初中数学：弧长及扇形的面积练习题

初中数学：弧长及扇形的面积练习题一、选择题1．如图K－29－1，等边三角形ABC的边长为4，D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，分别以A，B，C三点为圆心，以AD长为半径作三条圆弧，则图中三条圆弧的弧长之和是()图K－29－1A．πB．2πC．4πD．6π2.如图K－29－2，AD是半圆O的直径，AD＝12，B，C是半圆O上两点．若eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，则图中阴影部分的面积是()图K－29－2A．6πB．12πC．18πD．24π二、填空题3．如图K－29－3，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC＝4，以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交BC于点D，则eq\o(AD,\s\up8(︵))的长为________．(结果保留π)图K－29－34．如图K－29－4，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分的面积是________．(结果保留π)图K－29－45．如图K－29－5，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫正三角形的渐开线，其中eq\o(CD,\s\up8(︵))，eq\o(DE,\s\up8(︵))，eq\o(EF,\s\up8(︵))的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是________．图K－29－56．如图K－29－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2eq\r(3)，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与AB边交于点D，将eq\o(BD,\s\up8(︵))绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为________．图K－29－6三、解答题7．如图K－29－7，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝6.将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在扇形上的点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．图K－29－78．如图K－29－8，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，连接CA，CB，过点O作弦BC的垂线，交eq\o(BC,\s\up8(︵))于点D，连接AD.(1)求证：∠CAD＝∠BAD；(2)若⊙O的半径为1，∠B＝50°，求eq\o(AC,\s\up8(︵))的长．图K－29－89．如图K－29－9，在△ABC中，∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝4，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB于点D，交AC于点E.(1)求BD的长；(2)求阴影部分的面积．图K－29－910．如图K－29－10，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数；(3)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).图K－29－1011．如图K－29－11，把Rt△ABC的斜边AB放在直线l上，按顺时针方向将△ABC在l上转动两次，使它转到△A″B″C″的位置，设BC＝1，AC＝eq\r(3)，则顶点A运动到点A″的位置时，(1)求点A所经过的路线长；(2)点A所经过的路线与l围成的图形的面积是多少？图K－29－11研究型在学习扇形的面积公式时，同学们推得S扇形＝eq\f(nπR2,360)，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l＝eq\f(nπR,180)，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形＝eq\f(1,2)lR.接着老师让同学们解决两个问题：问题Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图K－29－12中的阴影部分，已知弧AB和弧CD所在圆的圆心都是点O，弧AB的长为l1，弧CD的长为l2，AC＝BD＝d，求花坛的面积．(1)请你解答问题Ⅰ.(2)在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有名同学发现扇形面积公式S扇形＝eq\f(1,2)lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S＝eq\f(1,2)(l1＋l2)d.他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．图K－29－12

详解详析【课时作业】[课堂达标]1．[解析]B依题意知：图中三条圆弧的弧长之和＝eq\f(60π×\f(1,2)×4,180)×3＝2π.故选B.2．[解析]A∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，∴阴影部分的面积＝eq\f(60π×62,360)＝6π.故选A.3．[答案]eq\f(8π,9)[解析]∵在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－100°)＝40°.∵AB＝4，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))的长为eq\f(40π×4,180)＝eq\f(8π,9).4．[答案]2π5．[答案]4π[解析]eq\o(CD,\s\up8(︵))的长是eq\f(120π×1,180)＝eq\f(2π,3)，eq\o(DE,\s\up8(︵))的长是eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3)，eq\o(EF,\s\up8(︵))的长是eq\f(120π×3,180)＝2π，则曲线CDEF的长是eq\f(2π,3)＋eq\f(4π,3)＋2π＝4π.故答案为4π.6．[答案]2eq\r(3)－eq\f(2π,3)[解析]依题意，有AD＝BD.又∠ACB＝90°，所以CB＝CD＝BD，即△BCD为等边三角形，∴∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°.由AC＝2eq\r(3)，求得BC＝2，AB＝4，S弓形BD＝S扇形BCD－S△BCD＝eq\f(60π×22,360)－eq\r(3)＝eq\f(2,3)π－eq\r(3)，故阴影部分的面积为S△ACD－S弓形AD＝eq\r(3)－(eq\f(2π,3)－eq\r(3))＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).7．解：如图，连接OD.根据折叠的性质，得CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，∴OB＝OD＝BD，即△OBD是等边三角形，∴∠DBO＝60°，∴∠CBO＝eq\f(1,2)∠DBO＝30°.∵∠AOB＝90°，∴OC＝OB·tan∠CBO＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)，∴S△BDC＝S△OBC＝eq\f(1,2)·OB·OC＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)＝6eq\r(3).∵S扇形OAB＝eq\f(90,360)π×62＝9π，leq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(90,180)π×6＝3π，∴整个阴影部分的周长为AC＋CD＋BD＋leq\o(AB,\s\up8(︵))＝AC＋OC＋OB＋leq\o(AB,\s\up8(︵))＝OA＋OB＋leq\o(AB,\s\up8(︵))＝6＋6＋3π＝12＋3π，整个阴影部分的面积为S扇形OAB－S△BDC－S△OBC＝9π－6eq\r(3)－6eq\r(3)＝9π－12eq\r(3).8．解：(1)证明：∵点O是圆心，OD⊥BC，∴eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠CAD＝∠BAD.(2)连接CO，∵∠B＝50°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠B＝50°，∴∠AOC＝100°，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))的长为eq\f(100π×1,180)＝eq\f(5π,9).9．解：(1)如图，过点C作CH⊥AB于点H.在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°.在Rt△BCH中，∵∠CHB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，∴CH＝eq\f(1,2)BC＝2，BH＝eq\r(3)CH＝2eq\r(3).∵CH⊥BD，∴DH＝BH，∴BD＝2BH＝4eq\r(3).(2)连接CD.∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠B＝30°，∴∠BCD＝120°，∴阴影部分的面积＝扇形CBD的面积－△CBD的面积＝eq\f(120π×42,360)－eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2＝eq\f(16,3)π－4eq\r(3).10．解：(1)连接OD，OC，∵C，D是半圆O上的三等分点，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°－30°＝60°.(2)由(1)知∠AOD＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形．∵AB＝4，∴OA＝AD＝2.∵DE⊥AO，∴DE＝eq\r(3)，∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝eq\f(60·π×22,360)－eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(2,3)π－eq\r(3).11．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝eq\r(3)，∴AB＝2，∴cos∠ABC＝eq\f(1,2)，∴∠ABC＝60°，则∠ABA′＝120°，∠A′C″A″＝90°，∴leq\o(AA′,\s\up8(︵))＝eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3)，leq\o(A′A″,\s\up8(︵))＝eq\f(90π×\r(3),180)＝eq\f(\r(3),2)π，∴点A所经过的路线长为eq\f(4π,3)＋eq\f(\r(3),2)π.(2)S扇形BAA′＝eq\f(1,2)leq\o(AA′,\s\up8(︵))·AB＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×2＝eq\f(4π,3)，S扇形C″A′A″＝eq\f(1,2)leq\o(A′A″,\s\up8(︵))·C″A′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3)π,2)×eq\r(3)＝eq\f(3,4)π，S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴点A所经过的路线与l围成的图形的面积是eq\f(4,3)π＋eq\f(3,4)π＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(25,12)π＋eq\f(\r(3),2).[素养提升][解析]根据扇形面积公式、弧长公式之间的关系，结合已知条件推出结果．解：(1)根据弧长公式l＝eq\f(nπR,180)，弧长为4π，圆心角为120°，可得R＝6，∴S扇形＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π.(2)他的猜想正确．设大扇形的半径为R，小扇形的半径为r，圆心角的度数为n°，则由l＝eq\f(nπR,180)，得R＝eq\f(180l1,nπ)，r＝eq\f(180l2,nπ)，∴花坛的面积为eq\f(1,2)l1R－eq\f(1,2)l2r＝eq\f(1,