河南省郑州某中学高二上学期期中数学试卷(理科)-Word版含解析

2016-2017学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）A． B． C．或 D．或2．“x＞2或x＜0”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），则a6等于（）A．16 B．8 C． D．44．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x25．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．16．已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣27．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A． B．a2＞ab C． D．8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．10099．若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A．2﹣ B．2 C．4 D．410．若对于任意的x∈[﹣1，0]，关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立，则a2+b2﹣2的最小值为（）A． B． C． D．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，b（1﹣cosC）=ccosA，b=2，则△ABC的面积为（）A． B．2 C． D．或212．设．若f（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），且存在整数n，使得n＜α＜β＜n+1成立，则（）A． B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若a＞0，b＞0，a+2b=ab，则3a+b的最小值为．14．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则+=．15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，b=3，c=4，则=．16．已知数列an=3n，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，（Tn+）k≥3n﹣6恒成立，则实数k的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：x1，x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式x2+2x+a＜0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．18．在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足a1=b1=3，a2=b4，a3=b13．（1）求数列{an}的{bn}通项公式；（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．19．某人上午7时，乘摩托艇以匀速vkm/h（8≤v≤40）从A港出发到距100km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘坐汽车、摩托艇去目的地所需要的时间分别是xh，yh．（1）作图表示满足上述条件的x，y范围；（2）如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）（元），那么v，w分别是多少时p最小？此时需花费多少元？20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B﹣5cos（A+C）=2．（1）求角B的值；（2）若cosA=，△ABC的面积为10，求BC边上的中线长．21．“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使所用的新型材料总长度最短？最短长度是多少？22．设正项数列{an}的前n项和Sn，且满足2Sn=an2+an．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列bn=+，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2n+．

2016-2017学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，a=2，b=，∠A=，则∠B=（）A． B． C．或 D．或【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理和已知的两边和其中一边的对角求得sinB的值，进而求得B．【解答】解：由正弦定理可知=∴sinB=•b=×=∵b＜a∴B＜A∴B=故选B2．“x＞2或x＜0”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：由，解得x＜0或x＞1，此时不等式x＞2或x＜0不成立，即必要性不成立，若x＞2或x＜0，则x＜0或x＞2成立，即充分性成立，故“x＞2或x＜0”是“”的充分不必要条件，故选：B．3．已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），则a6等于（）A．16 B．8 C． D．4【考点】数列递推式．【分析】由题设知an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，且数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，故an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此能求出a6．【解答】解：∵正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an+12+an﹣12（n≥2），∴an+12﹣an2=an2﹣an﹣12，∴数列{an2}为等差数列，首项为1，公差d=a22﹣a12=3，∴an2=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴=16，∴a6=4，故选D．4．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2．故选：D．5．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最少的那份有（）个面包．A．4 B．3 C．2 D．1【考点】等差数列的通项公式．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则由条件求得a和d的值，可得最少的一份为a﹣2d的值．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0），则有（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=120，∴a=24．由a+a+d+a+2d=7（a﹣2d+a﹣d），得3a+3d=7（2a﹣3d）；∴24d=11a，∴d=11．∴最少的一份为a﹣2d=24﹣22=2，故选：C．6．已知数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2【考点】等比数列的前n项和．【分析】由Sn为等比数列{an}的前n项和，由前n项和公式求得a1和q的数量关系，然后再来解答问题．【解答】解：∵数列Sn为等比数列{an}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．7．设a，b是非零实数，若a＞b，则一定有（）A． B．a2＞ab C． D．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可得到答案．【解答】解：对于A：当a＞0＞b，不成立．对于B：当b＜a＜0时，不成立．对于C：∵a，b是非零实数，a＞b，当a＞0＞b，恒成立，当b＜a＜0时，ab＞0，则﹣ab＜0，0＞，∴，当0＜b＜a时，a2＞b2，ab＞0，＞0，∴．则C对．对于D：当a=1，b=﹣时不成立，故选C．8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2016＞0，S2017＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由于满足S2016=＞0，S2017=2017a1009＜0，可得：a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵满足S2016==＞0，S2017==2017a1009＜0，∴a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k=1009．故选：D．9．若实数x、y满足xy＞0，则+的最大值为（）A．2﹣ B．2 C．4 D．4【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】运用换元法，设x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得s，t同号．即有x=2s﹣t，y=t﹣s，则+=+=4﹣（+），再由基本不等式即可得到所求最大值．【解答】解：可令x+y=s，x+2y=t，由xy＞0，可得x，y同号，s，t同号．即有x=2s﹣t，y=t﹣s，则+=+=4﹣（+）≤4﹣2=4﹣2，当且仅当t2=2s2，取得等号，即有所求最大值为4﹣2．故选：C．10．若对于任意的x∈[﹣1，0]，关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立，则a2+b2﹣2的最小值为（）A． B． C． D．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的图象及性质，求出a，b的关系式，a2+b2看是圆的半径问题与区域图的最小值即可求解．【解答】解：对于任意的x∈[﹣1，0]，关于x的不等式3x2+2ax+b≤0恒成立，令f（x）=3x2+2ax+b，即f（x）≤0恒成立，满足：，解得：该不等式表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z=a2+b2﹣2，a2+b2=2+z；∴该方程表示以原点为圆心，半径为的圆；原点到直线﹣2a+b+3=0的距离等于最小的半径；∴该圆的半径；解得；∴a2+b2﹣2的最小值为．故选：A．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，b（1﹣cosC）=ccosA，b=2，则△ABC的面积为（）A． B．2 C． D．或2【考点】正弦定理．【分析】由已知等式利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理可得sinBcosC=sinAcosC，可得cosC=0，或sinB=sinA，分类讨论，分别利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵在△ABC中，b（1﹣cosC）=ccosA，可得：b=ccosA+bcosC，∴sinB=sinCcosA+sinBcosC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，可得：sinBcosC=sinAcosC，∴cosC=0，或sinB=sinA，∵A=，b=2，∴当cosC=0时，C=，a==2，S△ABC=ab==2，当sinB=sinA时，可得A=B=C=，a=b=c=2，S△ABC=absinC==．故选：D．12．设．若f（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），且存在整数n，使得n＜α＜β＜n+1成立，则（）A． B．C． D．【考点】基本不等式；二次函数的性质．【分析】由f（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），可得f（x）=x2+px+q=（x﹣α）（x﹣β），进而由min{f（n），f（n+1）}≤和基本不等式可得答案．【解答】解：∵f（x）=x2+px+q的图象经过两点（α，0），（β，0），∴f（x）=x2+px+q=（x﹣α）（x﹣β）∴f（n）=（n﹣α）（n﹣β），f（n+1）=（n+1﹣α）（n+1﹣β），∴min{f（n），f（n+1）}≤=≤==又由两个等号不能同时成立故故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若a＞0，b＞0，a+2b=ab，则3a+b的最小值为7+2．【考点】基本不等式．【分析】变形已知式子可得+=1，整体代入可得3a+b=（3a+b）（+）=7++，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+2b=ab，∴=1，即+=1，∴3a+b=（3a+b）（+）=7++≥7+2=7+2当且仅当=时取等号，结合=1可解得a=且b=+1，故答案为：7+2．14．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若=，则+=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和等差数列的性质以及求和公式可+==，代值计算可得．【解答】解：+=+=====，故答案为：15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=2，b=3，c=4，则=﹣1．【考点】余弦定理．【分析】由正弦定理先求得sinC=2sinA，由余弦定理cosC=﹣，代入所求即可求解．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得：sinA：sinB：sinC=2：3：4故有：sinC=2sinA由余弦定理：cosC===﹣，∴===﹣1．故答案为：﹣1．16．已知数列an=3n，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*，（Tn+）k≥3n﹣6恒成立，则实数k的取值范围．【考点】数列与不等式的综合．【分析】化简可得Tn==，从而可化得k≥=，从而判断数列{}的单调性即可求数列的最大值，从而解得．【解答】解：∵，∴Tn==，∴Tn+=，∵，∴k≥=，∵﹣=，∴数列{}前3项单调递增，从第3项起单调递减，∴当n=3时，数列{}有最大值，故．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：x1，x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，且不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立；命题q：不等式x2+2x+a＜0有解，若命题p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：x1，x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，可得△≥0．利用根与系数的关系|x1﹣x2|==．即可得出最小值．不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立，解得a范围；命题q：不等式x2+2x+a＜0有解，可得△＞0，解得a范围．由于命题p∨q为真，p∧q为假，可得p与q必然一真一假，即可得出．【解答】解：命题p：x1，x2是方程x2﹣mx﹣1=0的两个实根，∴△=m2+4≥0．x1+x2=m，x1x2=﹣1．∴|x1﹣x2|==．∵不等式a2+4a﹣3≤|x1﹣x2|对任意m∈R恒成立，∴a2+4a﹣3≤2，解得﹣5≤a≤1；命题q：不等式x2+2x+a＜0有解，∴△=4﹣4a＞0，解得a＜1．∵命题p∨q为真，p∧q为假，∴p与q必然一真一假，∴，或，解得a=1，或a＜﹣5．∴a的取值范围是a=1或a＜﹣5．18．在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足a1=b1=3，a2=b4，a3=b13．（1）求数列{an}的{bn}通项公式；（2）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）cn=（2n+1）•3n，利用“错位相减法”与等比数列求和公式即可得出．【解答】解：（1）由已知得：，即，解得（舍），∴d=2，．（2）cn=（2n+1）•3n，Sn=3×3+5×32+…+（2n+1）•3n，3Sn=3×32+5×33+…+（2n﹣1）•3n+（2n+1）•3n+1，∴﹣2Sn=3×3+2×（32+33+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1=2×+3﹣（2n+1）•3n+1，化为：Sn=n•3n+1．19．某人上午7时，乘摩托艇以匀速vkm/h（8≤v≤40）从A港出发到距100km的B港去，然后乘汽车以匀速wkm/h（30≤w≤100）自B港向距300km的C市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C市．设乘坐汽车、摩托艇去目的地所需要的时间分别是xh，yh．（1）作图表示满足上述条件的x，y范围；（2）如果已知所需的经费p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）（元），那么v，w分别是多少时p最小？此时需花费多少元？【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1）由路程，速度，时间的关系得出x，y与v，w的关系式，由v，w得范围即可得x，y的范围，再由到达时间范围即可得到不等式组，作图即可；（2）利用线性规划知识易求．【解答】解：（1）依题意得，∴①由于乘汽车、摩托艇所需的时间和x+y应在9至14个小时之间，即9≤x+y≤14②因此，满足①②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括边界）（2）∵p=100+3（5﹣x）+2（8﹣y）=131﹣3x﹣2y，上式表示斜率为的直线，当动直线p=131﹣3x﹣2y通过图中的阴影部分区域（包括边界），通过点A时，p值最小．由得，即当x=10，y=4时，p最小．此时，v=25，w=30，p的最小值为93元．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos2B﹣5cos（A+C）=2．（1）求角B的值；（2）若cosA=，△ABC的面积为10，求BC边上的中线长．【考点】正弦定理．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2cos2B+5cosB﹣3=0，进而解得cosB，结合B的范围即可得解B的值；（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求BC的值，再由三角形面积公式可求AB，BD的值，利用余弦定理即可得解AD的值．【解答】解：（1）∵cos2B﹣5cos（A+C）=2．∴2cos2B+5cosB﹣3=0，解得：cosB=或﹣3（舍去），又B∈（0，π），∴B=．（2）∵cosA=，∴可得：sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴=，设b=7x，c=5x，则在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，∴BC==8x，∵△ABC的面积为10=AB•BC•sinB=×5x×8x×，解得：x=1，∴AB=5，BC=8，AC=7，BD=4，∴在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB=25+16﹣2×5×4×=21，∴解得：AD=．21．“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济法阵和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC