成信工动力气象学讲义03大气中的波动

1方法波动：质点由于受力的作用围绕某个平衡位置振动(振荡)，而振动在空间的传播形成波动。波动与振动的联系与区别：振动是质点的运动，是仅以时间为自变量的运动，主要属于常微分方程问题(如惯性振荡)；4)波动是以时间、空间为变量的方程，属于偏微分方程问题(如惯性波)。对于空气的微团，若其任何一物理量q仅在x方向呈现周期变化(波动)，则可以用周期函数表q=Acosk(x-ct)-6或q(x,y,z,t)=A(y,z)cos(kx-ot-6) (一维波，直线波，对应偏微分方程中的弦振动)其中A,k,c,o,6皆为波参数。同样：q(x,y,z,t)=A(z)cos(kx+ly-ot-6)(3.3)(二维波，平面波，对应偏微分方程中的膜振动)2q(x,y,z,t)=Acos(kx+ly+mzOt6)(3.4)(三维波，立体波，对应偏微分方程中的空间振动)ei9=cos9+isin9则(3.2)式改写Q=Aei6(复振幅)qq(x,y,z,t)=Qeik(xct) (3.6) 3.7)———(一维)波动的常用表达式称为标准波型法或正交模方法。qq(x,y,z,t)=Q(z)ei(kx+lyOt)q(x,y,z,t)=Qei(kx+ly+mzOt)参数1)振幅：振动所产生的最大位移A=max|q| (3.8) (3.9)3)；9=k(xct)66：初位相3)相速度(波速)c：等位相线(面)移动的速度。dxc=dtdxc=dt9=const等位相线(面)：位相相同的点构成的线(面)。(3.11)k=(3.11)LL6)周期τ：固定位置上振动重复(波形复原)一次所需要的时间。7)频率o：单位时间内振动次数。TOO=2v==kcTO=O=或?t (3.13) (3.14) (3.14)’3．二维波的波数矢K和波速矢C?x?yL其中k=?9,l=?9，K=||=，K?x?yL等位相面沿x、y方向的移速分别为：4dxxc=|\dt)|9=condxxy=|\dt)|y=|\dt)|9=const=lcKk2 (3.16)(3.17) C才cxi+cC才cxi+cyj(波速矢C不服从三角形合法法则)CVCCVC：质点在水平面的一个方向振动，而波在水平面上的另一个方向传播。垂直横波：质点在垂直方向上振动，但波在水平面上传播。V//C即V〉C=V//C即V〉C=0图3.3非线性波的例子——木星大红斑(孤立波)5程组是非线性的，直接求解非常困难。：用微扰法(小扰动法)将方程组线性化，讨论简单的波动(线性波)问题。即对波动采用间接振幅不比波长小很多的波，波动方程组是非线性的(非线性波)，不能用小扰动法。22.小扰动法(微扰法)的基本假定(作法)1)将各种因变量分成两部分，一部分为运动的基本状态，通常与时间t和经度(x)无关；另一部分是扰动部分，它表示各变量相对与基本状态的偏差。即F=F+F'，或F'=FF。3)当扰动量为零时，基本量也要满足原来的方程组和边界条件。4)扰动量(或扰动量的微商)的二次乘积项可以在方程组中忽略(线性化的具体体现)，即?x?y……F'F'=0,F'?F'=0,F'??x?y……对于地球大气运动，进一步可对主要物理量做如下具体假定: v=v',v=0(无平均经向风) w=,w=0(无平均垂直运动)(3.21)p=p+p',p=p(y,z)(平均气压在南北和垂直方向分布不均匀)p=p+p',p=p(z)(平均密度在垂直分布方向分布不均匀)而且u'<<u,p'<<p,而且u'<<u,p'<<p,p'<<p，=0,=0。?x?t633.大气方程组的线性化ddtz大气运动方程组(ddt aaaaaa)(auavaw)1(p')p\p)~|p\p)1p'2pp 1apu=-u=- (平均纬向风是地转风，即基流是准地转的)p=-p=-pg (垂直运动的平均状态是准静力平衡的)(3.24)将(3.21)式代入到(3.22)式，并利用(3.23)、(3.24)式以及微扰法的第4)条假定)z系7|\at+uax)|p-fpuv+g|\at+uax)|p-fpuv+gpw=CL|L|\at+uax)|p+waz」|(aaaa)a0(aaaa)a0axayapauau''1aauau''1ap'ataxpax则有线性化大气运动方程组(又称扰动方程组)：(3.25)(3.25) p'p ppT((aa)''CL2N2'2「(aa)''ap]2)p系的大气运动方程组aa(3.26)apP8(aaa)ah(aaa)ah(3.27)(3.28)其中C2=(d-)RT。aataxaxaxayap3)浅水模式方程组(z系方程组的简化形式)(aaa)ah(aaa)ahaaa(auav) n 94)旋转地球大气中可能出现的波动度力，科氏力。e声波：由空气的可压缩性产生的振动在空气中的传播。11．(水平)声波的波速公式(3.30)(3.30)(??)(??)(??)(??)采用标准波型法(也称正交模方法)求解，即设(3.30)式有下列形式的单波特解：「U]nLP「U]nLP|||「U]nLP「U]nLP||||||||||||||'pe=='Lp」||eik(x一ct)e把(3.31)式代入(3.30)式，并注意下列微分运算关系式：(3.32)(3.32)将此线性代数方程组改写为：(3.33) 这是以U,n,P为变量的线性齐次代数方程组，由线性代数中的Cramer法则可知：此类方程组存在0uc0uc1p p -(c-u)00C(cu) 将此行列式展开，整理后得：(3.36)(3.36)Cramer法则一元n次代数方程。由(3.36)式得波速解：一Cramer法则一元n次代数方程。由(3.36)式得波速解： 将c=u代入(3.33)式，得出扰动振幅为零的解，与原假设(扰动不为零)矛盾，则此解应舍 ——声波的(圆)频率方程象应用：新一代天气雷达2．声波的性质kTk个别特殊情况，一般情况下声波对天气变化无影响。音障：一种物理现象，当物体(通常是航空器)的速度接近音速时，将会逐渐追上自己发出的声波。声波叠合累积的结果，会造成震波的产生，进音障后，周围压力将会陡降。在比较潮湿的天气，有时陡降的压力所造成的瞬间低温可能会让气温低于它的露点(DewPoint)温度，使得水汽凝结速飞行。33．水平声波产生的物理机制xtt?xp'>0,?p'>0(3.30)3?p'>0，则A点左边的气压大于A点右边的气压，即tt?x?x?y?x?y?z另一方面，又AA'区域，?p'>0(3.30)另一方面，又AA'区域，?p'>0(3.30)2?u'<0(AB间质量辐合))AB间的密度(水平)声波产生的内部条件(内因)是：空气的可压缩性及空气运动所伴随的水平辐合辐散(交替变化)。外部条件(外因)：外部压缩引起的气压和密度的扰动。气象意义不大的波动(称为“噪气象“噪音”：指对某种尺度的天气变化过程意义不大的快波(高频波)，例如声波。4.滤除水平声波的条件假定大气是水平无辐散的。3)假定大气是准地转运动的V.gf=const0))|。?p'?t4)假定大气是非弹性的(非弹性近似：在线性化后的连续方程中，令=0，?t5.垂直声波简介定义：空气在垂直方向上受到压缩产生的振动在空气中的传播。??t由于有0??t.3滤波条件2)假定大气是非弹性的。3)假定大气是静力平衡的。处于大气上、下边界附近的空气质点由于某种原因受到扰动后偏离平衡位置，在重力作用下产波速公式的导出采用浅水模式方程组，即已经滤除(水平、垂直)声波，并且不考虑科氏力，假定垂直扰动只在x方向传播(一维重力外波)，则有线性化的重力外波方程组：?u'?0?t?x(3.40)?t?x(3.47)?t?x(3.47)其中C02=gH，C0称为Newton声速(等温大气中的声速，不同于绝热大气或等位温大气)，?t?x?t?x(?22?')'|\?t2-C0?x2)|u=0设u'具有单波解：u'=Ueik(x-ct)(3.43)式代入(3.42)式得：(-ikc)2-C20(ik)2＝0 u) (3.46)00 小结：求波速解的几种方法1)代入法：令线性化方程组中各变量有单波解代入方程组)系数行列式=0)c的代数方程)2)消元法：将线性化方程组变量消元)单一变量的微分方程)令该变量具有单波解)变量为c的代数方程)波速公式3)消元－代入法4)代入－消元法1.2重力外波的性质 cCH80(m.s-1)，快波，天气学意义不重要。又重力外波假设静力平衡，即要求Z/L<<1，对波动而言，流体深度<<波长，重力外波也称为浅水波(水渠波)、(海洋)表面波等。1.3重力外波产生的物理机制成沿x方向的加速度))(设u'|t=0=0)u'|t>0>0,产生水平扰动。另一方面，>0(A点自由面高))>03.<0，A点附近有水平质量辐合AB点自由面升高(h'>0).....(循环过程同上)：初始时刻首先在A点形成的垂直扰动将向右(同时也向左)传播开来，从而形成重力外波。外部条件：边界面上要有垂直扰动。内部条件：垂直扰动在重力作用下，使水平气压(位势)梯度改变及伴有的水平辐合、辐散的交替变化。4滤除重力外波的条件dtp?zpdtp?xdtp?y1)假定大气上、下边界是刚体(固壁)边界，即上、下边界条件是齐次的(|z=0dtp?zpdtp?xdtp?y2)假定大气是水平无辐散的；3)假定大气是准地转运动的；作纯水平运动(=0)。2.2.重力内波1)切变重力内波：发生在不同密度的两层流体交界面上，也称分界面波(interfacialwave)，或KH波(Kelvin-Helmhotlzwave)；偏离平衡位置，在重力作用产生的波动。本章讨论的重力内波为层结重力内波。动画演示：傳播式重力內波(內重力波)2.1重力内波的波速公式1)滞弹性近似：在运动方程组中部分考虑密度扰动的影响，即只保留与重力相联系的密度扰动项；连续方程中忽略密度扰动影响；而热力学方程中保留密度扰动的影响。又称非弹性近似(anelastic2)包辛内斯克(Boussinesq)近似：在滞弹性近似的基础上，若考虑的是浅层运动(Z<<H)，则连续p方程中仍保留与重力相联系的密度扰动项。3)包辛内斯克方程组(z系线性化方程组的包辛内斯克近似)=+fvdu=+fv=fudvp=fu=gdwp=g ?x?z?x?z?x?y?zd9'+d9(z)=0dtdz'9'p=-p94)重力内波方程组dt+p0?x=dt+p0?x=0dw'1?p'9'dtp0?z9dtp0?z9??x?zd9'd9dtdzdtdz ?t?x?t?xd9'dtdz(3.49)’(3.49)4式同乘9)?t|\(3.49)4式同乘9)?t|\9)|+g=0解一(消元－代入法)：先消变量9'，再对u',,p'设单波解。9p0w'=Wei(kx+mz一ot) (3.51)’(3.51)’o= o=ddz ∵K=ki∵K=ki+mkoNokN2.2重力内波的性质主要是垂直横波，双向传播波，但在垂直方向也呈现波动状(例如Ekman层中u,v随z的变化)，cxu低频变化。实例：对流云、波状云、飞机颠簸(间接感觉)。2.3重力内波产生的物理机制条件N2==(d)稳定层结：<d,s>0,N2>0，垂直扰动在净浮力作用下的(浮力)振动在空间的传ds0,N2<0，气块在垂直方向上作加速运动(方向恒定)，永远远离初始平衡位置，无垂直振动，也形成不了重力内波。但层结不稳定的结果将导致层结稳定。的。2)机制分析A点以上从A点流出，A点 二维)重力内波。流云的运动型式相似。：重力内波对小尺度天气变化过程有重要作用。2.4滤除重力内波的条件可采用下列条件滤除重力内波：dSNC)；2)假定大气是水平无辐散的；3)假定大气是准地转运动；4)假定大气只作水平运动，或(垂直)运动状态与z或p无关;5)假定静力平衡。复习：惯性风(圆)，科氏力与惯性离心力相平衡时的空气流动。定义：处于平衡位置的空气质点，由于某种原因受扰动后偏离平衡，在科氏力作用下形成的波动。1.1.波速公式=fv?u''=fv?t?x=fu'(惯性平衡)6?t=?6?t=?z(3.53)?u'??x?z+=0F'=(压力能)其中6:示踪系数(滤波参数)=0静力平衡60准静力平衡=1非静力平衡设波动在x方向传播，则波动解设为(采用代入－消元法)：'u'v'wF 'F=UVWFeizeik(xct) 22其中垂直波数m===其中垂直波数m===z(3.54)式代入(3.53)式得：?t_ikUc=fV_?tikVc=fU(3.55)i6kWc=iFiW+ikU=0(3.58)(3.58)(3.59)(3.59)退化形式。当不考虑气压梯度力而仅有科氏力时，空气质点的水平扰动方程组为：?t??t?v+fu=0?t 设运动呈振荡型，采用试解法(也可采用“复速度”法求解)，可设_it0u=u_it0_it0v=v_it0其中ω为振荡的圆频率。2＋fu=02＋fu=0(3.62)1式代入(3.62)’式得 (3.62)’(3.63)称为惯性频率，而惯性周期为22OfQsinQT=OfQsinQuv.61)2)水平动能方程：tv=-fx+b(3.66)|\x-f)|+|\y+f)|=|\-f)|+|\f)|=f2=f2(3.67)(|\x-f)|+|\y+f)|=|\-f)|+|\f)|=f2=f2(3.67)因此，质点轨迹：(惯性)圆，圆心|\f,-f)|，半径f因此，质点轨迹：(惯性)圆，圆心|\f,-f)|，半径f=f=f质点运动：惯性振荡(风)，运动方向(北半球)顺时针旋转。此类运动在海洋中更重．惯性波的性质cxmscxfkms于慢波。因为科氏参数f=const，对应中尺度运动。：惯性波对中尺度运动有重要影响，但实际33．物理机制?t若某区域有上升运动>0)下层辐合、上层辐散，)水平扰动，u'丰0，对西风扰动变原来的水平散度分布。因此，在科氏力作用下形成的向右(北半球)旋转的惯性振荡，通过水平辐合、辐散及垂直运动的交替变化，在水平方向和垂直方向传播，形成惯性波。44.滤波条件1)不计地球旋转(不计科氏力)。静力平衡。设为水平无辐散。为准地转运动。(?u''?0'利用(3.104)2和得：|_fv=_|?t?x(3.104)力外波的波速公式(3.104)力外波的波速公式设u=Ueik(x-ct)(3.103)得压地转适应过程中有重要作用(详见第四章)。sby波(热带大气)。习题课(一)1．单波(单色波，单纯波)：具有一定振幅、一定频率和一定波长，在时间和空间都是无限的波动。弱，则相互抵消。所以，群波的振幅随时间和空间改变。但群波≠混合波。3．群波的主要性质q2=Qei(k2x-O2t)=Qeik2(x-c2t) (3.105) (3.106)ddt21波包(调幅波)：移速cg=编k/波包(调幅波)：移速cg=编k/2=编k，取极限得： Ogdkc=(3.108)波包(wavepacket)的定义：载波的包络线，即载波最大的振幅点的连线。1)c1)c= d图软件AdvancedGrapher演示:波包4.群速(度)：调幅波(波包)的移速，群波中具有相同振幅点的移速，代表波动能量的传播速度。6.群速的计算式gdk2)cgOgdk2)cgO=kcc+k3)cg=cL4)c=1=c2dOddOdO (3.109) 2)g课堂作业：习题十二第5题(习题十一第10题(P.177)g课堂作业：习题十二第5题(习题十一第10题(P.177)§§8.大气长波(Rossby波)y高空天气图上的特征：自西向东移动(单向性)，移速接近u(慢波)，波长为几千km，绕地球一圈但要注意：通过天气图看到的是气流的流型，并非是波动(质点运动与波动的关系)。西风波的存在又以极简单的数学证明形成这种波的原因，结果，开阔了气象学的一个新的阶段之后，来，已吸引了一大批人来全面开展工作。?x?y?x?yRossby波的波速公式 ?u'惯性波：f=cosnt:f平面近似；长波：f丰const:平面近似，==const，即在f平面上考虑科氏力)惯性波;在平面上考虑科氏力)大气长波。为考虑f的变化(即β项)，将水平运动方程变形(作涡度运算)得： ?y?xv?y?xy无关(即考虑x方向传播的一维波动)，则： 或'=Aeik(x-ct)v'=Beik(x-ct) )将(3.73)式代入(3.71)式或(3.74)式代入(3.72)式得：kcu(3.75)kRossby：波数形式)o=ku-k(3.75)’或(天气学常用表达式：波长形式)若设南北范围有限，可令'=Dei(kx+ly-ot)Rossbyx(3.76)’c=(3.76)’c==u-xkk2+l2——Haurwitz波(若k＝0时，即为经向传播的Rossby波)也有称球坐标系中的二维Rossby波为Haurwitz(侯为治)波。？(2)长波是频散波吗？如何判断？(3)决定长波形成的因子是什么？(4)水平散度对长波的传播会有影响吗？水平横波，单向波，慢波，对大尺度天气变化过程有重要意义。由于绝对涡度守恒((3.69)’式)，水平无辐散((3.68)3)，又称涡旋(慢)波。令(3.76)式中的c=0(即变为静止波或驻波)，则静止长波的临界波长为L=2s动画演示：封閉水盆的駐波uu 代入(3.76)式得 由(3.78)式得：守恒(§7时用位涡守恒)，则有匕'+f=常数。所以，气块B向北，纬度增加，则f个)匕'J即C，产生逆时针环流；度f随纬度变化作用(即β效应)下的传播就形成大气长波(Rossby波)。建立为近代数值天气预报奠定了物理基础。(1)大气中的小尺度运动(水平范围的量级约为10千米)及其伴有的天气(如夏季雷阵雨)都与大气重力内波的活动密切相关;(2)大气中的中尺度运动(水平范围的量级约为102千米)及伴有的天气(如台风)都与大气惯性重力内波的活动密切相关;(3)大气中的大尺度运动(水平范围的量级约为103千米)及其伴有的天气(如冬季寒潮－冷涌，coldwave)都与长波(罗斯贝波)的活动密切相关;(4)而影响全球气候变化的厄尔尼诺现象则与超长波(行星罗斯贝波)和开尔文波的活动有关。正压大气(浅水模式)：惯性－重力外波，正压Rossby波。水平辐散条件下的Rossby波上节回顾：经典罗斯贝波(水平无辐散长波)，β效应动画演示：封闭水盆里的罗斯贝波在β平面上，考虑浅水模式方程组(非线性的)：(3.80)(3.80)其中0=gh。进行涡度运算-，得水平辐散条件下长波满足的涡度方程：进行涡度运算-，得水平辐散条件下长波满足的涡度方程：axay 结论？dt=0(3.83)则得线性化涡度方程：(3.84) av'av'0'ayaxfav'av'0'ayaxf 其中入12==，代表水平散度的作用(相当于(3.82)中水平散度项前的示踪系数)。 设(3.87)具有二维特波解：'=中ei(kx+ly一t)代入(3.87)得： .90) k1(水平散度的作用)使长波的移速减慢。(3.94)c==u-c==u-1xkk2+l2+入21kc=cyc=c (3.96) 如果扰动与y无关或南北范围无限宽，则(3.96)变为：c=cx=u-2c=cx=u-22