高中数学专题讲解排列组合及二项式定理

高中数学专题讲解排列组合及二项式定理高中数学专题讲解排列组合及二项式定理高中数学专题讲解排列组合及二项式定理排列组合及二项式定理【基本知识点】1．二项式系数的性质：(ab)n张开式的二项式系数是Cn0，Cn1，Cn2，，Cnn．Cnr能够看作以r为自变量的函数f(r)，定义域是{0,1,2,L,n}，（1）对称性．与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等（∵CnmCnnm）．（2）增减性与最大值：nn1n1当n是偶数时，中间一项Cn2获取最大值；当n是奇数时，中间两项Cn2，Cn2获取最大值．（3）各二项式系数和：∵(1x)n1Cn1xLCnrxrLxn，令x1，则2nCn0Cn1Cn2LCnrLCnn【常有考点】一、可重复的排列求幂法：重复排列问题要划分两类元素：一类能够重复，另一类不能够重复，把不能够重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则经过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店办理的策略中，重点是在正确判断哪个底数，哪个是指数。（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同样的报名方法？（2）有4名学生参加强抢数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同样的结果？（3）将3封不同样的信投入4个不同样的邮筒，则有多少种不同样投法？【剖析】：（1）34（2）43（3）43二．相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，看作一个大元素参加排列.（）A,B,C,D,E五人并排站成一排，若是A,B必定相邻且B在A的右边，那么不同样的排法4种数有【剖析】：把A,B视为一人，且B固定在A的右边，则此题相当于4人的全排列，A4424种（5）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两头，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同样排法的种数是（）【剖析】：间接法6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有，C32A22A24A22=432种其中男生甲站两头的有A12C32A22A23A22=144，符合条件的排法故共有288三．相离问题插空法：元素相离（即不相邻）问题，可先把无地点要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两头.（6）七人并排站成一行，若是甲乙两个必定不相邻，那么不同样的排法种数是【剖析】：除甲乙外，其余5个排列数为A55种，再用甲乙去插6个空位有A62种，不同样的排法种数是A55A623600种（7）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的次序，有种不同样的插法（详细数字作答）【剖析】：A17A18A19=504（8）马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能够关掉相邻的二盏或三盏，也不能够关掉两头的两盏，求知足条件的关灯方案有多少种？【剖析】：把此问题看作一个排对模型，在6盏亮灯的5个缝隙中插入3盏不亮的灯C53种方法,因此知足条件的关灯方案有10种.四．元素剖析法（地点剖析法）：某个或几个元素要排在指定地点，可先排这个或几个元素；再排其余的元素。（9）2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同样工作，若其中小张和小赵只能从预先两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同样的选派方案共有（）各种各种【剖析】：方法一：从后两项工作出发，采用地点剖析法。A32A3336方法二：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C1C1A324；若小张、小赵都入选，则有223选法A22A3212，共有选法36种，选A.（10）1名老师和4名获奖同学排成一排照相纪念，若老师不站两头则有不同样的排法有多少种？【剖析】：老师在中间三个地点上选一个有

A31种，4名同学在其余

4个地点上有

A44种方法；因此共有

A31A44

72种。.五．多排问题单排法：把元素排成几排的问题可概括为一排考虑，再分段办理。（

11）6个不同样的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同样的排法种数是（）A、36种B、120种C、720种D、1440种（12）把15人分红前后三排，每排5人，不同样的排法种数为（A）A5A5（）A5A5A5A3（）A15（）A5A5A5A31510B151053C15D151053（13）8个不同样的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同样排法？【剖析】：（1）前后两排可看作一排的两段，因此此题可看作6个不同样的元素排成一排，共A66720种，选C.（2）答案：C（3）看作一排，某2个元素在前半段四个地点中选排2个，有A42种，某1个元素排在后半段的四个地点中选一个有A1种，其余5个元素任排5个地点上有A5种，故共有A41A42A55576045种排法.六．定序问题缩倍法（等几率法）：在排列问题中限制某几个元素必定保持必然的次序，可用减小倍数的方法.（14）A,B,C,D,E五人并排站成一排，若是B必定站在A的右边（A,B能够不相邻）那么不同样的排法种数是（）【剖析】：B在A的右边与B在A的左边排法数同样，因此题设的排法可是5个元素全排列数的一半，即152A560种（15）书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的次序，有多少种不同样的插法？【剖析】：法一：A93法二：16A99A6七．标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样连续下去，依次即可达成.（16）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有（）A、6种B、9种C、11种D、23种【剖析】：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其余三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B.（17）编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是（）A10种B20种C30种D60种答案：B八．不同样元素的分派问题（先分堆再分派）：注意平均分堆的算法（18）有6本不同样的书按以下分派方式分派，问共有多少种不同样的分派方式？分红1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人（3）分红每组都是2本的三个组；

1本，一个人

2本，一个人

3本；（4）分给甲、乙、丙三人，每一个人2本；（5）分给5人每人最少1本。【剖析】：（1）C1C2C3（）C1C2C3A3（）C62C42C22（4）C2C2C2（）C52C15C14C13C12C11565326533364255A33A44（19）四个不同样球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？【剖析】：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有C42种，再排：在四个盒中每次排3个有A43种，故共有C42A43144种.九．同样元素的分派问题隔板法：（20）把20个同样的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数很多于其编号数，则有多少种不同样的放法？【剖析】：向1，2，3号三个盒子中分别放入0，1，2个球后还余下17个球，尔后再把这17个球分红3份，每份最少一球，运用隔板法，共有C162120种。（）10个三好学生名额21分到7个班级，每个班级最少一个名额，有多少种不同样分派方案？【剖析】：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看作10个同样的小球分红7堆，每堆最少一个，能够在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分派方案，故共有不同样的分派方案为C9684种.十．排数问题（注意数字“0”）（22）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210种B、300种C、464种D、600种【剖析】?：按题意，个位数字只可能是0，1，2，3，4共5种情况，分别有A55个，A14A31A33,A13A31A33,A12A13A33,A13A33个，归并总计300个,选B.十一．染色问题：涂色问题的常用方法有：（1）可依照共用了多少种颜色分类讨论;（2）依照相对地区可否同色分类讨论;（3）将空间问题平面化，转变成平面地区涂色问题。（23）将一个四棱锥SABCD的每个极点染上一种颜色，并使同一条棱的两头点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同样的染色方法的总数是_______.【剖析一】知足题设条件的染色最少要用三种颜色。(1)若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染极点

S，再从余下的四种颜色中任选两种涂

A、B、C、D四点，此时只能

A与

C、B与D分别同色，故有

C51A42

60种方法。(2)若恰用四种颜色染色，能够先从五种颜色中任选一种颜色染极点

S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色能够互换，故有A42种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对极点同色即可，故有C51A42C21C12240种方法。若恰用五种颜色染色，有A55120种染色法综上所知，知足题意的染色方法数为60+240+120=420种。【答案】420.十二．几何中的排列组合问题:（24）已知直线xy1（，b是非零常数）与圆x2y2100有公共点，且公共点的横坐aba标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有条【剖析】：?圆上的整点有：(6,8),(8,6),(10,0),(010)12个C122=66其中对于原点对称的有4条不满则条件切线有C121=12，其中平行于坐标轴的有14条不满则条件66-4+12-14=60答案:60【练习】1、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同样选法共有（A）12种（B）24种（C）30种（D）36种【剖析】分两类：取出的

1本画册，3本集邮册，此时赠予方法有

C41

4种；取出的

2本画册，2本集邮册，此时赠予方法有

C42

6种。总的赠予方法有

10种。【答案】

B2、正五棱柱中，不同样在任何侧面且不同样在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20

B．15

C．12

D．10【剖析】先从

5个侧面中随意选一个侧面有

C15种选法，再从这个侧面的

4个极点中随意选一个极点有C41种选法，由于不同样在任何侧面且不同样在任何底面的两极点的连线称为它的对角线，因此除掉这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有C21种方法，可是在这样办理的过程中恰好每一条对角线重复了一次，因此最后还要乘以1,因此这个正五棱柱对角线的条数共有C51?C41?C21?120,因此选择22A.3、(4x2x)6(xR)的张开式中的常数项是A）20（B）15（C）15（D）20【答案】C【剖析】：Tr1(1)rC6r(4x)6r(2x)r(1)rC6r2x(123r)令x(123r)0r4，于是张开式中的常数项是(1)4C6415应选C4、已知(xcos1)5的张开式中x2的系数与(x5)4的张开式中x3的系数相等，则cos．4【答案】2解：(x5)4的通项为C4rx4r(5)r，4r3,r1，244∴(x5)4的张开式中x3的系数是C4155,44(xcos1)5的通项为C5R(xcos)5R，5R2,R3，∴(xcos1)5的张开式中x2的系数是C53cos25,∴cos21，cos2.225、已知(126（k是正整数）的张开式中，8，则k．kx)x的系数小于120【剖析】(1kx2)6按二项式定理张开的通项为Tr1C6r(kx2)rC6rkrx2r，我们知道x8的系数为C64k415k4，即15k4120，也即k48，而k是正整数，故k只能取1。6、若C1n3Cn232Cn3L3n2Cnn13n185，则n的值为．答案47、已知(12x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a12a23a34a4=-8．8、对随意的实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a2的值是（B）A．3B．6C．9D．219、设a1,a2,,an是1,2,,n的一个排列，把排在ai的左边且比ai小的数的个数称为ai的．．．次序数（i1,2,,n）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的次序数为1，3的次序数为0．则在

1至

8这八个数字组成的全排列中，同时知足

8的次序数为

2，7的次序数为

3，5的次序数为

3的不同样排列的种数为

(C)A．48B．96C．144D．19210、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有个个个个【答案】C11、现有4种不同样颜色要对以以下列图的四个部分进行着色，要求有公共界线的两块不能够用同一种颜色，则不同样的着色方法共有A．24种B．30种C．36种D．48种【答案】D12、若是一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面组成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个极点确定的直线与含有四个极点的平面组成的“正交线面对”的个数是（）A．24B．30C．36D．42【答案】C从8名女生4名男生中，选出3名学生组成课外小组，若是按性别比率分层抽样，则不同样的抽取方法数为;【答案】11214、现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能够相邻的排法有（）种.（A）A63A55???（B）A88A66A33??（C）A53