动量和角动量

动量和角动量第1页，共53页，2023年，2月20日，星期三3.1冲量与动量定理1、动量和冲量动量：冲量：单位:牛顿∙秒或N∙s动量定理的微分形式动量定理的积分形式注意：冲量是过程量，动量是状态量！！！2、动量定理第2页，共53页，2023年，2月20日，星期三动量定理的分量式：质点动量定理的物理意义：在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量等于质点在此时间间隔内的动量增量。说明：合外力的冲量方向和质点的动量增量的方向一致，但不一定和质点的初动量和末动量的方向相同。

力的时间积累效应取决于力的大小和作用时间，是二者共同作用的结果。所以说很大的力在短时间内和很小的力在较长的时间内都可以产生较为可观的动量变化效果。第3页，共53页，2023年，2月20日，星期三冲力对碰撞时间的平均。3、平均冲力物体在碰撞瞬间内的相互作用称为冲力冲力：冲力的特点：作用时间极短，而力的大小变化极大，所以一般使用平均冲力概念，其定义如下：F0tt1t2动量定理结果第4页，共53页，2023年，2月20日，星期三例1：一撑杆跳运动员质量为60kg，从2.0m高度下落，到达地面后静止，若与地面接触时间仅0.01s，则地面对他的平均冲力为多少？若与地面接触时间为1s，则地面对他的平均冲力变为多少？解：撑杆跳运动员篮球到达地面的速率：（m/s）588N378N第5页，共53页，2023年，2月20日，星期三6解:直接用矢量公式求解。[例1]一个质量m=140g的垒球以的速率沿水平方向飞向击球手，被击后它以相同速率沿的仰角飞出。求棒对垒球的平均打击力。设棒和球的接触时间为t=1.2ms。第6页，共53页，2023年，2月20日，星期三7Ftmv160omv230om=140g第7页，共53页，2023年，2月20日，星期三●●●●●●●●●●●3.2动量守恒定律一、质点系的动量定理由相互作用的若干个质点组成的系统称为质点系（组）。

系统内各质点间的相互作用力称为内力，总是成对出现。

系统外物体对系统内任意质点作用力称为外力。对每个质点应用牛顿运动定律：对所有质点（N个）求和第8页，共53页，2023年，2月20日，星期三其中：——质点系的动量定理系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。是系统所受合外力系统内质点所受内力之矢量和系统在某一时刻的总动量说明内力对系统总动量无贡献！第9页，共53页，2023年，2月20日，星期三二、动量守恒定律——动量守恒定律分量式：

质点系所受合外力为零（）时，这一质点系的总动量不随时间改变。第10页，共53页，2023年，2月20日，星期三2.外力与内力相比小很多时，动量也守恒；1.合外力沿某一方向为零，则该方向总动量守恒；3.动量守恒定律只适用于惯性系；4.动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律。第11页，共53页，2023年，2月20日，星期三炸裂时爆炸力是物体内力，它远大于重力，故在爆炸前后，可认为动量守恒。例:一个静止物体炸成三块，其中两块质量相等，且以相同速度30m/s沿相互垂直的方向飞开，第三块的质量恰好等于这两块质量的总和。试求第三块的速度（大小和方向）。即：解：这三个动量必处于同一平面内m3v3m1v1m2v2第12页，共53页，2023年，2月20日，星期三13[例2]如图，一个有1/4圆弧滑槽的大物体的质量为M，停在光滑的水平面上，另一质量为m的小物体自圆弧顶点由静止下滑。求当小物体m滑到底时，大物体M在水平面上移动的距离。第13页，共53页，2023年，2月20日，星期三14解:如图，系统水平方向动量守恒。对上式积分，有：以和分别表示下滑过程中任一时刻m和M的速度，则应该有即：第14页，共53页，2023年，2月20日，星期三15以s和S分别表示m和M在水平方向移动的距离，则有因而有又可得第15页，共53页，2023年，2月20日，星期三yxz3.4质心N个质点系统，可定义质量中心—质心mi1、质心位矢与坐标系的选择有关。2、质点系内各质点相对位置不因坐标系的改变而改变。3、质心相对于质点系的位置不因坐标系的改变而改变。C注意：4、质量均匀的规则物体的质心在几何中心。第16页，共53页，2023年，2月20日，星期三

利用质心位矢沿直角坐标系各坐标轴的分量，可得质心坐标表示式如下：例：任意三角形每个顶点有一质量为m的质点，求质心。oxy（x1，y1）（x2，0)解：建立如图的直角坐标系●●●第17页，共53页，2023年，2月20日，星期三对连续分布的物质，可以将其分为N个小质元dmC分量式：对质量连续分布的物体：线分布：面分布：体分布：如λ、σ和ρ分别为质量的线密度、面密度和体密度。第18页，共53页，2023年，2月20日，星期三例：一段均匀铁丝弯成半圆形，其半径为R，求此半圆形铁丝的质心。由于半圆对y轴对称,所以质心应该在y轴上。RCyxyθ解:设铁丝质量的线密度为λ则：做为质量元在铁丝上取一线元第19页，共53页，2023年，2月20日，星期三例:求腰长为a的等腰直角三角形均匀薄板的质心位置。因为等腰直角三角形对于直角的平分线对称，所以质心位于此分角线上。解：以此分角线为x轴，作坐标轴如图yxOa在离原点x处取宽度为dx的面积元，设薄板质量的线密度为σ则：其面积xdx第20页，共53页，2023年，2月20日，星期三xyOz例：确定半径为R的均质半球的质心位置。建立如图所示坐标系取厚度为dy的薄圆盘为质量元dyRy

已知薄圆盘的质心位于圆心，解：质心在距球心3R/8处r第21页，共53页，2023年，2月20日，星期三质心参考系mi系统的质心在其中静止的平动参考系称为质心系。一般把质心选作质心系的坐标原点。xyzo两边求导：y'x'z'C●第22页，共53页，2023年，2月20日，星期三质心系又叫零动量参考系。y'x'z'mixyzo●当质心系相对于惯性系匀速平动时，它也是惯性系；动量守恒定律适用于惯性系，但在质心系有例外。说明系统对质心系的总动量等于零。

当质心系相对于惯性系变速平动时，它是非惯性系。质点系对质心系动量守恒。第23页，共53页，2023年，2月20日，星期三

设有一个质点系，由N个质点组成。质心的速度：3.5质心运动定理质心的位矢：第24页，共53页，2023年，2月20日，星期三——质心运动定理

不管物体的质量如何分布，也不管外力作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中于此的一个质点的运动一样。实际上在质心位置处可能既无质量，又未受力。两边求导得：第25页，共53页，2023年，2月20日，星期三

引入质心概念后，应用质心运动定理对解决比较复杂的机械运动问题会很便利。第26页，共53页，2023年，2月20日，星期三

当一质点系所受的合外力为零时，系统对惯性系的总动量守恒。由质心运动定理，aC=0,其质心速度保持不变。

质心是物体的质量中心，重心则是地球对物体各部分引力的合力（即重力）的作用点，两者的定义是不同的。

当物体远离地球，不受重力的作用，重心这个概念便失去意义，而质心却是依然存在的。第27页，共53页，2023年，2月20日，星期三例：水平桌面上拉动纸，纸上有一均匀球，球的质量M=0.5kg，纸被拉动时与球的摩擦力为f=0.1N，求：该球的球心加速度ac和从静止开始2秒后球相对桌面移动多少距离？解：当拉动纸时，球体除平动外还有转动，但质心只做平动。球体在水平方向只受摩擦力f由质心运动定理得球心运动的距离为C●faCxo第28页，共53页，2023年，2月20日，星期三例：如图所示，无摩擦的水平面上有一小车，车长L，质量M。一质量为m的人站在静止车的右端出发走到车的左端，求人和小车相对地面的移动距离。x

ΔXMMmmΔx解：建立如图所示的一维坐标系我们将人与车视为一个系统，则因为此系统水平合外力为零，所以系统的总动量守恒并等于零:消去t，对坐标进行积分：第29页，共53页，2023年，2月20日，星期三例：一根完全柔软的质量均匀分布的绳子竖直的悬挂着，其下段与地面接触，让绳子从静止开始下落，求下落长度剩为z时，地面对这根绳子的作用力。第30页，共53页，2023年，2月20日，星期三解：方法二：将绳子看成质点系。绳子上端作自由落体运动：质心运动定理：L-zzLL-zz第31页，共53页，2023年，2月20日，星期三数学公式：两个矢量叉乘结果仍是矢量。其大小：其方向：由右手螺旋法则确定。两个矢量点乘结果是标量。其大小：微分：第32页，共53页，2023年，2月20日，星期三角动量的大小：角动量的方向：3.6质点的角动量和角动量定理1角动量

一个动量为p的质点，对惯性参考系中的某一固定点O的角动量定义为：由右手螺旋定则确定。—描述质点运动状态的物理量第33页，共53页，2023年，2月20日，星期三

动量是对于一固定参考系而言，角动量是对固定参考系中的固定点而言。说明一个质点的角动量时，必须指明是对哪一点。

质点对点的角动量，不但与质点运动有关，且与参考点位置有关。同一运动物体对不同的参考点角动量不相等。并非只有做曲线运动的质点才有角动量。第34页，共53页，2023年，2月20日，星期三确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。第35页，共53页，2023年，2月20日，星期三当同向或反向时，角动量为零。由角动量定义知：但车对路边的点有角动量！第36页，共53页，2023年，2月20日，星期三

质点做圆周运动时，由于r垂直于p，质点对圆心的角动量大小为

质点做匀速圆周运动时，对圆心O的角动量为恒量第37页，共53页，2023年，2月20日，星期三2角动量定理对t求导得由定义：为力对同一点的力矩。第38页，共53页，2023年，2月20日，星期三力矩的大小：力矩的方向：角动量定理：

质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。注意：定理中的力矩和角动量是对惯性系中的同一固定点而言的。右螺旋法则确定。aαo●m第39页，共53页，2023年，2月20日，星期三3.7角动量守恒定律

如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。1角动量守恒定律力矩：如F等于零，则M肯定等于零；如F不等于零，则M也可以等于零；aαo●m第40页，共53页，2023年，2月20日，星期三小球对圆心的角动量守恒例如：●小球在转动中动量不守恒！研究转动时用角动量比用动量方便！第41页，共53页，2023年，2月20日，星期三(2)角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构天体系统的旋转盘状结构第42页，共53页，2023年，2月20日，星期三引力使星团压缩，惯性离心力离心力与引力达到平衡r就一定了z

轴方向无限制，最终压缩成铁饼状。第43页，共53页，2023年，2月20日，星期三

脉冲星自转周期不变，绕固定轴角动量守恒。转速太快，应为中子星（密度太小则被离心力撕裂）。第44页，共53页，2023年，2月20日，星期三例：证明：一个质点运动时如果不受外力作用，则它对于任意固定点的角动量矢量保持不变。证明：不受外力，质点将做匀速直线运动。m在某一时刻经过A点时，其对固定点O的角动量为

固定点O到轨迹直线的垂直距离只有一个值，所以角动量的大小恒定。

而角动量的方向恒垂直于固定点O和运动轨迹所决定的平面。所以m对任意固定点的角动量矢量保持不变。O●m●Aα●第45页，共53页，2023年，2月20日，星期三例试利用角动量守恒定律:

证明关于行星运动的开普勒定律:

任一行星和太阳之间的联线,在相等的时间内扫过的面积相等,即掠面速度不变.行星对太阳O的角动量的大小为其中是径矢r与行星的动量p或速度v之间的夹角.表示时间内行星所走过的弧长,则有用[证明]第46页，共53页，2023年，2月20日，星期三3.8质点系的角动量定理mimjm10质点系角动量第i个质点角动量的时间变化率质点系的角动量定理时质点系的角动量守恒第47页，共53页，2023年，2月20日，星期三注意:1)若质点所受外力是有心力,即沿着或背着这时质点系的角动量守恒。2)若质点系所受外力是重力,即则在质心参考系中,角动量总是守恒的。3)角动量定理、角动量守恒式都是矢量式，它们对每个分量都成立。的方向,第48页，共53页，2023年，2月20日，星期三例：两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，那一个小孩先到达滑轮？两个小孩重量不等时情况又如何？解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考点，把两个小孩和