江苏省连云港市重点中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题及答案解析

连云港市重点中学2022-2023学年高二下学期3月月考高二数学试题（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则（）A．90 B．42 C．12 D．102．在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（）A.B.1C.D.3．可以表示为（）A. B. C. D.4．若展开式中常数项为60，则常数的值为（）A．4 B．2 C．8 D．65．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A．种 B．种 C．种 D．种6.设向量，，若，则实数的值为（）A.2B.C.或D.2或7．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同排法的种数是（）A． B． C． D．8．如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的是（）A. B.C. D.10．若Ceq\o\al(2n－3,20)＝Ceq\o\al(n＋2,20)(n∈N*)，则n等于()A．4B．5C．6D．711．若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．12．在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有（）A．若是棱上一点，且，则，，，四点共面B．平面截该长方体所得的截面为五边形C．异面直线，所成的角为D．若是棱上一点，点到平面的距离最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，，，．若，则实数k的值为．14．化简：＝．15．(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数是．16．已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为．四、解答题：本共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：（1）；（2）平面．18．（本题满分12分）在的展开式中，（1）求第三项的系数；（2）系数的绝对值最大的项是第几项？19．（本题满分12分）在的展开式中，______．给出下列条件：①前三项的系数成等差数列；②第三项的系数为7；③奇数项的二项式系数之和为128．请在上面的三个条件中选择一个补充在横线上，并且完成下列问题：（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）20．（本题满分12分）在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名．（1）从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者代表的不同的选法有多少种？（2）从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有多少种不同的安排方法？21．（本题满分12分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线AC，BD交于点O，，．求：（1）二面角的大小；（2）点B到平面CDP的距离．22．（本题满分12分）如图，在棱长为4的正方体中，，分别是棱，上的动点，且（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求直线与平面所成角的正弦值．答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则（）A．90 B．42 C．12 D．101．A【解析】根据，且，所以，﹒故选A﹒2．在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（）A.B.1C.D.2．C【解析】，，，，因为，所以，所以，解得．故选C．3．可以表示为（）A. B. C. D.3．C【解析】排列数的计算公式,＝﹒故选C﹒4．若展开式中常数项为60，则常数的值为（）A．4 B．2 C．8 D．64．A【解析】展开式的通项为：.取得到常数项为，解得．故选．5．若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A．34种 B．43种 C．种 D．种5．A【解析】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有34种方法．故选A．6.设向量，，若，则实数的值为（）A.2B.C.或D.2或6.C【解析】，解得或．故选C．7．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同排法的种数是（）A． B． C． D．7．C【解析】分两步，第一步将4个“冰墩墩”全排列，有种排法；第二步将将3个“雪容融”插进3个空中，有种排法；按照分步乘法计数原理得一共有种排法．故选C．8．如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（）A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六8．B【解析】因为,所以除以7的余数为1，所以经过天后是星期四，故选B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中不能确定点M，A，B，C共面的是（）A. B.C. D.9．ABC【解析】设，若点与点共面，则，选项D确定点M，A，B，C共面．故选ABC．10．若Ceq\o\al(2n－3,20)＝Ceq\o\al(n＋2,20)(n∈N*)，则n等于()A．4B．5C．6D．710．BD【解析】由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或n＝7.11．若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．11．ACD【解析】∵，令则可得：，A正确；令则可得：即，D正确；展开式第k+1项的通项，则，当时，，B不正确；当k为偶数时，，当k为奇数时，∴，令则可得：，C正确．故选ACD．12．在长方体中，，，，分别为棱，的中点，则下列说法中正确的有（）A．若是棱上一点，且，则，，，四点共面B．平面截该长方体所得的截面为五边形C．异面直线，所成的角为D．若是棱上一点，点到平面的距离最大值为．12．ABD【解析】A：如图1，若为的中点，又为棱的中点且，易知：，则，为棱的中点，由长方体的性质有，故，所以，，，四点共面，A正确；B：如图2，分别延长交于，连接交于，连接，由A分析知：面即为面，故平面截该长方体所得的截面为五边形，B正确；（图1）（图2）C：如图3，过作交延长线于，则，过作交延长线于，则且，故异面直线，所成的角为，而，，则，故异面直线，所成的角不为，C错误；D：如图4，由题设及A分析，当与重合时到平面的距离最大，所以只需求到面的距离，将延长交于，并连接，而，所以，则，又，则，故，即到平面的距离最大值为，D正确．故选ABD．（图3）（图4）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，，，．若，则实数k的值为______．13．【解析】，，因为，所以，解得．14．化简：＝______．14．【解析】，故原式＝．15．(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数是______．15．2【解析】(1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，为Ceq\o\al(0,3)·(2x)0·Ceq\o\al(1,4)·(－x)1＋Ceq\o\al(1,3)·(2x)1·Ceq\o\al(0,4)·14·(－x)0，其系数为Ceq\o\al(0,3)×Ceq\o\al(1,4)×(－1)＋Ceq\o\al(1,3)×2×Ceq\o\al(0,4)＝－4＋6＝2.16．已知点，，，，则向量在向量上的投影向量的模为______．16．【解析】，，所以，，向量在向量上的投影为；向量在向量上的投影向量为，即向量在向量上的投影向量的模为．故答案为．四、解答题：本共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点．试用向量的方法证明：（1）；（2）平面．【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设，则，（2分），所以.（5分）（2），，设平面的法向量为，则，故可令，（8分），所以平面.（10分）18．（本题满分12分）在的展开式中，（1）求第三项的系数；（2）系数的绝对值最大的项是第几项？【解析】Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·(eq\r(x))8－r·＝(－1)r·Ceq\o\al(r,8)·2r·.（2分）（1）T3＝(－1)2Ceq\o\al(2,8)22x4－5＝112x－1，（4分）所以第三项的系数为112.（6分）（2）设第r＋1项系数的绝对值最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r＋1,8)·2r＋1，,C\o\al(r,8)·2r≥C\o\al(r－1,8)·2r－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,8－r)≥\f(2,r＋1)，,\f(2,r)≥\f(1,9－r).))（8分）整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r≥5，,r≤6，))所以r＝5或r＝6.故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项．（10分）19．（本题满分12分）在的展开式中，______．给出下列条件：①前三项的系数成等差数列；②第三项的系数为7；③奇数项的二项式系数之和为128．请在上面的三个条件中选择一个补充在横线上，并且完成下列问题：（1）求n的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【分析】（1）写出二项式展开式通项公式，根据所选的条件列方程求n值.（2）由（1）所得n及展开式通项公式判断确定最大项，进而写出最大项.【解析】（1）展开式第项为，，（4分）选①：展开式前三项的系数为1，，，据题意得：，可得；（6分）选②：展开式第三项的系数为，可得，所以；（6分）选③：令，所以.（6分）（2）展开式一共有9项，二项式系数最大的项为第5项，（8分）则．（12分）20．（本题满分12分）在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名．（1）从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者代表的不同的选法有多少种？（2）从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有多少种不同的安排方法？【分析】（1）先求出选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法种，从总的选法中减去，即为答案；（2）直接法，分类求解，再相加即为答案，间接法求解.【解析】（1）从中选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法有种，（2分）所以从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者的不同选法共有（种）（4分）答：必须有女志愿者的不同选法有15种．（6分）（2）方法一：第一类男志愿者甲在内女志愿者乙不在内，有（种）；（8分）第二类女志愿者乙在内男志愿者甲不在内，有（种）；第三类男志愿者甲、女志愿者乙都在内，有（种）．（10分）由分类计数原理得（种）．答：有720种不同选法．（12分）方法二