浙教版九年级数学下册第1章解直角三角形

第1章解直角三角形1.1锐角三角函数1.1锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义

直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能说出各条边的名称吗？┓C斜边c邻边对边abC┓AB

某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m，扶梯的长度是多少?BAC┓30°7m实际问题

在上面的问题中，如果高为10m，扶梯的长度是多少？

已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？ABC┓在Rt△ABC中,∠C＝90°．当∠A＝30°时,当∠A＝45°时,固定值固定值归纳

在直角三角形中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边与斜边的比值也是唯一确定的吗？想一想所以＝＝Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3所以，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值．观察右图中的Rt△AB1C1，Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的对边与斜边有什么关系？

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即一个角的正弦表示定值、比值、正值．知识要点正弦

在直角三角形中，

对于锐角A的每一个确定的值，其邻边与斜边、对边与邻边的比值也是唯一确定的吗？想一想

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比、∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是一个固定值．归纳

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即一个角的余弦表示定值、比值、正值．知识要点余弦

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即一个角的余切表示定值、比值、正值．知识要点正切

锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数（trigonometricfunctionofacuteangle）知识要点1．sinA，cosA，tanA

是在直角三角形中定义的，∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)．

2．sinA，cosA，tanA

是一个比值（数值）．

3．sinA，cosA，tanA

的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关．提示1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠P的对边是_________,∠P的邻边是___________;

∠M的对边是________,∠M的邻边是___________;2、设Rt△ABC，∠C＝90゜∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，a=5，c=13，求∠B的三个三角函数值.小练习在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠B.这五个元素之间有如下等量关系：ABCcab(1)三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间关系：1.1锐角三角函数（2）30°,45°,60°角的三角函数值在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边,邻边和斜边之间的比值也随之确定.锐角三角函数的定义直角三角形中边与角的关系:锐角三角函数.bABCa┌c锐角A的正弦、余弦、和正切统称∠A的三角函数如图,观察一副三角板:它们其中有几个锐角?分别是多少度?(1)sin300等于多少?┌┌300600450450(2)cos300等于多少?(3)tan300等于多少?请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?做一做ABC30°12sin30°=cos30°=tan30°=23(4)sin450,sin600等于多少?

(5)cos450,cos600等于多少?(6)tan450,tan600等于多少?┌┌300600450450根据上面的计算,完成<特殊角的三角函数值表>老师期望:你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功能来个重新认识和评价.ABC45°11sin45°=cos45°=tan45°=221做一做ACB60°12sin60°=cos60°=tan60°=2做一做特殊角的三角函数值表要能记住有多好三角函数锐角α正弦sinα余弦cosα正切tanα30°45°60°这张表还可以看出许多知识之间的内在联系?例1计算:(1)sin30°+cos45°;(2)sin260°+cos260°-tan45°.老师提示:sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2,其余类推.(1)sin600-cos450;(2)cos600+tan600;计算:练习例2

如图,一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).老师提示:将实际问题数学化.ACOBD┌2.5例3一位同学的手臂长65cm，当他高举双臂时，指尖高出头顶35cm。问当他的手臂与水平成角时，指尖高出头顶多少厘米（精确到0.1cm）？老师期望:sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数的关系,且它更具有灵活变换的特点,若能予以掌握,则将有益于智力开发.1.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.求证:sin2A+cos2A=1.bABCa┌c练习做一做已知∠A为锐角，且cosA=，你能求出∠A的度数吗?2看图说话:直角三角形三边的关系.直角三角形两锐角的关系.直角三角形边与角之间的关系.特殊角300,450,600角的三角函数值.互余两角之间的三角函数关系.同角之间的三角函数关系bABCa┌c┌┌300600450450作业1.计算：(1)tan450-sin300;(2)cos600+sin450-tan300;2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直于两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹角∠BCA=600.求B,C间的距离(结果精确到1m).BCA┐D作业3.如图,身高1.5m的小丽用一个两锐角分别是300和600的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?第1章解直角三角形1.2锐角三角函数的计算

1.2锐角三角函数的计算(1)

特殊角的三角函数值∠A30°45°60°sinA

cos

AtanA

如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动，如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm（如箭头所示），那么木桩上升多少厘米？四个键:sincostan°′″锐角三角函数的计算

∠

AsinAcos

AtanA

当角度为锐角时，随着角度的变化三角函数值的变化探究比大小(A)0＜cosA＜(B)＜cosA＜(C)＜cosA＜(D)＜cosA＜1°时，cosA的值（）☆试试你身手(估算）

当锐角A=49混合计算例.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,已知AB=12cm，∠

A=35°.求△ABC的另两边长，周长和面积（周长精确到0.1cm，面积精确到0.1cm2）.BCA12cm1.2锐角三角函数的计算(2)∠A的对边sinA=斜边

AB

C∠A的对边∠A的邻边斜边回顾锐角三角函数cosA=∠A的邻边斜边tanA=∠A的对边∠A的邻边bABCa┌c互余两角之间的三角函数关系:sinA=cosB，tanA·tanB=1.同角之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1.tanA=ab特殊角30°，45°，60°角的三角函数值.我们可以列表记忆：α0°30°45°60°90°sinαcosαtanα

01100不存在1☆

应用练习1.已知角，求值确定值的范围2.已知值，求角3.确定值的范围1.当锐角A>45°时，sinA的值（）(A)小于(B)大于(C)小于(D)大于B(A)小于(B)大于(C)小于(D)大于2.当锐角A>30°时，cosA的值（）C☆

应用练习1.已知角，求值确定角的范围2.已知值，求角3.确定值的范围(A)小于30°(B)大于30°(C)小于60°(D)大于60°3.当∠A为锐角，且tanA的值大于时，∠A（）B4.确定角的范围4.当∠A为锐角，且tanA的值小于时，∠A（）(A)小于30°(B)大于30°(C)小于60°(D)大于60°C☆

应用练习1.已知角，求值2.已知值，求角3.确定值的范围5.当∠A为锐角，且cosA=，那么（）4.确定角的范围(A)0°＜∠A≤30°(B)30°＜∠A≤45°(C)45°＜∠A≤60°(D)60°＜∠A≤90°

确定角的范围6.当∠A为锐角，且sinA=，那么（）(A)0°＜∠A≤30°(B)30°＜∠A≤45°(C)45°＜∠A≤60°(D)60°＜∠A≤90°DA按键的顺序显示结果SHIFT20917.301507834sin·7=已知三角函数值求角度，要用到sin，cos，tan的第二功能键“sin-1

cos-1，tan-1”键例如：已知sinα=0.2974,求锐角α．按键顺序为：如果再按“度分秒键”就换算成度分秒，°′″即∠α=17°18′5.43″按键的顺序显示结果17°18′5.43″已知三角函数值求角度，要用到sin，cos，tan的第二功能键“sin-1,cos-1，tan-1”键，例如：已知sinα=0.2974,求锐角α．按键顺序为：即∠α=17°18′5.43″2ndf2094sin·72ndfDMS例如,根据下面的条件，求锐角β的大小（精确到1″)(1)sinβ=0.4511；(2)cosβ=0.7857；(3)tanβ=1.4036（1）按键盘顺序如下:按键的顺序显示结果DMS2ndfsin0.45112ndf26°48′51″即∠β=26°48′51″（其余自己算一算）例如图,工件上有一V型槽，测得它的上口宽20mm，深19.2mm.求V型角(∠ACB)的大小(结果精确到1°

).∴∠ACD≈27.5°

.∴∠ACB=2∠ACD≈2×27.5°=55°.∴V型角的大小约55°.第1章解直角三角形1.3解直角三角形本节课研究的问题是：如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？

如何将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系解直角三角形？

解直角三角形的依据是什么？（1）三边之间关系：勾股定理（2）锐角之间关系：两个锐角互余（3）边角之间关系：三角函数

引入什么是仰角、俯角？如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？什么是坡度、坡比？如何将实际问题转化为解直角三角形的问题？

在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；

从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即

坡度通常写成1:m的形式，如i＝1:6．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有

显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．＝

tanα．1、学生探究：在Rt△ABC中，若∠C=90°，问题1：两锐角∠A、∠B的有什么关系？问题2：三边a、b、c的关系如何？问题3：∠A与边的关系是什么？2、数学知识、数学运用解直角三角形有下面两种情况：（1）已知两条边求直角三角形中的其它元素；（2）已知一边及一角求直角三角形中的其他元素.例1如图，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，大树在折断之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折断后倒下部分的长度为13+5=18（米）.答：大树在折断之前高18米.5m12m例2如图，在相距2000米的东、西两座炮台A、B处同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离.（精确到1米）ADCB4002000例3如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°.求旗杆BC的高.

解：在Rt△CDE中，CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80.BC=