基本数学思想方法在小学高段教材中的渗透

基本数学思想方法在小学高段教材中的渗透第1页，共62页，2023年，2月20日，星期四小学数学高段教材分析

—基本数学思想方法在小学高段教材中的渗透

沙区教研室陆红梅第2页，共62页，2023年，2月20日，星期四从《义务教育数学课程标准》（2011年版）谈起10个核心概念:

数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识“四基”

:

基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验第3页，共62页，2023年，2月20日，星期四“三维目标”:

知识与技能、过程与方法、情感态度价值观明确指出：数学教学活动中“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。

第4页，共62页，2023年，2月20日，星期四教育应该追求什么？把学过的内容遗忘以后所剩下的东西

——爱因斯坦第5页，共62页，2023年，2月20日，星期四

小学数学思想方法

比较与分类分析与综合抽象与概括归纳与演绎集合与对应类比假设转化极限统计符号化随机思想

……第6页，共62页，2023年，2月20日，星期四

一、比较与分类（一）比较比较是一切理解和一切思维的基础。

——乌申斯基

第7页，共62页，2023年，2月20日，星期四

1.运用比较，揭示概念的内涵和外延第8页，共62页，2023年，2月20日，星期四分别找出12块糖、4枚棋子和8根小棒的

第9页，共62页，2023年，2月20日，星期四2.运用比较，辨析相似或相近的概念第10页，共62页，2023年，2月20日，星期四3.运用比较，沟通新旧知识的联系第11页，共62页，2023年，2月20日，星期四4.运用比较，分析错误原因2.5×4÷2.5×4=10÷2.5×4=4×4=16

2.5×4÷2.5×4=10÷10=1

×（2.5×4）÷（2.5×4）=10÷10=1

第12页，共62页，2023年，2月20日，星期四小刚的体重是36千克，正好比妈妈的体重轻。妈妈的体重是多少千克？36÷（1-）=54（千克）

36×（1+）=48（千克）×小刚的体重是36千克，妈妈的体重比小刚重。妈妈的体重是多少千克？

第13页，共62页，2023年，2月20日，星期四（二）分类

在比较的基础上，根据事物的某一本质属性进行划分，将事物区分为具有一定从属关系的不同等级、层次系统，这就是分类。分类是揭示概念外延的一种逻辑方法。

第14页，共62页，2023年，2月20日，星期四真分数、假分数和带分数的关系

真分数分数整数（分子是分母的倍数）

假分数带分数（分子不是分母的倍数）

第15页，共62页，2023年，2月20日，星期四一根绳子的和米哪个长？

第16页，共62页，2023年，2月20日，星期四

二、分析与综合分析是把整体分解为部分，把复杂的事物分解为简单的要素后分别加以研究的一种思维方法。综合是把对事物的各个部分的认识联系起来，从整体上认识事物本质或规律的思维方法。

第17页，共62页，2023年，2月20日，星期四1.在概念、性质、法则及公式的教学过程中应十分重视分析与综合第18页，共62页，2023年，2月20日，星期四2.在计算教学中应十分重视分析与综合

［2÷（+）］×（0.125-）=［2÷（+）］×0=0第19页，共62页，2023年，2月20日，星期四3.在应用问题教学中应十分重视分析与综合张老师有50分和80分的邮票各2枚，他用这些邮票能付多少种邮资？

第20页，共62页，2023年，2月20日，星期四4.分析法和综合法分析法：从整体（问题）入手综合法：从部分（条件）入手第21页，共62页，2023年，2月20日，星期四三、抽象与概括抽象就是透过现象，深入里层抽取事物本质的过程和方法。概括是在认识事物的过程中，把研究事物的某些对象的相同属性综合起来，作为这一类事物的特性推广到一般的思维方法；或者是把研究对象的所有本质属性特征加以综合，从而形成对该事物的整体认识的过程。

第22页，共62页，2023年，2月20日，星期四四、归纳和演绎从个别的、特殊的的判断出发给出具有一般性结论的思维形式叫做归纳。

以某类事物共有的属性作为前提，推出其中的个别事物也具有这一属性的过程叫做演绎。

第23页，共62页，2023年，2月20日，星期四五、集合与对应把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。

对应指的是一个集合中的某一项在性质、作用、位置上跟另一集合中的某一项相当。

第24页，共62页，2023年，2月20日，星期四

对应的基本形式有：数形对应一方面，许多抽象的数学概念和复杂的数量关系，借助图形式问题直观化、形象化、简单化；另一方面，通过运用数量关系的公式、法则、计算等手段，可使较复杂的平面或空间图形转化为较为浅显的数量关系来处理。第25页，共62页，2023年，2月20日，星期四教学中的渗透点：用好“数尺”“数线”或“数轴”，感知数与形的结合借助线段图，直观形象地理解抽象的数量关系借助于“面积模型”理解分数及其运算利用直观模型帮助学生理解小数乘除法的算理第26页，共62页，2023年，2月20日，星期四第27页，共62页，2023年，2月20日，星期四第28页，共62页，2023年，2月20日，星期四利用直观模型帮助学生理解分数乘除法的意义和算理渗透直角坐标系思想，初步感知函数关系与图像的结合第29页，共62页，2023年，2月20日，星期四量量对应集合、函数、坐标等问题都以这一思想为基础。

利用数量间的对应关系来找到解题思路或线索，也是对应思想。第30页，共62页，2023年，2月20日，星期四

有5盒巧克力，每盒装着同样多的巧克力，从每盒拿出15个之后，剩下的正好相当于原来的两盒，原来每盒有多少个巧克力?

第31页，共62页，2023年，2月20日，星期四量率对应通过问题中具体数量与抽象分率之间的对应来分析问题和解决问题的思想。第32页，共62页，2023年，2月20日，星期四函数对应在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个变化的值，y都有唯一确定的值与之对应，y就叫做x的函数。第33页，共62页，2023年，2月20日，星期四依次表现在以下几方面：（1）变量思想的渗透

3=□8+4=□5=□

（2）用字母表示数渗透函数思想第34页，共62页，2023年，2月20日，星期四（3）函数思想在正反比例教学中的渗透正比例和反比例就是两种特殊的函数关系。函数的表示方法：数值表示（表格）图像表示解析表示（关系式）第35页，共62页，2023年，2月20日，星期四圆的直径和周长。

=π（一定），所以，圆的直径和周长成正比例。三角形的面积一定，它的底和高。底×高÷2=面积底×高=面积×2（一定），所以，它的底和高成反比例。正方形的边长和面积。边长×边长=面积=边长（不一定），所以，正方形的边长和面积不成正比例。第36页，共62页，2023年，2月20日，星期四某地一位学生通过长期的观察和记录，发现蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系，即蟋蟀一分钟叫的次数除以7再加3等于当时的气温。如果用a表示蟋蟀一分钟叫的次数，用b表示当时的气温，则可以写出如下关系式：b=a÷7+3。第37页，共62页，2023年，2月20日，星期四

六、类比

类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。波利亚：类比是一个伟大的引路人，它是获得发现的伟大源泉。

第38页，共62页，2023年，2月20日，星期四一个多面体有两个全等的面互相平行，并且不在这两个面上的所有棱都互相平行，那么这个多面体就叫做柱体。这两个全等的互相平行的面叫做柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的距离叫做拟柱体的高。柱体统一的体积计算公式是V=Sh。第39页，共62页，2023年，2月20日，星期四七、假设假设就是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾加在适当调整，最后找到正确答案的一种解题思想方法。第40页，共62页，2023年，2月20日，星期四分数应用题鸡兔同笼问题

判断题“一种冰箱先提价20%，然后又降价20%，现价与原价价格相等”

第41页，共62页，2023年，2月20日，星期四八、转化为了谋求一个问题的解决，通过变形，将它归结为一类较熟知的简单的问题，再通过对简单问题的解决，把解的结果作用于原问题，从而使原问题获得解决，这种解决问题的思想方法成为转化，也叫化归。转化思想的基本形式有：化生为熟、化难为易、化繁为简、化整为零、化曲为直等。第42页，共62页，2023年，2月20日，星期四

数学家往往不是对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，甚至把它转化为已经得到解决的问题。

——

路莎·彼得第43页，共62页，2023年，2月20日，星期四

九、极限

事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。极限作为“质变的关节点”，是事物转化的重要环节。

《庄子·天下》：一尺之棰，日取其半，万世不竭。刘徽：割之弥细，所失弥少。割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣。

第44页，共62页，2023年，2月20日，星期四十、统计系统是指由若干有关联的要素构成具有特定功能的有机整体，统计思想方法便是要求人们从系统要素相互关系的观点，从系统与要素之间、要素与要素之间，以及系统与外部环境之间的相互关联和相互作用中考虑问题，描述或推断出客观事物在数量上的特点。

第45页，共62页，2023年，2月20日，星期四由此延伸，把几个概念通过联系来整体把握，由具体到抽象，再由抽象到具体，发现其规律，更好地理解和掌握概念及其相互关系，这也是统计思想方法的体现。

第46页，共62页，2023年，2月20日，星期四

奇数

2的倍数偶数倍数3的倍数

5的倍数倍数和因数质数因数合数

1

第47页，共62页，2023年，2月20日，星期四十一、

符号化

用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号化思想。

第48页，共62页，2023年，2月20日，星期四学好数学的关键之一就在于如何做好“数学的符号语言”与“数学的非符号语言”之间的转化。

——郑毓信什么是数学？数学就是符号加逻辑。

——罗素第49页，共62页，2023年，2月20日，星期四符号意识能够理解并且运用符号，来表示数，数量关系和变化规律。

知道使用符号可以进行运算和推理，另外可以获得一个结论，获得的结论具有一般性。

第50页，共62页，2023年，2月20日，星期四培养学生的符号意识首先，让学生在解决问题中经历符号化的过程，理解数学符号的意义，体会数学符号的作用。第51页，共62页，2023年，2月20日，星期四学生已经明确了用第几组第几个来确定自己在教室中的位置。师：下面，请各小组的小组长站起来，汇报你在教室中的位置是第几组第几个，同学们把它们记录在练习本上。（12个小组长汇报，学生记录，但明显地跟不上小组长汇报的速度，开始嚷嚷“太快了”“慢一点儿”）师：你们为什么不写了？有什么体会？生1：说得太快了，我们跟不上。生2：每一个人都要写第几组第几个太麻烦了。（学生纷纷点头“就是的”“就是的”）第52页，共62页，2023年，2月20日，星期四师：大家都会用第几组第几个来确定自己在教室中的位置，但感觉到在书写时有些麻烦。能用一种简明的方式表示吗？自己想一想，再把你的想法与小组内的同学交流一下。（学生思考、交流，教师请5人板书）生1：1.2生2：1/2生3：一组第二个生4：1.B生5：表格法（略）师：同学们都能够开动脑筋，想出这么多种办法，非常好。现在比较一下，你认为哪种方法最简明？第53页，共62页，2023年，2月20日，星期四生1：第一种最简明。生2：第二种也简明。生3：第一种和第二种一样简明。师：大家同意他们的看法吗？（同学们纷纷表示赞同）师：我们一起来看第一种。对于这种方法，你认为还有什么不合理的地方吗？生1：跟小数1.2太像了。生2：第二种像2月1日，我妈妈给我签字就是这样写的。师：这种方法可以怎样改进一下呢？生：把小数点改成逗号就行了。（教师板书“，”）师：怎样表示出它们是一对数呢？在这一对数的两边打上括号，表示它们是一对数。（边说边板书）

……

第54页，共62页，2023年，2月20日，星期四教学片段

教师在大屏幕上展示了整齐摞在一起的4本相同的《中外童话》，并出示式子4a。师：请同学们想一想，在这里，a可以表示什么？4a又可以表示什么？学生思考片刻，纷纷发表自己见解。生1：a可以表示1本《中外童话》的价钱，4a表示4本《中外童话》的总价。生2：a还可以表示1本《中外童话》的页数，4a就表示4本《中外童话》的总页数。生3：a也可能表示的是1本书的厚度，4a表示的就是这4本书的总厚度。生4：如果1本《中外童话》的字数用a表示，那么4本《中外童话》的总字数就能用4a表示。第55页，共62页，2023年，2月20日，星期四师：同学们说得真好！（屏幕上的4本《中外童话》消失了，4a被放大，占据了整个画面）大家可以联系自己的生活实际再想一想，4a还可以表示什么呢？生1：可以用a表示1千克苹果的价钱，4a表示的就是4千克苹果的总价。生2：我用a表示1张课桌桌面的面积，4a就表示4张课桌拼在一起的桌面总面积。生3：我们1个学习小组有4个同学，那么4a就表示a个小组一共有多少个同学。生4：……（下课铃声响了，学生意犹未尽，还围着老师说个不停）第56页，共62页，2023年，2月20日，星期四其次，培养学生在学习数学和应用数学时，在独立思考和与人交流时，都能经常地、主动地甚至创造性地使用符号。第57页，共62页，2023年，2月20日，星期四已知三角形的面积为40平方厘米，三角形的底为16厘米，求三角形的高是多少厘米？

圆的半径从2厘米增加到