灰色系统理第6章课件

本章主要内容：适用范围6.6GM(1,N)模型和GM(0,N)模型6.7GM(2,1)和Verhulst模型第六章灰色系统建模许多系统研究者对微分方程感兴趣，认为微分方程较深刻地反映了事物发展的本质。灰色系统理论通过对一般微分方程的深刻剖析定义了序列的灰导数，从而使我们能够利用离散数据序列建立近似的微分方程模型。定义6.1.1设微分方程为则称为x的导数；x为的背景值；a,b为参数。因此，一个一阶微分方程由导数、背景值和参数三部分构成。定义6.1.2设为定义在时间集T上的函数，若当时，恒有,则称在T上的信息浓度无限大。2、若x为背景值取值，且设为的成分，当时，则称背景取值与导数成分满足平射关系。定理6.1.1微分方程构成的条件有以下三条：1、信息浓度无限大；2、背景值是灰数；3、导数与背景值满足平射关系；定义6.1.4称为灰色微分方程。命题6.1.1对于灰色微分方程灰导数与背景值中元素不满足平射关系。命题6.1.2若背景值取中元素的均值，即令则背景值与灰导数成分具有算术平射关系。6.2GM(1,1)模型定义6.2.1设称为GM(1,1)模型的原始形式。符号GM(1,1)的含义如下：定理6.2.1设如定义6.2.1和6.2.2所示,若为参数列，且则GM(1,1)模型的最小二乘估计参数列满足定义6.2.3称：为GM(1,1)模型的白化方程，也叫影子方程。定理6.2.2设如定理6.2.1所述，(1)白化方程的解也称时间响应函数为(2)GM(1,1)模型的时间响应序列为(3)还原值定义6.2.4称GM(1,1)模型中的参数-a为发展系数，b为灰色作用量。定理6.2.3GM(1,1)模型可以转化为其中

GM(1,1)模型的特点是能较好地对系统行为特征值大小的发展变化进行预测，其应用价值在越来越多的领域得到体现。GM(1,1)模型实质是通过对原始数据序列作一次累加生成(1-AcumulatedGeneratingOperator,1-AGO)，使序列呈现出灰指数规律，从而构造预测模型，来预测系统的发展趋势，其建模过程是：

第一步：累加生成。设原始非负序列为X(0)=，则X(0)的1-AGO序列为X(1)=，其中，X(1)(K)=,()。

第二步：构造背景值。由X(1）构造背景值序列Z(1)=()，其中Z(1)(K)=，，一般取，作紧邻均值生成。

第三步：假定X(1)具有近似指数变化规律，则白化微分方程为。将上式离散化，微分变差分，得到GM(1,1)灰微分方程。

第四步：用最小二乘法，可以解得参数a，b，其中-a称为发展系数，其大小反映了序列的增长速度；b称为灰作用量。相应的，X(0)的预测公式为:6.4GM(1,1)模型群在实际建模中，原始序列数据不一定全用来建模。取出一部分数据，就可以建立一个模型。即使都建立同类GM(1,1)模型，选择不同的数据，参数的值也不一样。这种变化，正是不同情况、不同条件对系统特征的影响在模型中的反映。定义6.4.1设序列将x(0)(n)取为时间轴的原点，则称t<n为过去;t=n为现在;t>n为未来。定义6.4.2设为其GM(1,1)时间响应式的累减还原值，则(1)当时，称为模型模拟值；(2)当时，称为模型预测值。(3)设x(0)(n+1)为最新信息，将x(0)(n+1)置入X（0)序列，称用建立的模型为新信息GM(1,1)；(4)置入最新信息x(0)(n+1)，去掉最老信息x(0)(1)，称用建立的模型为新陈代谢GM(1,1)。我们所追求的是GM(1,1)模型的预测精度越高越好，但预测精度不可能事先知道。我们只能以模拟精度来检验GM(1,1)模型的精度。实际数据；模拟数据定义残差为定义相对误差为我们用残差平方和和平均相对误差来衡量模型精度。6.5GM(1,1)模型的适用范围邓聚龙对GM(1,1)进行了深入研究,得到多种不同形式命题6.5.1当时，GM(1,1)模型无意义。证明采用最小二乘法估计模型参数，有当时，，无法确定模型参数，故此GM(1,1)模型无意义。随着a的取值不同，预测效果也不同。对于-2<a<0，即发展系数0<-a<2的情形，我们分别取-a=0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.8,1.0,1.5,1.8等进行模拟分析。取k=0,1,2,3,4,5,由可得如下数列：

分别以为原始序列建立GM(1,1)模型得到如下的时间响应式：由得

可以看出，随着发展系数-a的增大，模拟误差迅速增加。当发展系数-a小于或等于0.3时，模拟精度可以达到98%以上;发展系数小于或等于0.5时，模拟精度可以达到95%以上;发展系数大于1，模拟精度低于70%;发展系数大于1.5，模拟精度低于50%。进一步考察1步，2步，5步，10步预测误差当发展系数小于0.3时，1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在97%以上；当0.3<-a<=0.5时，1步和2步预测精度皆在90%以上，10步预测精度亦高于80%；当发展系数大于0.8时，1步预测精度已低于70%。1)当-a<=0.3时，GM(1,1)可用于中长期预测；2)当0.3<-a<=0.5时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用；3)当0.5<-a<=0.8时，用GM(1,1)作短期预测应十分谨慎；4)当0.8<-a<=1时，应采用残差修正GM(1,1)模型；5)当-a>1时，不宜采用GM(1,1)模型。6.5残差GM(1,1)模型当GM(1,1)模型的精度不符合要求时，可用残差序列建立GM(1,1)模型，对原来的模型进行修正，以提高精度。定义6.5.1设为原始序列，为的1－AGO序列，GM(1,1)模型的时间响应式

则称

为导数还原值。可以看出，GM(1,1)模型既不是微分方程，也不是差分方程。但当充分小时，，有这说明微分与差分的结果十分接近。6.6GM(1,N)和GM(0,N)模型

一、GM(1,N)

定义6.6.1设为系统特征序列，而

为相关因素序列，为的1－AGO序列，为的紧邻均值生成序列，则称为GM(1,N)模型。

定义6.6.2在GM(1,N)模型中，-a称为系统发展系数，称为驱动项，bi称为驱动系数，称为参数列。定理6.6.1设X1(0)为系统特征数据序列，Xi(0)为相关因素数据序列，Xi(1)为诸Xi(0)的1－AGO序列，Z1(1)为X1(1)的紧邻均值生成序列，则参数列的最小二乘估计满足

定义6.6.3设，则称为GM(1,N)模型的白化方程，也称影子方程。定理6.6.2设如定理6.6.1所述，则(1)白化方程的解为：(2)GM(1,N)的近似时间响应式为：(3)累减还原式为(4)GM(1,N)差分模拟式为：

定义6.6.4设为系统特征数据序列，为相关因素序列，为诸的1－AGO序列，则称为GM(0,N)模型。二、GM(0,N)模型定理6.6.3设，如定义6.6.4所述，则参数列的最小二乘估计为6.7GM(2,1)和Verhulst模型一、GM(2,1)定义6.7.1设其中称为GM(2,1)模型。定义6.7.2称为GM(2,1)模型的白化方程。定理6.7.1设如定义6.7.1所述，且则GM(2,1)参数列的最小二乘估计为定理6.7.2关于GM(2,1)白化方程的解有以下结论：(1)若是的特解，是对应齐次方程的通解，则是GM(2,1)白化方程的通解。(2)齐次方程的通解有以下三种情况：当特征方程有两个不相等的实根时，当特征方程有重根时，当特征方程有一对共轭复根时，(3)白化方程的特解有以下三种情况：当零不是特征方程的根时，当零是特征方程的单根时，当零是特征方程的重根时，二、Verhulst模型Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程，即S形过程。常用于人口预测、生物生长、繁殖预测和产品经济寿命预测等。定义6.7.5称为GM(1,1)幂模