第2章时域离散信号和系统的频域分析

第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1引言2.2序列的傅里叶变换的定义及性质2.3周期序列的离散傅里叶级数及傅里叶变换表示式2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟

信号傅里叶变换之间的关系2.5序列的Z变换2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性

信号和系统的分析方法：时域分析方法和频域分析方法。

在模拟领域中，信号用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频率域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。频域分析是用Z变换或傅里叶变换数学工具。2.1引言信号、系统分析信号在时间分布上的特性和运算：直观，物理概念会比较的清楚。分析信号在频率分布上的特性和运算：这给了我们换个视角观察信号的机会，我们会发现许多在时间域上得不到的特性和运算。时间域频率域FT、ZTIFT、IZT一、序列分类对一个序列长度未加以任何限制，则一个序列可分为：

无限长序列：n=-∞~∞或n=0~∞或n=-∞~

0

有限长序列：0≤n≤N-1有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列。由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。二、DFT的引入

由于有限长序列(序列绝对可和)，引入DFT

(离散傅里叶变换)。

DFT它是反映了“有限长”这一特点的一种有用工具。

DFT变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示，在理论上重要之外，而且由于存在着计算机DFT的有效快速算法--FFT,

因而使离散傅里叶变换(DFT)得以实现，它使DFT在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。三、四种不同傅里叶变换对傅里叶级数(FS):

连续时间,离散频率的傅里叶变换。连续傅里叶变换(FT):

连续时间,连续频率的傅里叶变换。离散时间傅里叶变换(DTFT):离散时间,连续频率的傅里叶变换.离散傅里叶变换(DFT):

离散时间,离散频率的傅里叶变换1.傅里叶级数(FS)周期连续时间信号非周期离散频谱密度函数。周期为Tp的周期性连续时间函数x(t)可展成傅里叶级数X(jkW0),是离散非周期性频谱,表示为:FS例子通过以下变换对可以看出时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数,而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应.(频域采样，时域周期延拓)2.连续傅里叶变换(FT)非周期连续时间信号通过连续傅里叶变换

(FT)得到非周期连续频谱密度函数。例子从以下变换对可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱,而是时域的非周期造成频域是连续的谱.3.离散时间傅里叶变换(DTFT)非周期离散的时间信号DTFT(经过单位圆上的z变换)得到周期性连续的频率函数。例子同样可看出,时域的离散造成频域的周期延拓

,而时域的非周期对应于频域的连续

.4.离散傅里叶变换(DFT)

上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算,因为至少在一个域(时域或频域)中,函数是连续的

.因为从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换.周期性离散时间信号从上可以推断：

周期性时间信号可以产生频谱是离散的离散时间信号可以产生频谱是周期性的。得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。DFT的变换

总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓二、四种傅里叶变换形式的归纳时域频谱周期离散非周期连续连续非周期离散周期时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期（T0）非周期和离散(Ω0=2π/T0)离散（T）和非周期周期(ΩS=2π/T)和连续离散和周期周期和离散2.2序列的傅里叶变换的定义及性质

2.2.1序列傅里叶变换的定义

定义(2.2.1)为序列x(n)的傅里叶变换，用DTFT表示（有时也称FT）。

DTFT成立的充分必要条件是序列x(n)绝对可和，即满足下式：(2.2.2)

DTFT反变换定义为：(2.2.4)(2.2.1)和(2.2.4)式组成一对傅里叶变换公式。一些绝对不可和的序列（如周期序列，不满足绝对可和），其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来,即周期序列的傅里叶变换。（2.3节介绍）

【例2.2.1】设x(n)=RN(n)，求x(n)的傅里叶变换。

解

当N=4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图2.2.1所示。2.2.2序列傅里叶变换的性质1.DTFT的周期性在定义式(2.2.1)中，n取整数，下式成立：M为整数(2.2.6)序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。这样X(ejω)可以展成傅里叶级数，(2.2.1)式就是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。由于FT的周期性，一般只分析±π或0~2π之间的FT(2.2.1)2.线性

则

设

式中a,b为常数。

3.时移与频移

设X(ejω)=FT[x(n)]，则：(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)

）4.对称性先了解共轭对称与共轭反对称以及它们的性质：定义：设序列xe(n)满足xe(n)=x*e(-n)则称xe(n)为共轭对称序列。共轭对称序列的性质：将xe(n)用其实部与虚部表示：xe(n)=xer(n)+jxei(n)

两边n用–n代替，并取共轭，得：

x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)

xer(n)=xer(-n)(2.2.11)

xei(n)=-xei(-n)(2.2.12)

共轭对称序列其实部是偶函数，而虚部是奇函数。两式相等，对比得：实偶虚奇共轭反对称序列的性质：将x0(n)用实部与虚部表示：

xo(n)=xor(n)+jxoi(n)-x*o(-n)=-(xor(-n)-jxoi(-n))=-xor(-n)+jxoi(-n)

两式相等，对比得：

xor(n)=-xor(-n)(2.2.14)

xoi(n)=xoi(-n)(2.2.15)

共轭反对称序列的实部是奇函数，而虚部是偶函数。定义：满足下式的序列称共轭反对称序列：

xo(n)=-x*o(-n)(2.2.13)实奇虚偶

时域中，一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即：

x(n)=xe(n)+xo(n)=xe*(-n)-xo*(-n)(2.2.16)将(2.2.16)式中的n用-n代替，再取共轭得到：

x*(-n)=xe(n)-xo(n)(2.2.17)

比较两式，得：(2.2.18)

(2.2.19)

在频域，函数X(ejω)也有类似的概念和结论：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)(2.2.20)

共轭对称部分Xe(ejω)和共轭反对称部分Xo(ejω)满足：

Xe(ejω)=X*e(e-jω)(2.2.21)Xo(ejω)=-X*o(e-jω)(2.2.22)

同样有下面公式：(2.2.23)

(2.2.24)

DTFT的对称性

(a)

将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)

x(n)=xr(n)+jxi(n)

进行FT，得：

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)式中

xr(n)和xi(n)都是实数序列。Xe(ejω)具有共轭对称性，其实部是偶函数，虚部是奇函数。Xo(ejω)具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。结论：

x(n)=xr(n)+jxi(n)

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

(b)

将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部分xo(n)，即：

x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.25)

由(2.2.18)式和(2.2.19)式：

将上面两式分别进行FT，得：(FT［x*(-n)］=X*(ejω))

FT［xe(n)］=1/2［X(ejω)+X*(ejω)］=Re［X(ejω)］=XR(ejω)FT［xo(n)］=1/2［X(ejω)-X*(ejω)］=jIm［X(ejω)］=jXI(ejω)

因此对(2.2.25)式进行FT得到：

X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)(2.2.26)结论：

x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)总结时域频域实部共轭对称虚部共轭反对称共轭对称实部共轭反对称虚部x(n)=xe(n)+xo(n)X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)x(n)=xr(n)+jxi(n)

X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)利用DTFT的对称性，可得以下结论：（1）x(n)为实序列（xi(n)=0），得X(ejω)=Xe(ejω)为共轭对称函数，即X(ejω)=X*(e-jω)（2）x(n)为实因果序列：实数x(n)=x*

(n），傅里叶变换只包含共轭对称部分因为xe(n)有实偶虚奇特点，xo(n)有实奇虚偶特点，所以对实因果序列而言虚部位0，xe(n)为x(n)的偶数部分，xo(n)为x(n)奇数部分，则有

x(n)=xe(n)+xo(n)，

x(-n)=xe(n)-xo(n)xe(n)=1/2[x(n)+x(-n)]

x

o(n)=1/2[x(n)-x(-n)]

如h(n)是实序列，则得到

h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］

ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因为h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)和ho(n)可以用下式表示：[例2.2.3]

x(n)=anu(n)，0<a<1，求其偶函数xe(n)和奇函数xo(n)。

解：

x(n)=xe(n)+xo(n)xe(n)=1/2[x(n)+x(-n)]

x

o(n)=1/2[x(n)-x(-n)]5.时域卷积定理

设y(n)=x(n)*h(n),

则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2.2.32)

定理说明，两序列卷积的FT，服从相乘的关系。对LTI系统，其输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应的FT。因此求系统的输出信号，

(1)可以在时域用卷积公式(1.3.7)；

(2)可以在频域按照(2.2.32)式，求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。6.频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)，则：(2.2.33)

定理说明，在时域两序列相乘，对应频域为卷积关系。7.帕斯维尔(Parseval)定理

定理表明了时域能量和频域能量的关系。这里频域总能量是指|X(ejω)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2π)。(2.2.34)序列傅里叶变换的性质

2.3周期序列的离散傅里叶级数

及傅里叶变换表示式

2.3.1周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，由于周期性，可以展成傅里叶级数：(2.3.1)式中ak是傅里叶级数的系数。-∞<k<∞(2.3.3)令：ak也周期为N的周期序列。(2.3.4)

上式中是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶级数，用DFS表示。(2.3.4)

两式构成一对DFS。

将周期序列分解成N次谐波：

基波分量的频率是2π/N，幅度是。第k次谐波频率为ωk=(2π/N)k,k=0,1,2…N-1，幅度为。所以：一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。

(2.3.6)(2.3.7)

[例2.3.1]设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求DFS［］。解

其幅度特性如图2.3.1(b)所示。

2.3.2周期序列的傅里叶变换表示式

设周期序列以N为周期，其FT为：(2.3.10)

上式中的()为单位冲激函数[(n)表示单位脉冲序列]。式中为周期序列的DFS。由于不满足绝对可和条件，因此对周期序列求FT时，要先计算，再计算X(ejω)。序列傅里叶变换有限长序列的傅里叶变换周期序列的傅里叶变换（通过DFS，并引入奇异函数()

）其中为周期序列的DFS。时域连续信号傅里叶变换

表2.3.2基本序列的傅里叶变换[例2.3.3]

令，2π/ω0为有理数，求其FT。解：将用欧拉公式展开：由(2.3.9)式，得其FT：

cosω0n的FT，是在ω=±ω0处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行延拓，如图所示。

(2.3.9)

2.4时域离散信号的傅里叶变换与模拟

信号傅里叶变换之间的关系

模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式定义如下：(2.4.1)(2.4.2)t与Ω(-∞,+∞)

采样信号可用下式描述：的傅里叶变换为：模拟信号和采样信号傅里叶变换的关系序列x(n)的一对傅里叶变换式为：(2.2.1)(2.2.4)

序列x(n)的FT----X(ejω)与模拟信号xa(t)的FT----Xa(jΩ)之间的关系为（ω=TΩ）：(2.4.7)

结论：序列的FT和模拟信号的FT之间的关系，与采样信号和模拟信号的FT之间关系是一样的，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系为ω=ΩT。模拟信号和序列傅里叶变换的关系2.5序列的Z变换2.5.1Z变换的定义

序列x(n)的Z变换定义为(2.5.2)模拟信号和系统中：傅里叶变换进行频域分析拉普拉斯变换是其推广，对信号进行复频域分析时域离散信号和系统中：序列的傅里叶变换进行频域分析Z变换是其推广，对序列进行复频域分析单边Z变换的求和限是从零到无限大，因此对于因果序列，用两种Z变换定义计算出的结果是一样的。如不另外说明，均用双边Z变换对信号进行分析和变换。双边Z变换单边Z变换

Z变换存在的条件是|X(z)|有界，即等号右边级数绝对可和：收敛域的定义：

对于序列x(n)，满足

所有z值组成的集合称为z变换F(z)的收敛域。

常用的Z变换是一个有理函数，用两个多项式之比表示：零点----分子多项式P(z)的根，极点-----分母多项式Q(z)的根。

要点：

x(n)Z变换[

X(z)，收敛域]即对一个确定的x(n)，其Z变换X(z)的表达式和收敛域是一个整体，二者共同、唯一确定x(n)。(2.5.4)

与序列的傅里叶变换定义式比较，得到FT和ZT之间的关系：

(2.2.1)

(2.5.1)式中z=ejω表示在z平面上r=1的圆，该圆称为单位圆。(2.5.4)式表明单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。傅里叶变换是Z变换的特例。如果已知序列的Z变换，可用上式方便的求出序列的FT，条件是收敛域中包含单位圆。[例2.5.1]

x(n)=u(n)，求其Z变换。解：|z|>1X(z)存在的条件是|z-1|<1，因此收敛域为|z|>1，由X(z)表达式表明，极点是z=1，单位圆上的Z变换不存在，或者说收敛域不包含单位圆,因此其傅里叶变换不存在。该例说明一个序列的傅里叶变换不存在，在一定收敛域内Z变换是存在的。

该序列的FT不存在，但如果引进奇异函数δ(ω)，其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2)。2.5.2序列特性对收敛域的影响

序列的特性决定其Z变换收敛域，了解序列特性与收敛域的一些关系，有助于Z变换的使用。x(n)n1≤n≤n2

x(n)=0其它其Z变换为：1.有限长序列如序列x(n)满足：x(n)为有界序列，由于是有限项求和，整个z平面均收敛(可能除0与∞两点)。有限长序列的收敛域表示如下：n1<0，

n2≤0，0≤|z|＜∞:n1<0，n2>0，

0<|z|＜∞:n1≥0，n2>0，0<|z|≤∞:若：n1<0，可能为反因果序列或双边序列，则收敛域不包括z=∞点；若：n2>0，可能为因果序列或双边序列，则收敛域不包括z=0点；[例2.5.2]

求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解：

这是一个因果的有限长序列，因此收敛域为0<z≤∞。从X(z)的分母看到z=1似乎是X(z)的极点，但同时分子多项式在z=1时也有一个零点，极零点对消，X(z)在单位圆上仍存在，所以收敛域包含z=1（0<z≤∞）。2.右序列右序列是在n≥n1时，序列值不全为零，而在n<n1

时，序列值全为零的序列。如果n1>=0,则为因果序列，收敛域定为R<|z|≤∞，圆外区域。

例2.5.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域解：

在收敛域中必须满足|az-1|<1，因此收敛域为|z|>|a|。

-1

如果n2<0,则为反因果序列，其收敛域为0≤|z|<R，圆内区域。3.左序列左序列是在n≤n2时，序列值不全为零，而在n>n2，序列值全为零的序列。其Z变换为：

例2.5.4

求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域。X(z)存在要求|a-1z|<1，即收敛域为|z|<|a|4.双边序列一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换为：X(z)的收敛域是X1(z)和X2(z)收敛域的公共收敛区域。如果R1>R2，其收敛域为R1<|z|<R2

，这是一个环状域如果R1<R2

，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此，X(z)不存在。

[例2.5.5]

x(n)=a|n|,a为实数，求x(n)的Z变换及其收敛域。解第一部分收敛域为|az|<1，得|z|<|a|－1;第二部分收敛域为|az－1|<1,得到|z|>|a|。如果|a|<1,两部分的公共收敛域为|a|<|z|<|a|－1,其Z变换如下式:如果|a|≥1，则无公共收敛域，因此X(z)不存在。当0<a<1时，x(n)的波形及X(z)的收敛域如图2.5.2所示。通过以上例题及分析，我们得到以下结论：同一个Z变换函数，收敛域不同，所对应的序列是不相同的如例2.5.3,2.5.4。收敛域中无极点，收敛域总是以极点为界的。常用序列的z变换：

(n)←→1，z>0u(n)

←→，z>1u(-n-1)

←→，z<1anu(n)←→，z>a(-a)nu(n)←→，z>a(-b)nu(-n-1)←→，z<bbnu(-n-1)←→，z<b6.1z变换

n←→，z>1因果序列反因果序列2.5.3逆Z变换序列的Z变换及逆Z变换表示如下：

式中c是X(z)收敛域中一条逆时针的闭合曲线，如上图所示。直接计算围线积分比较麻烦，实际中常用三种方法求逆z变换:

1.用留数定理求逆Z变换

2.幂级数法(长除法)3.部分分式展开法(2.5.5)

x(n)=被积函数X(z)zn-1在极点z=z1k的留数,x(n)为围线c内所有极点留数之和1.用留数定理求逆Z变换设被积函数用F(z)表示，即

设F(z)在围线c内的极点为z1k，在围线c外的极点为z2k，根据留数定理:x(n)=或x(n)为围线c外所有极点留数之和取反

使用(2.5.9)式的条件是F(z)的分母阶次(z的正次幂)比分子阶次必须高二阶以上。设X(z)=P(z)/Q(z)，则P(z)与Q(z)分别是M与N阶多项式即：N-(M+n–1)≥2

N-M-n≥1

(2.5.10)(2.5.7)如果zk是N阶极点，则:(2.5.8)

求极点留数的方法：如果zk是单阶极点，则:

如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，可以根据留数辅助定理(2.5.9)改求c外的所有极点留数之和，使问题简化。[例2.5.6]

已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|>a，求其逆Z变换x(n)。解：用留数定理求解，要先找出F(z)的极点，极点有：（1）z=a

（2）当n<0时，z=0也是极点其中极点z=0与n的取值有关：n≥0时，n=0不是极点,n<0时，z=0是一个n阶极点.(如n=3和n=-3)

因此要分成n≥0和n<0两种情况求x(n)。回顾部分分式展开法图2.5.4例中n<0时F(z)极点分布

（1）n≥0时，只有一个极点：

（2）n<0时，增加z=0的n阶极点，不易求留数，采用留数辅助定理求解，检查(2.5.10)式是否满足，由于n<0，只要N-M≥0，(2.5.10)式就满足。本例满足(2.5.10)式。N-M-n≥1(2.5.10)

所以，n＜0时，改求圆外极点留数，但本例题中圆外没有极点(见图2.5.4)，故n＜0，x(n)＝0。最后得到该例题的原序列为:

x(n)=anu(n)事实上，该例题由于收敛域是|z|>a，根据前面分析的序列特性对收敛域的影响知道，x(n)一定是因果的右序列，这样n＜0部分一定为零，无需再求。

[例2.5.7]已知,求其逆变换x(n)。解该例题没有给定收敛域，为求出唯一的原序列x(n)，必须先确定收敛域。分析X(z)，得到其极点分布如图2.5.5所示。图中有两个极点：z=a和z=a－1（a<a－1

），这样收敛域有三种选法，它们是（1）|z|>|a－1|，对应的x(n)是因果序列；（2）|z|<|a|，对应的x(n)是左序列；（3）|a|<|z|<|a－1|，对应的x(n)是双边序列。下面分别按照不同的收敛域求其x(n)。最后表示成：x(n)=(an－a－n)u(n)。（1）收敛域为|z|>|a－1|:这种情况的原序列是因果的右序列，无须求n<0时的x(n)。当n≥0时，F(z)在c内有两个极点：z=a和z=a－1，因此（2）收敛域为|z|<|a|:这种情况原序列是左序列，无须计算n≥0情况。n<0时，c内只有一个极点z=0，且是n阶极点，改求c外极点留数之和。

n<0时,最后将x(n)表示成封闭式：x(n)=(a－n－an)u(－n－1)

（3）收敛域为|a|<|z|<|a－1|:这种情况对应的x(n)是双边序列。根据被积函数F(z)，按n≥0和n<0两种情况分别求x(n)。

n≥0时，c内只有1个极点：z=a,x(n)=Res［F(z),a］=an

n<0时，c内极点有2个，其中z=0是n阶极点，改求c外极点留数，c外极点只有z=a－1，因此x(n)=－Res［F(z),a－1］=a－n最后将x(n)表示为即x(n)=a|n|2.部分分式展开法对于大多数单阶极点的序列，常常用这种部分分式展开法求逆Z变换。设x(n)的Z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的常用的部分分式之和，通过查表(参考表2.5.1)求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成正式

观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在z=zm的极点留数就是系数Am。

求出Am系数(m=0,1,2,…N)后，很容易求得x(n)序列。

例2.5.10

已知，求逆Z变换。解：x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 2<|z|<3

表2.5.1常见序列Z变换2.5.4Z变换的性质和定理1.线性设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+Y(z)=ZT［y(n)］,Ry-<|z|<Ry+

则ZT［ax(n)+by(n)］

=aX(z)+bY(z),Rm-<|z|<Rm+(2.5.15)其中：Rm+=min［Rx+,Ry+］

Rm-=max［Rx-,Ry-］即Z变换的收敛域(Rm-，Rm+)是X(z)和Y(z)的公共收敛域，若无公共收敛域则Z变换不存在。2、移位特性

单边、双边差别大！双边z变换的移位：

若x(n)←→X(z),<z<，且对整数m>0，则

x(nm)←→zmX(z),<z<对于双边Z变换：移位后序列不会丢失信息；对于单边Z变换：因果序列左移时丢弃了k<0的部分非因果序列右移时丢弃了k>0的部分x(n+1)←→zX(z)–n(0)zx(n+2)←→z2X(z)–n(0)z2

–n(1)z

特例：若x(n)为因果序列，则x(n–m)←→z-mX(z)…单边z变换的移位：

若x(n)←→X(z),有整数m>0,则x(n-1)←→z-1X(z)+x(-1)x(n-2)←→z-2X(z)+x(-2)+x(-1)z-1

….右移特性：左移特性：例2：已知x(n)=an(a为实数)的单边z变换为

的单边Z变换解:（1）由于x1(n)=x(n-2)所以X1(z)=z-2X(z)+x(-2)+z-1x(-1)（2）由于x1(n)=x(n+2)所以X2(z)=z2X(z)-x(0)z2-x(1)z3.乘指数序列an(Z域尺度变换乘)

设X(z)=ZT［x(n)］,Rx-<|z|<Rx+y(n)=anx(n),a为常数则Y(z)=ZT［anx(n)］=X(z/a)|a|Rx-<|z|<|a|Rx+(2.5.17)例1：求anu(n)的z变换例2：求cos(n)u(n)的z变换6.2z变换的性质解：u(n)←→anu(n)←→,z>1cos(n)u(n)=0.5(ejn+e-jn)u(n)

解：=0.5[(ej)n+(e-j)n]u(n)4.序列乘n的Z变换(z域微分)

设

则(2.5.18)

例：求x(n)=nu(n)的z变换Y(z).

解：

5.复共轭序列的Z变换

设6.初值定理设x(n)是因果序列，X(z)=ZT［x(n)］(2.5.20)则

即用象函数可以直接求得因果序列的初值x(0),而不必求得原序列。7.终值定理若x(n)是因果序列，且其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1(单位圆)上，其它极点均在单位圆内，则：

终值定理用于由象函数直接求得序列的终值，而不必求得原序列。

终值定理也可用X(z)在z=1点的留数表示例1：某因果序列的z变换为（a为实数），求x(0)和x(∞)解：6.2z变换的性质9.复卷积定理（了解）8.序列卷积设

10.帕斯维尔(Parseval)定理（了解）系统初始状态

2.5.5利用Z变换解差分方程用Z变换求解差分方程，将差分方程变成了代数方程，使求解过程简单。由1.4.1知N阶线性常系数差方程为：利用线性和序列移位性对于N阶差分方程，求其解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列（x(n)=0,n<0），初始条件y(-1),y(-2)…y(-N)。对(2.5.30)式进行Z变换：(2.5.30)

称为系统函数h(k)←→H(z)

取逆变换得：[例2.5.11]已知差分方程：y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n)，y(-1)=2，求y(n)。解：对差分方程进行Z变换：

而

所以x(n-1)←→z-1X(z)+x(-1)x(n-2)←→z-2X(z)+x(-2)+x(-1)z-1

收敛域为：|z|>max(|a|,|b|)式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。6.4z域分析例1：若某系统的差分方程为

y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)+2f(k–2)，已知y(–1)=2，y(–2)=–1/2，f(k)=(k)。求系统的yzi(k)、yzs(k)、y(k)。

解：方程取单边z变换（用到移位特性）

Y(z)-[z-1Y(z)+y(-1)]-2[z-2Y(z)+y(-2)+y(-1)z-1]=F(z)+2z-2F(z)

x(n-1)←→z-1X(z)+x(-1)x(n-2)←→z-2X(z)+x(-2)+x(-1)z-1

即(1-z-1-2z-2)Y(z)-(1+2z-1)y(-1)-2y(-2)=F(z)+2z-2F(z)

将y(–1)=2，y(–2)=–1/2，F(z)=z/z-1代入得：例2：

某系统，已知当输入f(k)=(–1/2)k(k)时，其零状态响应

求系统的单位序列响应h(k)解：h(k)=[3(1/2)k–2(–1/3)k](k)2.6利用Z变换分析信号和系统

的频域特性2.6.1频率响应函数与系统函数设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(ejω)(2.6.1)

一般称H(ejω)为系统的频率响应函数或传输函数，它表征系统的频率特性。

设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式(2.6.2)

如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ejω)与H(z)之间关系如下式：(2.6.3)频率响应函数是系统函数的特殊情况2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性

因果(可实现)系统其单位脉冲响应h(n)一定满足当n<0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。

稳定系统要求（P17系统稳定的条件，此条件与P33序列傅里叶变换存在条件相同），序列傅里叶变换存在，对照Z变换可知，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为：r<|z|≤∞，0<r<1

系统因果且稳定，H(z)的极点集中在单位圆的内部。具体系统的因果性和稳定性可由系统函数的极点分布确