方阵的特征值和特征向量课件

§2

方阵的特征值与特征向量引言纯量阵lE

与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，即(lEn)An=An

(lEn)=lAn

．矩阵乘法一般不满足交换律，即AB

≠

BA

．数乘矩阵时，数l都是可交换的，即l(AB)=(lA)B=A(lB)．Ax=lx?

例：定义：设A

是n阶矩阵，如果数l

和n维非零向量

x

满足Ax=l

x，那么这样的数l

称为矩阵A

的特征值，非零向量x

称为A

对应于特征值l

的特征向量．例1：则l=4为的特征值，为对应于l=4的特征向量.一、基本概念特征方程特征多项式特征方程 |A−lE|=0特征多项式 |A−lE|二、基本性质在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

（称为矩阵A的迹,TrA）l1l2…ln=|A|当时,A的特征值全为非零数;结论：当时,A至少有一个特征值等于零.因而,A

的特征多项式中,n

与n-1

的系数由该项中,有一项是主对角线上n

个元素的乘积(-a11)(-a22)(-ann)而其他各项至多含有主对角线上的n-2

个元素.证明：确定.不难看出,n

的系数为1

,n-1

的系数为另外,在特征多项式中12…n=|A|.

[证毕]定义：称为矩阵A

的迹,记作trA.比较上述两式，对应项的系数相同，可得1+2+…+n=a11+a22+…+ann;|E-A|=n-(a11+a22+…+ann)n-1+…+(-1)n|A|.|E-A|=(-1)(-2)…(-n).推论：方阵A可逆A的特征值都不是零例2：求矩阵的特征值和特征向量．解：A

的特征多项式为所以A

的特征值为l1=2，l2=4．当l1=2时，对应的特征向量应满足方程组

即解得基础解系,k

p1（k

≠

0）就是对应的特征向量．例2：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：A

的特征多项式为所以A

的特征值为l1=2，l2=4．当l2=4时，对应的特征向量应满足方程组

解得基础解系k

p2（k

≠

0）就是对应的特征向量．例3：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当l1=−1时，因为解方程组(A+E)

x=0．解得基础解系；k

p1（k

≠

0）就是对应的特征向量．例3：求矩阵的特征值和特征向量．解（续）：当l2=l3=2时，因为解方程组(A−2E)

x=0．解得基础解系．k2

p2+k3

p3（k2,k3

不同时为零）就是对应的特征向量．证明：由于

是齐次线性方程组是A的属于

的特征向量.定理:

若和

都是A的属于特征值的特征向量,则

也是A的属于的特征向量(其中是任意常数,但)因此

也是方程组的解。故当时,的解.因此

也是方程组的解。例4（书上例8）：设l是方阵A

的特征值，证明(1)l2

是A2

的特征值；(2)当A

可逆时，1/l

是A−1

的特征值．证明：结论：若非零向量p

是A对应于特征值l

的特征向量，则l2

是A2

的特征值，对应的特征向量也是

p

．推广：lk

是Ak

的特征值，对应的特征向量也是

p

．当A

可逆时，1/l

是A−1

的特征值，对应的特征向量仍然是

p

．二、基本性质（续）在复数范围内n阶矩阵A有n个特征值（重根按重数计算）．设n阶矩阵A的特征值为l1,l2,…,ln，则l1+l2+…+ln=a11+a22+…+ann

l1l2…ln=|A|若l是

A的一个特征值，则齐次线性方程组(A−lE)

x=0的基础解系就是对应于特征值为l

的全体特征向量的最大无关组．若l是

A的一个特征值，则

j

(l)=a0+a1l+…+aml

m

是矩阵多项式j

(A)=a0+a1A+…+amA

m

的特征值．若l是

A的一个特征值，则

j

(l)=a0+a1l+…+aml

m

是矩阵多项式j

(A)=a0+a1A+…+amA

m

的特征值．例6（书上例9）：设3阶方阵A

的特征值为1,−1,2，求A*+3A−2E的特征值．解：

A*+3A−2E=|A|A−1+3A−2E=−2A−1+3A−2E

=j

(A)

其中|A|=1×(−1)×2=−2，所以A是可逆矩阵.设l是

A的一个特征值，p

是对应的特征向量．令练习：关于矩阵的特征值的几点说明1.

由于n

阶矩阵的特征方程是一元n

次方程，所以在复数域上，n

阶矩阵一定有n

个特征值，但不一定有n

个实特征值.2.

若n

阶矩阵的特征值都是实数，则它们不一定各不相同,即矩阵的特征值可以是特征方程的重根.在计算特征值的个数时，重根按重数计算.k重根叫做k重特征值。定理2：设

1,2,…m

是方阵A

的m个各不相等特征值,p1,p2,…,pm

依次是与之对应的特征向量.则p1,p2,…,pm

线性无关.证用数学归纳法（课上不讲证明过程）当m=1时，A

的属于特征值1的特征向量p10，而单个的非零向量是线性无关的.设m=s–1时，结论成立.只需证明m=s时,向量p1,p2,…,ps

线性无关.设有数k1,k2,…,ks

,使k1p1+k2p2+…+ksps

=0(１)在上式两边左乘矩阵A,得A(k1p1+k2p2+…+ksps

)

=0即k1Ap1+k2Ap2+…+ksAps

=0由于Api

=ipi

(i=1,2,…,s)，所以有k11p1+k22p2+…+kssps

=0(２)在k1p1+k2p2+…+ksps