北京朝阳区高二上期末数学试题理有答案

北京市朝阳区高二上学期期末考试1U1-、、/ILL

数学试卷一、选择题：共10题.圆.一二二一二二：被直线.=二截得的弦长为A.二 B.?C,-D,-【答案】D【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆的性质.由圆的方程可知，圆心坐标为(2,0)，半径=2,则圆心到直线％=1的距离为d=1，由垂径定理可知，弦长为'二-二二二:,弓.抛物线.二二二上与其焦点距离等于=的点的横坐标是A.- B.- C.f D.7【答案】C1 5【解析】本题主要考查抛物线的定义.设该点横坐标为％，由抛物线的定义可知，%+=3,则X-.已知；.：：二•:•二，则•,是；的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件与必要条件.因为.：::",所以「二或.二一二,因此，-=:且；=二故;是。•的充分而不必要条件.第1页共1页

.已知两条不同的直线;"三个不同的平面;二.，下列说法正确的是A.若：::一：则:工；；: B.若：::--贝C.若：--则：,；：・； D.若：--- 贝胴---【答案】D【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查空间想象能力因为二J所以平面心■■■内存在一条直线c与。平行，因为所以b与c垂直，则b与。•的位置关系不确定，故A错误；平行于同一条直线的两个平面不一定平行，故B错误；因为：一二：一：所以二或：二，故C错误；因此，D正确.A..在圆.二一.二二二上任取一点•",过点F作..轴的垂线段二二二为垂足，当点F在圆上运动时，线段F二的中点•■:的轨迹方程是A.B.二-JC--y=-D.--7=-【答案】C【解析】本题主要考查点的轨迹方程、圆的方程.设点P(s,t),M(%,y),D(s,0)，由题意可知，s=%,t=2y,且二-：二二二，消去s、t,化简可得点M的轨迹方程为三一二二二6.如图，平行六面体二二---二-二一---一中，二-与二-的交点为,设二-二-二::■■■.-- 二二,则下列向量中与三丁相等的向量是第2页共2页A.-' -二B；；：一7一二C.t—fD「~；—【答案】A【解析】本题主要考查空间向量的应用.由题意可得，瓦甫=式乖+瓦茬)=.巧涓+瓦J+瓦方+硝=晨2用1-就+硝=-Tfl+工 工 工 Xyj&+C7.若由方程.二一.二二：和.二一•一•二二二所组成的方程组至多有两组不同的实数解，则实数：.的取值范围是A.二--二或；三一---B.三二或；三--C.一二三三二 D.一二二三三二二【答案】B【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系方程.二一.二二:表示两条直线，联立两个方程，消去％，化简可得2y2-2by+b2-2=0,由题意可知，判别式=4b2-8(b2-2卢二,所以；三二或；三-二.设「是坐标原点，若直线.二.一••・・：：：与圆,二一二二:交于不同的两点二、二二，且rr- ，则实数:.的最大值是A.二 B二 C,予 D.二:【答案】B【解析】本题主要考查圆的性质、平面向量的平行四边形法则、菱形的性质、点到直线的距离公式以在也为邻边作菱形，由三匚与三三一"T分别表示菱形两条对角线所表示的向量，因为二二三L三一三三，所以三3二三的夹角为直角或钝角，所以圆心到直线l的距离小于等于•二由点到直线的距离公式可得F三.二所以一:「三二，则实数：•的最大值是2第3页共3页.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为Hi IE? S2 心:A."T B—- C.三D.Y【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力由三视图可知，该三棱锥的底面面积为t=：=1高为4,所以，该三棱角的体积丫=7'=-=T.已知动圆二位于抛物线.二二一的内部C二三：),且过该抛物线的顶点，则动圆二的周长的最大值是A；B.-" C：二 D.二一【答案】C【解析】本题主要考查抛物线的简单几何性质、圆的方程与性质设圆的方程为12+。-b)2=b2(b>0),与.二二--联立消去1可得y2+(4-2b)尸0,由题意可知，要使动圆二的周长最大，则圆的半径也最大，且圆与抛物线相切，则判别式=0,故b=2,所以动圆二的周长的最大值是七二、填空题：共6题第4页共4页.写出命题;J:“任意两个等腰直角三角形都是相似的”的否定」P:;判断是 命题.(后一空中填“真"或"假”)【答案】存在两个等腰直角三角形,它们不相似；假【解析】本题主要拿考查全称命题与特称命题的否定、命题真假的判断由全称命题的否定的定义可知：命题一二,：存在两个等腰直角三角形,它们不相似;显然命题一二,是假命题..已知二二三二二二，则-二三的外接圆的方程是 .【答案】一一：二一T二二二5【解析】本题主要考查圆的标准方程与圆的性质.由圆的性质可知，线段04与线段OB的垂直平分线的交点即为圆心，所以圆心坐标为(3,4),则半径r=5,所以，所求圆的标准方程为.一：一•-3二二二.中心在原点,焦点在「轴上，虚轴长为:;并且离心率为3的双曲线的渐近线方程为【答案］.二二二,【解析】本题主要考查双曲线的简单几何性质.设双曲线的方程为二一？7二二：：：：；：：：，由题意可知，b=1・二又因为e=3,所以c=3a,易求得a=1,所以双曲线方程为,二- 「则渐近线方程为♦二二二..过椭圆C--?=-的右焦点二的直线与椭圆C相交于A,B两点.若二二二初,则点二与左焦点二的距【答案】；【解析】本题主要考查椭圆的简单几何性质、平面向量的共线定理由题意，因为•一二二二二所以AB与l轴垂直，将x=1代入椭圆方程求得ly=,即\AF2=,又因为二二-二二二二：=，,第5页共5页.下图为四棱锥二一二二二的表面展开图,四边形二三二为矩形广三=-- =二.已知顶点F在底面二三二上的射影为点工，四棱锥的高为、-2则在四棱锥P-ABCD中,PC与平面工BCD所成角的正切值为.【答案】T【解析】本题主要考查直线与平面所成的角、线面垂直，考查了空间想象能力.由题意可知，在四棱锥二一二三二中，pA与平面ABCD垂直，所以NPCA是直线PC与平面ABCD所成的角，又因为二三二•二二二二「所以AC=弓，又PA=~,所以P'：与平面」二二所成角的正切值为tanNPCA=亍.如图，正方体三二一二二二二.的棱长为1,N为二.中点,M为线段三二上的动点（M不与B；.重合）有四个命题：①二.-平面BMN;②不可//平面二二二;③平面二.一..二.一平面五:；④三棱锥二一•二二的体积有最大值.其中真命题的序号是第6页共6页

【答案】②③【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的体积空间向量的应用，考查了空间想象能力.如图所示，连接BD、DC1，易证AD1//BC1，显然CD1与AD1不垂直，即CD1与BC1不垂直，故;二.与平面BMN不垂直，因此①错误;根据线面与面面平行的判定定理易证平面AB1D1与平面BDC1平行,则易知二二7/平面二二二，故②正确;利用线面与面面垂直的判定定理易证BD与平面”.二.，则易得平面上hCC.平面生%V，故③正确;因为力MNC=VMCDN，因为三角形CDN的面积为定值，点M为BC1上的动点，且与B、C1不重合，所以点M到平面CDN的距离没有最大值，因此，VDMNC=VMCDN没有最大值，故④错误.三、解答题：共3题.如图,长方体•一二二一J二二二.中，•一二--==------=-三为三二的中点，点工分别为棱二二二二，的中点A. ND1MDA. ND1MDBEC第7页共7页(I)求证:平面二二〃平面•一•二三;(II)求证:平面二二三，平面二.二二【答案】(I)在长方体二三二-二二二.，中，点三和点;分别为所在棱的中点,所以「；匚且二；二三二，从而四边形二；二为平行四边形.所以二.三:二又因为二二二平面NMC,NC平面NMC,所以二一三平面NMC.又点M是棱二二的中点,所以MN是一二二二的中位线，所以二二.二二由于二二二平面NMC,MN二平面NMC,所以二二平面NMC.又因为二.二二，-二二.二.二二平面.一..-二：.-二平面二,所以平面•一•二二平面NMC.(II)在长方体二三二一J二二二.中产二一-平面ABCD,且二三二平面ABCD,所以“•--二二在矩形ABCD中,二三=------=1E为BC的中点,则三二二・二三二二二,从而三二—三二二二.-.二二即二三一二二因为二一二二・二二一二二平面二二一二-■■■■■■.二■■■,所以DE，平面J.二二又DE二平面二二二所以平面二二三，平面J二二第8页共8页【解析】本题主要考查线面与面面平行与垂直的判定定理与性质定理，考查了空间想象能力.(1)根据题意，先证明四边形二二二三为平行四边形，即可证明二:二，易得二」平面NMC同理可证明;二平面NMC,则结果易证;(2)先证明”.-二二二三-二二易得DE，平面二一二二则结论即可证明..如图，四棱锥二一二三二的底面二三二为直角梯形，二二〃三，且三二"二二二1三二-三-二二=:，平面•二二-底面二三二二为•一二的中点，-二二二为等边三角形,•二是棱孑二上的一点，设三f二「二与二不重合).(I)求证:二----;(11)若「二〃平面三:三，求一•的值；(III)若二面角二一三三一•二的平面角为二：：,求一•的值.【答案】(I)因为一二,•二为等边三角形，三为二二的中点，所以二三-----■.因为平面二一二」平面二三二,且平面二-平面二三二=二二二三二平面：一•二,所以二三一平面二三二.又二二平面二三二，所以二三一二.由已知得二-二二二二'=二所以二-平面•：・二.且二二二平面.:二，所以二-二二.第9页共9页(II)连接二二交三土于二连接因为二二〃平面三二三.二二—平面.二二二，平面•二：二-平面三二三=•二，所以二二二二因为二二旌二二一二；所以一二「二_二三「二二，又二，-三一二二= 二所以一二二三一.-;二所以；二二一.,则二为P二的中点「二二.an)方法一:依题意，若二面角二一三三-二的大小为二：则二面角:一三三-二的大小为"【连接二二过点二作;二•三交二三于二过F作二.二-三三于'-'，连接；,"二.因为二三一平面二,所以.二二一平面二三二.又三三二平面二，所以.二二一三二又二二一二二二二二二二平面二二二二二二平面四.•：・・・・.所以三二-平面:二•1从而三二-二二.则―：二二为二面角二一二三一二的平面角，即一二二二三：：在等边二二中，二三二工由于yf=不二：",所以二二二二.第10页共10页

PGEG k又77=建,所以1.二二一在一二二二中产二一二=TT方法二:由于三二-三二三二-二三三二-三二以三为原点,射线六三二三二分别为.,正半轴；正半轴，二正半轴建立空间直角坐标系,如图.根据条件51=7-=-=-二==:可知:上10二用：上［、三0月）£6三一工0：，口（。一1月：下（0口0）严〔0口,与平面二三三即•：二平面的一个法向量为”.二：二.设「.'二，由条件U=二可知：严二不■■::■）第11页共11页工工=3-,Y)-二一•，解得:、"遍=—kz即三二二士二E--= 7-■.设平面二三二的一个法向量为之=■,二，则则■二：，令.二.=,则二二■■■因为二面角二一三三一二的平面角为二=-:,所以二三：：；「「：=；=—-t解得'二二三.【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定定理与性质定理、二面角、空间向量的应用，考查了空间想象能力.(1)根据题意证明二-二-.、二三一二，即可证明二-平面则结论易得;(2)连接二二交三三于二连接W，由P二〃平面三二三可得•二二，根据题意证明-二三三一-；，则易求k的值;(3)依题意，若二面角二-三三一」•的大小为二，则二面角二一三三一二的大小为？■:，连接二二过点•二作二二•三交二三于二，过・二作二二-三三于二，连接；山二，证明:二-三三，贝I—二二为二面角二一三三一二的平面角，即一二二二"：，根据已知条件求解即可;法二：由于三二-二二三二-二三三二-刃,以三为原点,射线晶三二.分别为.正半轴，.正半轴，二正半轴建立空间直角坐标系，平面二三三即.二.平面的一个法向量为口，求出平面三的一个法向量为”，根据题意二二::< ::=---=■二十^，化简求解即可.第12页共12页

.已知椭圆;二一.二二二,过原点二作直线・一交椭圆■「于二三两点，-"为椭圆上异于二三的动点，连接,一•二二设直线•：二三的斜率分别为一•.二二一・-一•二二：),过二作直线•二二三的平行线;2,分别交椭圆”.于二二和三F.(I)若二三分别为椭圆.「的左、右顶点,是否存在点-二,使一一•・三二〃:?说明理由.(II)求J一.二的值;(山)求二.二-三二二的值.【答案】(I)不存在点-",使一-•二三=二，说明如下:设二.Ff.依题意，此时•二---三二，则二二==一二.-==一二'■.若―-..三=二：:，则需使二二三-=:，即■.?一：一”：.又点•：在椭圆;上所以十一;二二二,把'「二】一二代入(1)式中解得，丁二二二，且；二，显然与•：为椭圆上异于二三的点矛盾,所以不存在.(II)设二'5二，］，依题意直线•一过原点，则三----…由于P为椭圆上异于•二三的点，则直线P二的斜率--二亍，直线期的斜率一•二二.即一-■：=4^椭圆■「的方程化为.二一：.二二々由于点P和点二都为椭圆.「上的点，则，两式相减得.「一.，两式相减得.「一.」一：7：-J=:,因为点？和点二不重合，所以二(IID方法一:由于「分别平行于直线••也则直线•二的斜率一•二-仁二由于「分别平行于直线••也则直线•二的斜率一•二-仁二设直线•二的方程为'=-二,代入到椭圆方程中，得.二一丁二二二不解得.二二士.设二」.二，由直线•二过原点，则二一：--：.则二二二［一-..--」W：-5.第13页共13页

由于.二二-二二,所以二二二：二一Y:即口吓二二直线•二的方程为——,代入到椭圆方程中，得.二-二二不解得.二二士.同理可得三二二二二三.则二二一三二二二-三.同理可得三二二二二三.则二二一三二二二-三.由(11)问J-•二二一;且一••二:，则一•二二化简得二二-三二二二二二二二j[.即二二-三二二二二.方法二：设「二'二三U二，由直线,；「•；・•都过原点，则二一：-二-二一二.由于「分别平行于直线•二二则直线•二的斜率一•二='直线•而斜率士=-二由(II)问----二二二,可得■----TF二一二由于一•