函数极限与连续函数

函数极限与连续函数第1页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数§1.1

函数

、常量与变量在观察过程中保持不变的量，称为常量。在观察过程中变化着的量，称为变量。习惯上，常量用字母等表示，变量用等表示.

例如，当密闭的容器被加热时，其中气体的体积和分子；而容器的温度和压强在加热过程中是变化的，因此它们是变量。数量保持不变，它们都是常量。第2页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数二、区间与邻域（1）开区间：设

为实数,且则区间的记号和定义如下：（2）闭区间：（3）半开半闭区间：以上区间都称为有限区间，称为区间的长度.和称为区间的端点，第3页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数某个确定的数，因此它们不能参与数的运算.注：都只是表示无限性的一种记号，它们都不是（4）无限区间：第4页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数的邻域，记作,其中称为邻域的中心点，称为邻域的设，以点为中心的开区间称为时，简记为半径，当不需要强调，·（）.，

称为的去心邻域，记作分别记为.，的右邻域，其中称为的左邻域，称为第5页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数三、函数的概念是变量的函数，记作定义和设是两个变量，是一个非空实数集合，若有一个，都有一个确定的实数，使得对于每一个与对应法则为定义在上的函数，或称变量之对应，则称这个对应法则.其中称为自变量，称为因变量，称为函数的定义域，也记作.

第6页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数.或称为函数在点处的函数值，记作值,,即.当时，称在点处有定义，与所对应的函数的函数值全体组成的集合称为其值域，记作或即.第7页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数注：（1）一般函数的定义域就是使数学表达式有意义的一切.例如，

的定义域为，的定义域为.但在实际问题中，

除了考虑数学表达式本身的意义外，还应考虑函数的实际意义.

第8页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数

有一个，这种函数称为单值函数，否则称为多值函数.若无特别（3）函数的定义域与对应法则称为函数的两个要素.是不相同的函数.

（2）若自变量在定义域内任取一个数值，对应的函数值总是只声明，本教材中的函数均指单值函数.与

例如，两个函数相同的充要条件是它们的定义域和对应法则均相同.

第9页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数

在平面直角坐标系中，点集称为函数的图形.许多函数都是由它们“构成”的，所以它们称为基本初等函数.例1

初等数学中的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数，是最基本的函数，第10页，共34页，2023年，2月20日，星期三例2

常数函数（k为常数）的定义域

值域

图1-3它图形是一条平行轴的直线（如图1-3）.

微积分第1章函数极限与连续1.1函数第11页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数例3

绝对值函数

的定义域

，值域

，见图1-4.图1-4第12页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数例4

该函数的定义域为

，其图形见图1-5.图1-5和

称为其分段点.

一个函数在其定义域内的不同部分，其对应法则由不同的算式表达，这样的函数通常称为分段函数，对于例4，第13页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数四、函数的特性设函数

的定义域为

，数集

.

1．函数的有界性若存在一个正数

，使得对于任一

，都有

，则称函数

在

上是有界函数，称为它的界.例如，函数

在内有界，.

在内无界.

函数第14页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数函数

在一个区间

上有界的

几何解释是：

在该区间上的图形位于两条直线

和

之间.

图1—6第15页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数2．函数的单调性

若对于任意两点，当时，恒有（）则称函数

在上是单调增加（减少）函数.若总有（），则称在上是严格单调增加（减少）函数.单调增加单调减少第16页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数在上是单调减少的，内不是单调的.在上是单调增加的；在有时一个函数在其整个定义域上不是单调的，而在定义域中的部分区间上是单调的，这些部分区间称为该函数的单调区间.函数例如，

y=x20xy第17页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数3．函数的奇偶性设关于原点对称，若对于任一，恒有（）则称函数在上为偶（奇）函数.例如，是偶函数，、y=x20xy第18页，共34页，2023年，2月20日，星期三例如，是偶函数，、、是奇函数，既非奇函数，又非偶函数.y=x20xy0xy=x3y偶函数的图形是关于轴对称的，而奇函数的图形是关于原点对称的.

第19页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数例5

判断函数

的奇偶性.解所以

为奇函数.

因为第20页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数4．函数的周期性若存在一个不为零的常数

，使得对于任一

，都有

，且关系式恒成立，则称函数

在

上是周期函数，常数称为

的一个周期，通常所说的周期函数的周期是指其最小正周期.

例如，函数

、是以为周期，

是以为周期.第21页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数五、反函数以速度

匀速行驶的汽车，其行驶距离

（因变量）与行驶时间

，所需的时间为

（自变量）的函数关系为

.则要行驶距离

此时，

为自变量，

为因变量.

为自变量，

为因变量.

为自变量，

为因变量.

第22页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数设函数

的定义域为

，值域为

，如果对于

，

，都有唯一的

，使得

，则

是

的函数，记为

即

，称之为函数

的反函数.

习惯用

表示自变量，

用

表示因变量，因此，将反函数常改写为

.称

与

为互为反函数.第23页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数习惯用

表示自变量，

用

表示因变量，因此，将反函数常改写为

.称

与

为互为反函数.的图形和

的图形关于直线

对称.如图

1-7.指数函数

与对数函数

互为反函数.

图1-7第24页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数反函数存在定理：

定理

如果一个函数在某数集上是严格单调增加（或严格单调减少），则它必定存在反函数，而且反函数也是严格单调增（或例6

求给出函数的反函数：

（1）

；（2）

.解

（1）由

，解得

因此所求反函数为

.严格单调减少）.第25页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数（2）由

，得

故所求反函数为

.从而

.解例6

求给出函数的反函数：

（1）

；（2）

.第26页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数六、复合函数与初等函数1．复合函数某汽车以每小时公里的速度匀速行驶，每公里耗油量为升，汽车在行驶过程中的耗油量是行驶距离

的函数

，

行驶距离

又是时间

的函数

.汽车的耗油量

，通过距

离

（中间变量）与时间

建立了关系，

.第27页，共34页，2023年，2月20日，星期三设函数

的定义域为

，若函数

值域，且

（表示空集），则称是为和

复合而成的复合函数，其中称由为中间变量（或称内层函数），

为外层函数.例如，由函数

构成的复合函数是

微积分第1章函数极限与连续1.1函数1．复合函数第28页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数注（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.

例如，

，

不能复合成复合函数.

（2）复合函数也可以由两个以上的函数复合而成.

由复合而成.第29页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数例7设

，

，

，求

解

与复合相反，函数

可看成由函数，

，

复合得到，

这种找出中间变量的方法，称为复合函数分解.第30页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数例8

将函数

分解成基本初等函数的复合.解复合函数

可以分解为如下基本初等函数：注称函数为幂指函数.显然

第31页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次加、减、乘、除的四则运算和有限次复合运算所构成的能用一个式子表示的函数，称为初等函

数.

例如初等数学中的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数，称为基本初等函数.

第32页，共34页，2023年，2月20日，星期三微积分第1章函数极限与连续1.1函数七★、常用经济函数1．总成本函数、总收益函数与总利润函数固定成本:是指在一定时期内不随产量变化的那部分成本

.总成本=固定成本+可变成本可变成本:是指随产量变化的那部分成本.

销售收入(或收益)是指产品出售后所得的收入，而利润就是收入扣去成本后的余额.总成本C

，