立体几何练习题及答案

数学立体几何练习题选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．如图，在正方体－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B的点，A1M＝＝\f(\r(2)a,3)，则与平面1C1C的位置关系是(A．相交B．平行C．垂直D．不能确定2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E是中点，则的大小为（） A. B. C. D.3．，，是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是60º，则直线与平面所成的角的余弦值为（） A． B。 C。 D。4．正方体—A1B1C1D1中，E、F分别是1与1的中点，则直线与D1F所成角的A． B。 C。 D。5． 在棱长为2的正方体中，O是底面的中心，E、F分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于（） A． B． C． D．6．在正三棱柱1B1C1中，若2，AA1=1，则点A到平面A1 A． B． C． D．7．在正三棱柱1B1C1中，若\R(2)1,则1与C1B所成的角的大小为 （）º B.90º º D.75º8．设E，F是正方体1的棱和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1A．0 B．2 C．4 D．6填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．ABMDC9.在正方体－A1B1C1D1中，M、NABMDC〈，〉的值为.10．如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面的距离是.11．正四棱锥的所有棱长都相等，E为中点，则直线与截面所成的角为．12．已知正三棱柱1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线与平面B1所成角的正弦值为13．已知边长为的正三角形中，E、F分别为和的中点，⊥面，且2，设平面过且与平行，则与平面间的距离为．14．棱长都为2的直平行六面体—A1B1C1D1中，∠60°，则对角线A1C与侧面1D1所成角的余解答题:本大题共6小题，共80分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.xyzB1C1A1CBAMN15．如图，直三棱柱，底面xyzB1C1A1CBAMN(1)求的长；(2)求的值；(3)求证：．16．如图，三棱锥P—中，平面，2，，D是上一点，且平面． (1)求证：平面； (2=2\*)求异面直线与所成角的大小； (3)求二面角的大小的余弦值．QPDCQPDCBA（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；（2）问当实数a在什么范围时，边上能存在点Q，使得⊥（3）当边上有且仅有一个点Q使得⊥时，求二面角的余弦值大小．18.如图，在底面是棱形的四棱锥中，，点E在上，且:＝2:1．CDBAPECDBAPE(2)求以为棱，与为面的二面角的大小；(3)在棱上是否存在一点F，使∥平面证明你的结论．19.如图四棱锥P—中，底面是平行四边形，⊥平面，垂足为G，G在上，且＝4，，⊥，＝＝2，E是的中点． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求点D到平面的距离；PAGBCDPAGBCDFE20.已知四棱锥S－的底面是正方形，⊥底面，E是上的任意一点．(1)求证：平面⊥平面；(2)设＝4，＝2，求点A到平面的距离；(3)当\f()的值为多少时，二面角B－－D的大小为120°理科立体几何训练题（B）答案选择题题号12345678答案BDDADBBC填空题9.\f(4\r(5),9)10．\f(2,3)11.45°12．13．14三、解答题15解析：以C为原点建立空间直角坐标系.xyzBxyzB1C1A1CBAMN(2)依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）..(3)证明：依题意得C1（0，0，2），N.16．解析：(1)∵⊥平面,平面，∴.∵平面，平面， ∴．又，∴平面．(2由(=1\*I)平面，∵2，又∵，可求得\R(2)．以B为原点，如图建立坐标系．则Ａ（０\R(2),０），Ｂ（0,0,0），C（\R(2),０,0），P（\R(2),０,2）．=(\R(2),－\R(2),2)，=(\R(2),0,0)．则\R(2)×\R(2)+0+0=2．．∴异面直线与所成的角为．（3）设平面的法向量为(x，y，z)．=(0,－\R(2),0)(\R(2),－\R(2),2)，则即解得令-1,得(，0，-1)．由平面易知：平面平面，取的中点E，连接，则为平面的一个法向量，，故平面的法向量也可取为(1，1，0)．=.∴二面角的大小的余弦值为．zzQPDCBAyxMN17．解析：（1）以A为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．∵1，，∴P（0，0，1），B（1，0，0），D（0，a，0）．（2）设点Q（1，x，0），则．由，得x21=0．显然当该方程有非负实数解时，边上才存在点Q，使得⊥，故只须⊿2-4≥0．因a>0，故a的取值范围为a≥2．（3）易见，当2时，上仅有一点满足题意，此时1，即Q为的中点． 取的中点M，过M作⊥，垂足为N，连结、．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．∵D、N、P三点共线，∴．又，且，故．于是．故．∵，∴．（资料来源：168）∴∠为所求二面角的平面角．∵，注：该题还有很多方法解决各个小问，以上方法并非最简.18解析：（1）传统方法易得证明（略）（2）传统方法或向量法均易解得；（3）解以A为坐标原点，直线分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图）．由题设条件，相关各点的坐标为所以，，，设点F是棱上的点，，其中，则．令得解得，即时，．亦即，F是的中点时，共面，又平面，所以当F是的中点时，∥平面．19解析：(1)以G点为原点，为x轴、y轴、PAGBCDFPAGBCDFEP(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，2，4)。，∴与所成的余弦值为．(2)平面的单位法向量n＝(0，±1，0)∵，∴点D到平面的距离为n|＝.(3)设F(0，y，z)，则。∵，∴，（资料来源：168）即，∴,又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)，∴1，故F(0，，1)，，∴。20解析：(1)∵⊥平面，⊂平面，∴⊥，∵四边形是正方形，∴⊥，∴⊥平面，∵⊂平面，∴平面⊥平面.(2)设∩＝F，连结，则⊥，∵＝2，＝4，∴＝2\r(2)，＝\r(2＋2)＝\r(42＋(\r(2))2)＝3\r(2)，∴S△＝\f(1,2)·＝\f(1,2)·2\r(2)·3\r(2)＝6，设点A到平面的距离为h，∵⊥平面，∴\f(1,3)·S△·h＝\f(1,3)·S△·，∴6·h＝\f(1,2)·2·2·4，∴h＝\f(4,3)，即点A到平面的距离为\f(4,3).(3)设＝a，以A为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，为计算方便，不妨设＝1，则C(1,1,0)，S(0,0，a)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，∴＝(1,1，－a)，＝(1,0，－a)，＝(0,1，－a)，再设平面、平面的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2