高数课件北工大102对坐标的曲线积分

第二问题的

curvilinear两类曲线积分之间的关1第十章曲线积分与曲面积分y一、问

MiMi

变力沿曲线所作的

((,(,

0 0常力沿直线所作的功WF0,1(11 2 BMi1 yMiLBMi1 yMiLM21M0 nW nn 取极限W 3二1.

的概(),((11 2(2,2把分成个有向小弧段Mi1Mi(i1,2,⋯ii4如果当各小段长度的最大值时n的极限总存在,则称此极限为(或称第二类曲线积分.记作

n0

n0类似地定义L(,y)dy 0i称(,y)在有向曲线弧上对坐标的曲线积52.2.存在(,),(,3.组3.组合(, (, (,(,

Fd

点积” 其中F

ds64物理意 4物理意((,d�sd�s(dx,WF (iABAB755.推空间有向曲线弧Γ,PdxQdy i i i (, 0 i i i (, 0 i i i (, 086.2

1

设是与有向曲线弧, (,(, LL (,(, L9三 的计思想是化为定积分因此下限应是起点的坐标,上限是终点的定理(),( 连续x

由变到时,点(,从的起点沿运动到有一阶连续导数且2(t2(t0,则LL:x,(,(,Lyy 起点为a终点为 (,(,bLb {[,(a

[

Lx (( {[(x[(cx推广:: 起点,终点(,(,(,

计算

,

2yx解(1yx

yy2L

x

1 1

1121

3x 3 计算,其中L2xydx2,xy1

y2 LdxL

121

y4d5其中是由点(1,1,1到点(2,3,4的直线段x y z解直线

x1ty12t,z1t0,t1,111计算

是上半圆周 x2,反时针方向(,0)xcos,y 点对应t 点对应t原式

cos2td(a

22 Lx(y(,0(2)y

从到原式

axdx a23

(,位于原点(0,0,0)处的电荷产生的静电场中,xx(t),yy(t),zz(t),t从点移到点,设对应t,对应t �

W⌒F设点)的向径

�rij r|r

根 定律,位于点处的单位正电荷受 q的电场 WW明,3|x2y2z�q�r 3(x2y2z2 zz13(x2y2(x2y2z2

F rr

�ij▲

qr()dr r

r() 其中r(),r()分别是点和到原点的距离补充,当平面曲线光滑的,x轴对 相反时, L(,L

x,)其中是曲线的上半平面的部分,对(,其中是曲线的上半平面的部分,对(,的讨论也有相应的结论L1计算

dxdy其中为|x||y|y| 直接化为定积分计算由曲线积分的性质.

yxy xy

xy

xy

dxdy

dx

dx

dx d d

xy

(1x)

11( 1 )1 d )1 1 112

xt 0x(1x) 计算

dx 法二利用对称性质,

xyxy

xxy

ABCDA|xy|1 对|xy|

曲线关于轴对称,

y|计算

dx

对

y|y|

|xy|

xy

xy所以

dxdy |xy|

xy

2(t)2四、两类曲线积分之间的线弧为为xt

L(Pcos2(t)222(t)22(t)2 上点x,y处的切线向量的方向角为则(PcosQcos�� �

A

�drtdsy,,,) 为向量在向量上的投影 L(Pco