函数的多项式插值与逼近

函数的多项式插值与逼近第1页，共25页，2023年，2月20日，星期三注意下面图中曲线的变化情况！例3：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端点附近误差越大，称为Runge

现象Ln(x)

f(x)高次插值多项式的这种危险性,在20世纪初被Runge发现.第2页，共25页，2023年，2月20日，星期三2、从稳定性角度分析由于插值函数不可避免有误差，不妨设由和构造出的插值多项式分别记为:和

第3页，共25页，2023年，2月20日，星期三二、分段插值的构造方法将插值区间划分为若干个小区间（通常取等距划分）采用低次插值在区间上得到分段函数第4页，共25页，2023年，2月20日，星期三1、分段线性插值

/*piecewiselinearinterpolation*/(1)在每个区间上，用1阶多项式

(直线)逼近

f(x):或者：这里x是局部变量，其定义域为

：

也仅在其定义域内有定义。

第5页，共25页，2023年，2月20日，星期三几何意义为

：

第6页，共25页，2023年，2月20日，星期三(2)、分段线性插值基函数

类似于Lagrange插值函数，分段1阶多项式

(直线)可表示为:其中为分段线性插值基函数，满足：

n+1个分段线性插值基函数分别为：

第7页，共25页，2023年，2月20日，星期三第8页，共25页，2023年，2月20日，星期三一般地：且第9页，共25页，2023年，2月20日，星期三第10页，共25页，2023年，2月20日，星期三也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点

但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果因此则第11页，共25页，2023年，2月20日，星期三第12页，共25页，2023年，2月20日，星期三分段线性插值从整体上看，逼近效果是较好的，但失去了原函数的光滑性。

设给定节点 及相应的函数值，

在[a,b]上存在，是在[a,b]上由数据构成的分段线性插值函数，则其中关于分段二次插值

/*PiecewiseSquareInterpolation

*/讨论方法同分段线性插值完全类似。第13页，共25页，2023年，2月20日，星期三（1）几何直观：分段抛物线弧段近似

2、分段二次插值第14页，共25页，2023年，2月20日，星期三（2）方法概述：第15页，共25页，2023年，2月20日，星期三3、误差估计：第16页，共25页，2023年，2月20日，星期三三、埃尔米特插值

/*HermiteInterpolation*/不仅要求函数值重合，而且要求若干阶导数也重合。即：要求插值函数满足，注：

N

个条件可以确定次多项式。N

1要求在1个节点x0处直到m0阶导数都重合的插值多项式即为Taylor多项式其余项为一般只考虑与的值。第17页，共25页，2023年，2月20日，星期三1、分段三次Hermite插值可构造两点三次Hermite插值多项式第18页，共25页，2023年，2月20日，星期三其中我们称为分段三次Hermite插值多项式，其余项为第19页，共25页，2023年，2月20日，星期三分段低次插值的特点:计算较容易可以解决Runge现象,可保证收敛性但插值多项式分段插值曲线在节点处会出现尖点（若无导数值）优点:缺点:第20页，共25页，2023年，2月20日，星期三Qestion:已知函数在互异节点处的函数值

以及导数值，要构造不超过2n+1次的多项式满足如下的2n+2个条件

称上述问题为全导数的Hermite插值问题2、整体（高次）Hermite插值第21页，共25页，2023年，2月20日，星期三思想类似于Lagrange插值多项式的构造方法，即通过构造一组插值基函数来表示Hermite插值多项式。设满足前述2n+2个条件的插值多项式为其中，满足第22页，共25页，2023年，2月20日，星期三容易导出——全导数的Hermite插值多项式：其中第23页，共25页，2023年，2月20日，星期三如n=1时Hermite插值多项式为第24页，共25页，2023年，2月20日，星期三012

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