函数的极值和最值(讲解)

函数的极值和最值【考纲要求】2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.【知识网络】极值函数的极值和最值函数极值的定义函数极值点条件求函数极值函数在闭区间上的最大值和最小值【考点梳理】函数的极值一般地，设函数f(x)在点x=x及其附近有定义，0(1)若对于x附近的所有点，都有f(x)<f(x)，则f(x)是函数f(x)的一个极000y=f(x)；极大值0(2)若对x附近的所有点，都有f(x)>f(x)，则f(x)是函数f(x)的一个极小000值，记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.10实用精品文档②求导数f(x)；③求方程f(x)=0的根；④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处函数的最值若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值；在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值.如f(x)=1(x>0).x若函数y=f(x)在闭区间[a,b]有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下：(1)求函数f(x)在(a,b)内的导数f(x)；(2)求方程f(x)=0在(a,b)内的根；(3)求在(a,b)内使f(x)=0的所有点的函数值和f(x)在闭区间端点处的函数值f(a)，f(b)；(4)比较上面所求的值，其中最大者为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值，最小者为函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最小值.【典型例题】类型一：利用导数解决函数的极值等问题精品文档的值，并求f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程；因为f(x)在x=1处取得极值所以f(x)在点M(1,f(1))处的切线方程y3=12(x1)【变式1】设a为实数，函数f(x)=ex2x+2a,xR．xxf,(x)－0+f(x)故f(x)的单调递减区间是(,ln2)，单调递增区间是(ln2,+)，lnalna(2)证明：设g(x)=exx2+2ax1，xR于是g,(x)=ex2x+2a，xR/10实用精品文档alnx0,)，都有g(x)g(0)．即exx22ax10，故exx22ax1．【变式2】函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图如图所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值有()【答案】由极小值的定义，只有点B是函数f(x)的极小值点，故选A。类型二：利用导数解决函数的最值问题堂：函数的极值和最值394579典型例题三】 (1)若函数f(x)存在零点，求实数m的取值范围； (2)当m0时，求函数f(x)的单调区间；并确定此时f(x)是否存在最小【解析】(1)因为函数f(x)存在零点，则x2mxm0有实根，(2)当m0时，函数定义域为R0实用精品文档xx0f'(x)+0-0+f(x)增减增所以f(x)在(-w,m-2)，(0,+w)上单调增，在(m-2,0)上单调减。yfxygxcab的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-w,-1]上的最大值.120实用精品文档4412262644(a)2(Ⅰ)若f(x)在(2,+w)上存在单调递增区间，求a的取值范围；3399(Ⅱ)令f,(x(Ⅱ)令f,(x)=0，得两根x=1一1，2所以f(x)在(一w,x)，(x,+w)上单调递减，在(x,x)上单调递增．121210实用精品文档2所以f(x)在[1，4]上的最大值为f(x)．2又f(4)f(1)=27+6a0，即f(4)f(1)，2所以f(x)在[1，4]上的最小值为f(4)=8a40=16，33得a=1，x=2，从而f(x)在[1，4]上的最大值为f(2)=10．23f(x)=xlogx+(1x)log(1x)(0x1),求f(x)的最小值;22【解析】函数f(x)的定义域为(0，1)2=log=logxlog(1x)+=logxlog(1x)22ln2ln222令f'(x)=0得x=12当0x1时，f'(x)0,∴f(x)在区间(0,1)是减函数；2当1x1时，f'(x)>0,∴f(x)在区间(1,1)是增函数.22∴f(x)在x=1时取得最小值且最小值为f(1)=1.223值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间【解析】(1)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，f,(x)＝3x2＋2ax＋bfabf3＋2a＋b＝0得a＝－1，b＝－23932f,(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，x3(－，－(1，＋x档23230)2)3(x)f(x)0所以函数f(x)的递增区间是(－，－2)与(1，＋)，递减区间是(－332327类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用3且l2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；由题意知V="r2l+4"r3，又V=80"，333(r2)3(r2)rr2r2(