正切泰勒公式几何图形

正切泰勒公式几何图形八个常用泰勒公式正弦，反正弦，正切，反正切一起记余弦是正弦的导数指数是正弦余弦绝对值相加8是二项式对数是8的-1次的积分原来如此简单！图解微积分之泰勒公式和其背后的几何意义！01开场白自从我努力将所学知识以动图的形态呈现给大家之后，我惊喜的发现我对知识点的理解变得更加的透彻了。这难道就是：予人玫瑰，手留余香！泰勒公式是非常非常重要的一个工具，同时也是不容易理解消化的知识点。如果你认为这篇文章讲解的好，请分享给身边的大学生，不管是亲戚、朋友。02cos(x)在0点附近的泰勒分解cos(x)当我们仔细观察

g(x)=cos(x)

函数的时候，当

x=0

处的图形和抛物线的图形（红色）相似度极高。红色抛物线的公式可表示如下：抛物线公式当

x=0

时，g(0)=cos(0)=1。我们的目的是将抛物线f(x)和cos(x)的图形尽量逼近。那么，在

x=0

时，

f(0)=g(0)=1。x=0处值图1：抛物线变换（一）上图所示，在我们定下c=1的情况下，第二项中a的值将会对抛物线在x=0处切线斜率产生影响。cos(x)在x=0出的图形切线斜率为0（红线所示）。自然，我们也需要将抛物线在

x=0处切线斜率逼近

0。切线的斜率=切线函数的一阶导数一阶导数我们需要保证f(x)和g(x)在x=0处的切线斜率相等，那么

a=0。图2：抛物线变换（二）上图所示抛物线公式中

b

对于图形形状的影响。二阶导数是个很抽象的概念，有的表达式

切线斜率的变化率。这并不方便记忆，所以我们可以结合导数的物理意义来帮助记忆。路程S的一阶导数对应速度V；路程S的二阶导数对应速度α；图3：抛物线变换（三）我们分别在两个图形上定两个小球，由于两个图形的一阶导数（速度）为0，也就是初始速度都是0。之后，我们可以清楚的看到，红色曲线上的小点运动加速度要大于蓝色曲线上的小点。这就是抛物线公式中b

对整体的影响。知道这一点后，我们就可以通过二阶导数相等去求出

b

了。二阶导数如上所示，2b=-1,b=-0.5。所以抛物线的方程可以如下表示：f(x)=1-0.5*x^2图4：抛物线变换（四）03结果验证我们得到了cos(x)在x=0处的泰勒公式近似公式，那么是不是可以用该公式求cos(x)的近似值呢？当x=0.1时：cos(0.1)=0.9959941651-0.5*x^2=0.995当x=0.5时：cos(0.5)=0.8775825621-0.5*x^2=0.875我们发现，当x的取值离x=0越来越远，则误差越来越大。从图4中也能看出，蓝色和红色小球之间的距离越来越远。这不代表我们的公式有问题，是因为我们的公式推导过程本身就是基于x=0附近的点的近似求解。自然x的值里0点越远越不准。那么怎么样提高精度呢？我们可以不断的在公式后面增加更高次幂的式子。我们一起来看看我们不断增加高次幂之后，两个图形的重合度有什么变化吧。图5：抛物线变换（五）在x取别的值的时候，我们依然可以按照上述过程进行泰勒展开。当我们在x=π的时候做泰勒展开，图形会如图6般美妙。图6：抛物线变换（六）泰勒公式通式：泰勒公式04泰勒公式的几何意义图7：泰勒公式几何意义那么，蓝色、红色和绿色的面积分别为多少呢？也就是说，泰勒公式中第一项为蓝色的面