2021年中考数学一轮复习：圆的有关性质-专项练习题(含答案)

2021年中考数学一轮复习：圆的有关性质专项练习题一、选择题1.如图，在直角坐标系中，以原点为圆心，半径为5的圆内有一点P(0，－3)，那么经过点P的所有弦中，最短的弦的长为()A．4 B．5 C．8 D．102.2019·赤峰如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为()A．30° B．40° C．50° D．60°3.(2019•贵港)如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是A． B．

C． D．4.如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为()A.eq\r(5) B．2eq\r(5) C．3 D．2eq\r(3)5.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为P，则OP的长为()A．3 B．2.5 C．4 D．3.56.如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的eq\r(2)倍，则∠ASB的度数是()A．22.5° B．30° C．45° D．60°7.如图，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为()A．6B．8C．5eq\r(2)D．5eq\r(3)8.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为()A．5 B.eq\f(5\r(3),2) C．5eq\r(2) D．5eq\r(3)二、填空题9.在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为.

10.如图，☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧上.若∠BAC=66°，则∠EPF等于度.

11.2018·毕节如图，AB是⊙O的直径，C，D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，则∠ACE的度数为________．12.如图，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升了cm.

13.(2019•娄底)如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．14.如图0，A，B是⊙O上的两点，AB＝10，P是⊙O上的动点(点P与A，B两点不重合)，连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝________．15.如图，⊙O的直径AB过弦CD的中点E，若∠C＝25°，则∠D＝________°.16.如图所示，在半圆O中，AB为直径，P为eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，分别在eq\o(AP,\s\up8(︵))和eq\o(PB,\s\up8(︵))上取其中点A1和B1，再在eq\o(PA,\s\up8(︵))1和eq\o(PB,\s\up8(︵))1上分别取其中点A2和B2.若一直这样取下去，则∠AnOBn＝________°.三、解答题17.如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在eq\o(AB,\s\up8(︵))上，连接AE，CE，BE.(1)求证：EC平分∠AEB；(2)连接BC，若BC∥AE，且CG＝4，AB＝6，求BE的长．18.我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，事实上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．[弦心距是指从圆心到弦的距离(如图①中的OC，OC′的长)]请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决下列问题：如图②，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边所在的直线分别交于点A，B和C，D.(1)求证：AB＝CD.(2)若角的顶点P在圆上或圆内，(1)中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．19.如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交BC于点F(∠AFC≠90°)，交△ABC的外接圆于点D.(1)求点F与△ABC的内切圆⊙E的位置关系；(2)求证：ED＝BD；(3)若∠BAC＝90°，△ABC的外接圆的直径是6，求BD的长；(4)B，C，E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不可以，请说明理由．20.已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．（1）求AB的长；（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．答案一、选择题1.【答案】C[解析]过点P作弦AB⊥OP，连接OB，如图．则PB＝AP，∴AB＝2BP＝2eq\r(OB2－OP2).再过点P任作一条弦MN，过点O作OG⊥MN于点G，连接ON.则MN＝2GN＝2eq\r(ON2－OG2).∵OP＞OG，OB＝ON，∴MN＞AB，∴AB是⊙O中的过点P最短的弦．在Rt△OPB中，PO＝3，OB＝5，由勾股定理，得PB＝4，则AB＝2PB＝8.2.【答案】D3.【答案】B【解析】∵，，∴，∵，∴，∴，故选B．4.【答案】D[解析]如图，过点O作OD⊥AB于点D，连接OA.根据题意，得OD＝eq\f(1,2)OA＝1.再根据勾股定理，得AD＝eq\r(3).根据垂径定理，得AB＝2eq\r(3).5.【答案】C6.【答案】C[解析]设圆心为O，连接OA，OB，如图．∵弦AB的长度等于圆半径的eq\r(2)倍，即AB＝eq\r(2)OA，∴AB2＝2OA2.∵OA＝OB，∴AB2＝OA2＋OB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝eq\f(1,2)∠AOB＝45°.故选C.7.【答案】B[解析]如图，延长AO交⊙O于点E，连接BE，则∠AOB＋∠BOE＝180°.又∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠BOE＝∠COD，∴BE＝CD＝6.∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴AB＝eq\r(AE2－BE2)＝8.8.【答案】D[解析]如图，连接OB，OA，OP，设OB与AP交于点D.由PB＝AB可知eq\o(PB,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵))，从而可知OB⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB为等边三角形，在Rt△OAD中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD的长，从而可求出AP的长为5eq\r(3).故选D.二、填空题9.【答案】5[解析]如图，已知☉O，圆内接正方形ABCD.连接OB，OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，由垂径定理及正方形的性质得出OE=BE=，由勾股定理得OE2+BE2=OB2，即2+2=52，解得a=5.10.【答案】57[解析]连接OE，OF.∵☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，∴OF⊥AC，OE⊥AB，∴∠BAC+∠EOF=180°，∵∠BAC=66°，∴∠EOF=114°.∵点P在优弧上，∴∠EPF=∠EOF=57°.故填:57.11.【答案】30°[解析]如图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°.∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠A＝60°.∵CE⊥OA，∴∠AEC＝90°，∴∠ACE＝90°－60°＝30°.12.【答案】10或70[解析]作OD⊥AB于C，OD交☉O于点D，连接OB.由垂径定理得:BC=AB=30cm.在Rt△OBC中，OC==40(cm).当水位上升到圆心以下且水面宽80cm时，圆心到水面距离==30(cm)，水面上升的高度为:40-30=10(cm).当水位上升到圆心以上且水面宽80cm时，水面上升的高度为:40+30=70(cm).综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm.故答案为10或70.13.【答案】1【解析】∵AB为直径，∴，∵，∴．故答案为：1．14.【答案】5[解析]∵OE过圆心且与PA垂直，∴PE＝EA.同理PF＝FB，∴EF是△PAB的中位线，∴EF＝eq\f(1,2)AB＝5.15.【答案】65[解析]∵∠C＝25°，∴∠A＝∠C＝25°.∵⊙O的直径AB过弦CD的中点E，∴AB⊥CD，∴∠AED＝90°，∴∠D＝90°－25°＝65°.16.【答案】(eq\f(90,2n－1))[解析]当n＝1时，∠A1OB1＝90°；当n＝2时，∠A2OB2＝eq\f(90°,2)＝45……所以∠AnOBn＝(eq\f(90,2n－1))°.三、解答题17.【答案】解：(1)证明：∵CD⊥AB，CD是⊙O的直径，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠AEC＝∠BEC，∴EC平分∠AEB.(2)∵CD⊥AB，∴BG＝AG＝eq\f(1,2)AB＝3，∠BGC＝90°.在Rt△BGC中，∵CG＝4，BG＝3，∴BC＝5.∵BC∥AE，∴∠AEC＝∠BCE.又∵∠AEC＝∠BEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴BE＝BC＝5.18.【答案】解：(1)证明：如图①，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N.∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON，∴AB＝CD.(2)(1)中的结论还成立．证明：当点P在⊙O上时，如图②，同(1)知OM＝ON，∴AB＝CD；当点P在⊙O内时，如图③，同(1)知OM＝ON，∴AB＝CD.19.【答案】解：(1)设⊙E切BC于点M，连接EM，则EM⊥BC.又线段AE的延长线交BC于点F，∠AFC≠90°，∴EF>EM，∴点F在△ABC的内切圆⊙E外．(2)证明：∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∵∠CBD＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∴∠BED＝∠EBD，∴ED＝BD.(3)如图①，连接CD.设△ABC的外接圆为⊙O.∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.∵⊙O的直径是6，∴BC＝6.∵E为△ABC的内切圆的圆心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又∵BD2＋CD2＝BC2，∴BD＝CD＝3eq\r(2).(4)B，C，E三点可以确定一个圆．如图②，连接CD.∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD.又由(2)可知ED＝BD，∴BD＝CD＝ED，∴B，C，E三点确定的圆的圆心为点D，半径为BD(或ED，CD)的长度．20.【答案】（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．由△OAB∽△PAC，得．所以．所以．在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得．所以，．在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得．整理，得．定义域为x＞0．图2图3（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．因