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文档简介

金融数学教研室线性代数2.3线性方程组与初等变换方程组的同解变换（高斯消元法）引例同解变换其基本思想是通过消元变形，把方程组化成容易求解的同解方程组。方程组的同解变换与增广矩阵的关系克拉默法则①②①②②-2①

③-3①

②+2①

③+3①

③×(1/3)③×3①-

②

①-

③

①+②

①+③

方程组的同解变换与增广矩阵的关系定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:一、矩阵的初等变换

定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．

用高斯消元法解线性方程组的过程实质上相当于对其增广矩阵施行初等行变换！1、在进行线性方程组的求解中，只能对增广矩阵进行初等行变换，换言之，只有初等行变换才能保证方程组的同解性。2、初等变换后的矩阵跟原矩阵相等吗？注意:矩阵的等价关系

如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B

就称矩阵A与B等价记作A~B

特点：（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；（2）每个台阶高度只跨一行;定义3行阶梯形矩阵（3）阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元.下列矩阵是行阶梯形矩阵吗？不是是不是是行最简阶梯形矩阵特点：1、首先应是行阶梯形矩阵；2、非零行的第一个非零元1；3、这些第一个非零元“1”所在的列的其它元素都为零。备注：行阶梯形是不唯一，但行最简形是唯一的。是不是是下列矩阵是行最简阶梯形矩阵吗？定理2.3任意一个矩阵

A

经过有限次初等变换，的矩阵，称之为A的标准形.

总可以化为形如

方法：首先利用初等行变换化A为行阶梯形，进而化为行最简形，最后利用初等列变换化标准形。例例解线性方程组(1)解把增广矩阵化行阶梯形，进而化行最简形行阶梯形矩阵

行最简形矩阵

x1=-1,x2=-1,x3=-1定义2.4由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.二、初等矩阵要解决的问题：1。初等矩阵有什么性质？2。初等矩阵与初等变换有什么关系？1、初等矩阵有什么性质？（1）初等矩阵的转置仍为初等矩阵。（2）初等矩阵都是可逆矩阵，且逆矩阵还是初等矩阵。2、初等矩阵与初等变换有什么关系？由以上讨论可得：定理2.3设A是m×n矩阵，则（1）对A施行一次初等行变换所得到的矩阵，等于用同种m阶初等矩阵左乘A。（2）对A施行一次初等列变换所得到的矩阵，等于用同种n阶初等矩阵右乘A。:对换的

两行；

:对换的

两列．

：用非零数

乘

的第

行；

：用非零数乘

的第

列．

：的第

行乘以

加到第

行

;

：的第

列乘以

加到第

列．

总结：由前面知识可知：用初等变换标准形推论2.3证明由于初等矩阵均可逆,则从而r=n,证明:三、利用初等行变换求矩阵的逆

解例１解例2设矩阵A和B满足关系式：

其中

求矩阵X.思考题

小结

1、初等变换：初等行变换和初等列变换

2、矩阵的三种形式

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