中学物理学中的数学问题（下）

)由牛顿第二定律，得 式中是阻力系数.以m遍除各项，得 令 ω0为振动系统的固有圆频率，β为阻尼系数，和振动系统的性质以及介质的性质有关.于是，方程可写为 为二阶常系数齐次微分方程，通解为 为了与高中教材吻合，此处只讨论阻力很小的欠阻尼状态的阻尼振动，即β＜ω0，由上式可求出弹簧振子中质点的运动学方程为，其中 A和为待定常数，由初始条件决定.此式中包含两个因子，Ae－βt表示随时间衰减的振幅，表示振动以 为圆频率做周期性变化，二因子相乘表示质点做运动范围逐渐减小的往复运动——阻尼振动.由于质点的运动状态不可能每经过一定时间便完全重复出现，因此阻尼振动不是周期性运动.不过， 是周期变化的，它保证了质点每连续两次通过平衡位置并沿相同方向运动的时间间隔是相同的，于是把的周期叫做阻尼振动的周期，并用T′表示，则有显然，阻尼振动的周期大于同样振动系统的简谐运动的周期（固有周期）对应的频率则小于其固有频率. 例2质量为的质点以初速度从地面竖直上抛,设空气阻力为,为常数,试求(a)(b)(a)(b)(c)解①求物体上升的最大高度.选取坐标系如上图（a）所示,取开始上抛时,这时,上升到最高位置时有,在该过程中受力分析如上图(b)所示,其运动方程为(1)注意到(2)所以(3)对(3)式两边积分,注意到所以有(4)由(4)得到(5)结果讨论：在、不变的情况下，的大小将会影响,如当很小时,有，则.这正是不计阻力时物体以竖直上抛所能达到的最大高度.这一结果还可从另一角度来讨论,即把看作是的函数,即当时,此式为型不定式（当型不定式）,所以由罗必达法则,有，当时，，表示物体不能上升.求返回原地时的速度物体在下落时所受阻力与重力方向相反,所以运动方程为（6）仍用（2）式将（6）式表示为（7）将（7）式两边同时积分,上、下限选取:时,物体在最高点,这时有,返回地面时,,所以（8）积分结果为（9）将(5)式代人（9）式并整理有（10）（10）式中的负号仅表示与方向相反.(当时,则有,当非常大时有),③求开始上升到返回地面所用的总时间先求上升过程所用的时间.将（1）式改写为(11)对(11)式两边积分,确定上下限时注意到当时,当,即（12）由（12）式得(13)在计算下降时间时,为避免混淆,轴正向应向下,原点取在原处,如上图(c)所示,运动方程为(14)即(15)对(15)式两边积分，注意到当时，，所以有.（16）由（16）式解得（17）因此求得总时间为（18）当时（18）式中两项都为型不定式，不难用罗比达法则求出，这正是不计阻力时竖直上抛物体从上抛到返回原地时所用的时间.例3建立如图所示的坐标系，真空中有两个点电荷，电量分别为，位置坐标分别为，则由为库仑定律和电场强度的定义式可求得空间。任意一点的电场强度的两个分量分别为：式中，将上式整理后得：根据电场线的斜率为电场强度的方向，所以电场线应满足以下微分方程：，即代入电场强度的两个分量后，整理得对上式进一步整理后令，换元后得将上式两边积分后可求得通解为即电场线簇的方程为其中，式中每个值对应两条电场线[1][2]只知道这个方程还不能画出电场线的轨迹，因为对于某一常数的方程，要解出与的关系得解一个一元四次方程。但我们可以求出关于与的参数方程，具体过程如下：设，则有联立以上两个方程可求得，式中当时，电场线为等量异种电荷产生的电场线当且时，电场线为不等量异种电荷产生的电场线若两电荷是同种电荷，则电场线簇方程为，式中当时，电场线为等量同种电荷产生的电场线当且时，电场线为不等量同种电荷产生的电场线等势线的轨迹方程建立如图所示的平面直角坐标系，则任意一点的电势为仅通过以上式子很难画出等势线的轨迹，因为要知道某一个等势面的轨迹方程，得求一个一元四次的方程，但可以利用参数方程得到等势面的轨迹，过程如下：令，式中为某一等势面的电势且，则有，联立以上两式求解得当时，等势面为等量异种电荷产生的等势面当且时，等势面为不等量异种电荷产生的等势面若两电荷为同种电荷，则令，式中为某一等势面的电势且，则有联立以上两式求解得当时，等势面为等量同种电荷产生的等势面当且时，等势面为不等量同种电荷产生的等势面带电粒子仅受电场力做匀速圆周运动的可能性研究在双电荷的电场中，一般我们认为只在等量同种电荷的中垂面上，某一带电粒子以一定的速率和适当的电量在适当的位置以垂直中垂线方向的速度方向射入电场，才能做匀速圆周运动，但实际上是这样的吗？对于这个问题可简化为带电粒子在双电荷的电场中受到的电场力的合力方向总垂直指向两电荷的连线，即电场中时，电粒子就可以做匀速圆周运动[3]，则有将上式化简求得通过以上分析，在静电场中电场线与等势面的研究，可以利用参数方程来分析，得出其轨迹方程，最后用电脑模拟出其轨迹，这样可以让抽象的电场线与等势面形象化，同时也证明了一个问题：物理问题到了最后就是一个数学问题。“我尝终日之所思，不如须臾之所学也！”对于中学物理中的一些习题，经常尝试从直觉上解答，不如尝试利用高等数学中的知识去解决它！伽利略曾经讲过:考虑到这些，我开始相信：那些抛弃从吃奶时就被灌输的并为大多数人所信仰的见解，转而接受一种被所有学派排斥的并只有少数人相信的见解的人，他们即使不是被迫承认，也必然是被有力的论据所打动.我考虑更重要的是，一门广博精深的科学已经启蒙，我在这方面的工作只是它的开始，那些比我更敏锐的人所用的方法和手段将会探索到各个遥远的角落.如果不理解它的语言，没有人能够读懂宇宙这本伟大的书，它的语言就是数学.伽利略在他的力学研究中成功地运用了数学方法，是他第一个用数学方法来分析时间和空间的定量关系，用数学关系精确地表述和定义了时间、位置、速度、加速度、匀速运动、匀变速运动等概念，并赋予自由落体、摆、斜