8-6 周期性与对称性（精练）（基础版）（解析版）

8.6周期性与对称性（精练）（基础版）题组一题组一对称性1．（2022·吉林·梅河口市第五中学）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵为偶函数，∴，即函数关于对称，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递减，由，可得，整理得，，解得或.故选：B.2．（2022·云南楚雄）已知函数的图象与的图象关于轴对称，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知函数的图象与的图象关于x轴对称，所以，又是上的增函数，所以，解得.故选：B.3．（2022·浙江衢州）已知函数，若、，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，则，，因为，因为，则，因此，.故选：B.4．（2022·云南昆明）（多选）已知函数对，都有，，且，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点（-2，0）中心对称C． D．【答案】BC【解析】因为，所以为奇函数，又因为，所以关于对称，所以，令等价于，所以，再令等价于，所以，所以的周期为4，由，可得：，所以的图象关于对称，故A不正确；又因为的图象关于对称，的周期为4，所以的图象关于点中心对称，故B正确；令中，可得，所以，故C正确；，故D不正确.故选：BC.5．（2022广西）（多选）若定义在上的奇函数满足，在区间上，有，则下列说法正确的是（

）A．函数的图象关于点成中心对称B．函数的图象关于直线成轴对称C．在区间上，为减函数D．【答案】AC【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，又，即关于对称，故B不正确；所以，即，所以，所以是以为周期的周期函数，因为在区间上，有，所以在上单调递增，因为，即，所以的图象关于点成中心对称，故A正确；因为关于成轴对称，关于成中心对称，且在上单调递增，所以在上单调递减，故C正确；因为，故D错误；故选：AC6．（2022·全国·高三）（多选）若函数f(x)满足：∀x∈R，f(x＋2)＝f(2－x)，且则（

）A．f(0)＞f(3) B．∀x∈R，f(x)≤f(2)C． D．若f(m)＞f(3)，则1＜m＜3【答案】AC【解析】由，，可得图象关于对称，由，，可得在上单调递增，在上单调递减，当时，最小，结合函数的单调性和对称性得：距离越近函数值越小，则显然A正确，B不正确；对C，，C正确；对D，时，距更远，则，解得或，D不正确．故选：AC.7．（2022·江西萍乡·三模（理））已知定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称，且当时，，若，则.故，即.故选：C.8．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）函数是R上的奇函数，函数图像与函数关于对称，则（

）A．0 B．-1 C．2 D．1【答案】C【解析】函数是R上的奇函数，则设，则，则函数的图像关于点对称函数图像与函数关于对称，所以函数的图像关于对称，所以故选：C9．（2022·广东惠州·高三阶段练习）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为函数满足，所以，所以，又的图象关于直线对称，所以，且，则，所以，所以，无法求出.故选：A.10．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数，其中a为常数，若存在，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】因为，所以关于直线对称，又，所以.故选：C．11．（2022·河北·邢台市第二中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数满足，所以的图象关于直线对称，又在区间上单调递增，所以在上单调递减，因为，，即，平方后解得.所以的取值范围为.故选：B.12．（2022·全国·单元测试）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为，，所以函数的图象关于直线对称，又在上单调递减，所以在上单调递增，结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式等价于，两边同时平方后整理得，解得或.故选：C．13．（2022·浙江·高三开学考试）已知函数，若，则___________.【答案】2【解析】因为，对称轴为，所以的对称中心为，即，因为，所以在上单调递增，所以方程的解均有且只有一个，因为，所以关于对称中心对称，所以，故答案为：214．（2022·湖北·高三开学考试）函数的极大值为，极小值为，则______.【答案】6【解析】由题意，，故关于对称.故取得极大与极小值的点关于对称，所以.故答案为：615．（2022·湖北武汉）定义在上的奇函数满足，当时，，则__________．【答案】【解析】，，即，又为奇函数，，，，.故答案为：.16．（2022·江苏盐城·高一期末）对，函数都有，则___________.（答案不唯一，写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】，图象关于点对称，则.故答案为：（答案不唯一）.17．（2022·广西·南宁三中二模（文））若函数的图象关于直线对称，则_______．【答案】7【解析】由题意，即，所以，即，解得，此时，，满足题意．所以，．故答案为：7．题组二题组二周期性1．（2022·江苏南通·高三开学考试）定义在上的奇函数满足，当时，，则的值为___________.【答案】【解析】由题意，函数满足，化简可得，所以函数是以4为周期的周期函数，因为为奇函数，所以，因为，即，所以.故答案为：2．（2022·重庆八中高三开学考试）已知为上的奇函数，且，当时，，则_____.【答案】【解析】因为函数是奇函数，所以，所以，即，所以函数是周期的函数，因为，所以，所以.故答案为：3．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足，则___________.【答案】【解析】因为在R上的函数满足，且，令，有，又，所以函数是以4为周期的周期函数，所以.故答案为：．4．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（文））已知函数是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则的值为_________.【答案】1【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，因为，所以的周期为4，因为当时，，所以，故答案为：15．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高三阶段练习（文））已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】图象关于点对称，，又为上的偶函数，，，，是周期为的周期函数，，又，，.故选：C.6（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）设的定义域为，且满足，若，则（

）A．2023 B．2024 C．3033 D．3034【答案】A【解析】因为，，所以，由得，所以，，即，所以，所以.故选：A7．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（

）A．3 B．0 C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以的周期为4，所以，又是定义在上的奇函数，所以，所以，又因为在中，令，得，所以，又当时，，所以令，，所以.故A，B，C错误.故选：D.题组三题组三函数性质的综合运用1．（2022·内蒙古赤峰）已知是定义在R上的可导函数，且满足，，，若，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】不等式可化为，令，由，得，所以是减函数，因为，所以的图象关于点对称，即，又，分别令，，，，，得，，，，，结合对称性有，，，所以，从而，因此不等式为，所以．故选：C．2．（2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试）（多选）已知是定义在上的偶函数，其图象关于点对称.以下关于的结论正确的有（

）A．是周期函数B．满足C．在上单调递减D．是满足条件的一个函数【答案】ABD【解析】对于A：，其图象关于点对称即所以，函数是周期函数且其周期为4，故A正确；对于B：由A知，对于任意的，都有满足，又函数是偶函数，即，故B正确；对于C：反例：如图所示的函数，关于轴对称，图象关于点对称，函数的周期为4，但是在上不是单调函数，故C不正确；对于D：是定义域为在，且，，所以是定义域为在上的偶函数，其图象关于点对称的一个函数，故D正确．故选：ABD．3．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）（多选）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（

）A．图象关于对称 B．C．的最小正周期为4 D．对任意都有【答案】BCD【解析】为上的奇函数，则，.为偶函数，即关于轴对称，则.所以，则，故，则最小正周期为4；对A，，故图象不关于对称，A错；对B，，B对；对C，最小正周期为4，，的最小正周期为4，C对；对D，，D对；故选：BCD4．（2022·江苏省高邮中学高三开学考试）（多选）已知函数及其导数的定义域均为R，记．若为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】为偶函数，可得，所以关于直线对称，设，，所以选项A错误；为奇函数，，所以函数关于点对称.令得.故选项B正确；关于直线对称，所以所以，即所以，所以，故选项C正确；所以，所以，故选项D正确.故选：BCD5．（2022·湖北·应城市第一高级中学高三开学考试）（多选）已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（

）A． B．的周期为4C． D．【答案】AB【解析】的图像关于直线对称，的图像关于对称，又关于点中心对称，所以周期为4，所以正确而D错误；又，其中换得，再将换得，但无法得到所以正确C错误.故选：AB.6．（2022·全国·课时练习）（多选）定义在R上的偶函数满足，且在上是增函数，则（

）A．的图象关于直线对称 B．在上是增函数C．在上是减函数 D．【答案】AD【解析】因为，是偶函数，所以，即，所以函数的图象关于直线对称，故A正确；由偶函数在对称区间上的单调性相反，得在上是减函数，故B错误；因为函数的图象关于直线对称，且在上是减函数，所以在上是增函数，故C错误；由，可得，故D正确.故选：AD.7．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三开学考试（理））定义在R上的奇函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：①是周期函数；②的图象关于直线对称；③在上是减函数；④．其中正确命题的序号是_____．(写出所有正确命题的序号)【答案】①②③④【解析】因为，所以，所以，所以的周期为，即为周期函数，故①正确；因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以函