外要连续。所以:因而，A和B不能同时为零,否则波函数为零是一个真空解.注意：第49页，共72页，2023年，2月20日，星期三能量取分立值本征函数波函数的归一化是：（与n无关）归一化的本征函数第50页，共72页，2023年，2月20日，星期三1）能级是分裂的：(n=1,2,3,4……)

基态能量（最低能量）：

能级间隔：

讨论2）描述的是束缚态所谓束缚态是当时，。即粒子被约束在有限的区域内运动。本例中粒子运动被约束于势阱中。连续谱

第51页，共72页，2023年，2月20日，星期三3）与经典粒子的运动进行比较经典粒子在匣子中运动：能量可以取从零到很大的所有的值（连续）粒子运动的速率不变,所以粒子在匣子内各处出现的几率相等。微观粒子在匣子中运动：

微观粒子能量取分立的值，微观粒子在匣子内各处出现的几率密度为

第52页，共72页，2023年，2月20日，星期三最低能级的四个本征函数最低四个能级时的几率分布第53页，共72页，2023年，2月20日，星期三三本征函数的正交性§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数厄米算符本征函数的一个重要性质——正交性。其实这个性质在我们前面已经有所论述。动量本征函数（平面波）被“归一化”为δ-函数当本征值构成连续谱，本征值第54页，共72页，2023年，2月20日，星期三正交性如果两个函数满足如下关系式：则我们称两个函数相互正交。下面为正交性给一个标准的数学定义注意：以上积分是对自变量x变化的所有区域进行积分。这个定义不限于一维情况，三维与此类似（积分区域是x,y,z变化的所有区域。）重要定理：厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第55页，共72页，2023年，2月20日，星期三证明：设是厄密算符的本征函数，它们所属的本征值都不相等。此时，即本征值构成分立谱(1)式两边取共轭厄密算符的本征值为实数证明：§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第56页，共72页，2023年，2月20日，星期三两边右乘并在整个变量变化范围内求积分(2)式两边左乘并在整个变量变化范围内求积分故因为算符是厄密算符的定义：第57页，共72页，2023年，2月20日，星期三移项得由

可知得证在连续谱情况下这个定理也成立。简并情况在证明厄密算符本征函数的正交归一性时，我们曾假设本征函数所属的本征值各不相等，即忽略了简并的情况。现在假设算符的某个本征值是度简并，即属于它的本征函数有个：，显然它们满足如下关系：一般说来，这些函数并不一定正交。连续谱情况第58页，共72页，2023年，2月20日，星期三下面我们要证明一个重要结论这些新函数仍然是的本征函数，本征值仍然是，并且彼此满足正交归一关系：我们总可以找到个常数把这个旧本征函数按如下方式重新线性组合个新函数：第59页，共72页，2023年，2月20日，星期三正交归一系实例（1）动量本征函数组成正交归一系：（2）坐标本征函数组成正交归一系：第60页，共72页，2023年，2月20日，星期三（3）角动量算符的本征函数组成正交归一系：（4）角动量平方算符的本征函数这个函数同时还是的本征函数，本征值为，因此第61页，共72页，2023年，2月20日，星期三四本征函数的归一化§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数被“归一化”为δ-函数，如：当本征值构成连续谱，第62页，共72页，2023年，2月20日，星期三存在一系列的可能值，这些值肯定是力学量算符的本征值。五给定状态力学量取值的概率§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数通常在任意一般态中，力学量的测量结果是不确定的，既然力学量的值不确定，就涉及到求平均值的问题:1、这些可能值出现的概率?就是把用的本征函数（已经归一化处理）展开之后，本征函数前面的系数的模平方第63页，共72页，2023年，2月20日，星期三§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数证明：(一)展开式中的系数可以通过如下方法求得：将左乘以展开式两边并对函数自变量积分得：分立谱时：根据厄密算符本征函数的正交归一性即注意：这里的所有函数预先都作了归一化处理第64页，共72页，2023年，2月20日，星期三连续谱时展开式左乘并积分(二)平均值的表示假设在中力学量F取值时的几率为另一方面根据量子力学中平均值的概念分立谱时：代入上式连续谱时：代入上式§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第65页，共72页，2023年，2月20日，星期三与相对照§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第66页，共72页，2023年，2月20日，星期三函数的完备性如果任意函数都可以用某一组函数展开为如下的级数形式:式中是与函数自变量无关的展开系数。则我们称这组函数是完备的，或者说它们构成了一个完备系2、厄米算符本征函数的一个重要性质注意：如果这组函数的下标记是连续量，即，则展开式要写成积分形式§5.2.2测量结果的概率分布算符的本征值和本征函数第67页，共72页，2023年，2月20日，星期三3、任意态中力学量的