场论复变函数

场论复变函数第1页，共30页，2023年，2月20日，星期四复数简介1.复数的起源

复数的出现，它不是数学史上具有里程碑性质的重大事件，但同样曾长期引起人们的困惑，而最后又带给了人们光明和成功

从复数被提出---200多年迷茫，人们使用它，但又拒绝承认它---从虚无飘渺的数---变为实实在在的数，并在现代数学和开学技术领域得到广泛应用。第2页，共30页，2023年，2月20日，星期四2.复数的应用代数方程解的存在性，得到了圆满的解决；复数的分式线性变换，成为研究几何的主要代数工具；解析函数方法与理论进入了物理学及某些实用工程学；黎曼曲面的概念与理论，便是当代数学中流形概念的最早的雏形；复数在几何，三角，物理上的应用。

第3页，共30页，2023年，2月20日，星期四3.复数的推广1843年，爱尔兰数学家—哈密顿，提出了一种新型的数：四元素.现在许多领域应用，连哈密顿本人也始料未及。

其意义;

（1)它是第一个发现的乘法不可交换而可以作除法的数系，形成了一个在实数域上四维线性空间中的代数；（2）物理、力学与应用数学，特别是在包含描述三维空间的旋转的计算，当代计算机图形学等方面，也扮演着一个重要的角色.第4页，共30页，2023年，2月20日，星期四

场论场：发生物理现象的空间部分称为场，场是物理量的空间函数。它分为：数量场；矢量场；张量场

场的两个显著特征：（1）场是物理的客观实在。（2）场可以随时间和空间联合变化不随时间变化为稳定场，否则为不稳定场。等值面：数量函数取相同数值的点连接起来构成的一个曲面矢量和矢量理论：它是场论的基础知识，有广泛的应用背景和深刻的物理意义如“信息工程中语音、图像和编码，均可采用高维矢量

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梯度是数量场在空间最重要的微观变化量。即，在空间某点的数量场可向各种不同方向做出变化，于是变化方向成了研究数量场的独有特色定义：若在数量场中的一点处，存在这样一个矢，其方向为函数在点处变化率最大的方向，其模也正好是这个最大变化率的数值，则称矢量为函数在点处的梯度应用

1.“瞎子爬山”的思想；

2.最优化问题。第6页，共30页，2023年，2月20日，星期四

散度是矢量场重要的微观测定之一通量：它表示矢线穿过曲面的总量究其实质，是由于力线背后的源在起作用，为了解“源”在内的分布情况以及“源”的强弱程度等问题引入矢量场的散度概念.散度的定义：散度为数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率说明：在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处的强度第7页，共30页，2023年，2月20日，星期四定理:

在直角坐标系中，矢量场

在任一点处的散度为

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旋度旋度是矢量场的另一重要的微观测度，是一个矢量环量：设有矢量场，则沿场中某一封闭的有向曲线的曲线积分叫矢量场中按积分所取方向沿曲线的环量实际背景：在力学上一质点沿封闭曲线一周，F力场所做的W功，就是一个典型的旋量。

第9页，共30页，2023年，2月20日，星期四旋度的定义：若在矢量场中的一点处存在这样的一个矢量，矢量场在点处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值正好就是，则称矢量为矢量场在点处的旋度。即：旋度矢量在数值和方向上表出了最大的旋量面密度。总之：梯度、散度、旋度都是客观量，为使其表达更为简洁、合适，对不同的几何架，应采用不同的坐标，就应引入正交曲线坐标系。第10页，共30页，2023年，2月20日，星期四§1.1.1复数的基本概念

设，为两个任意实数，称形如的数为复数，记为，其中满足，称为虚数单位.实数和分别称为复数的实部和虚部，记为，.各数集之间的关系可表示为第11页，共30页，2023年，2月20日，星期四设与是两个复数.如果，则称与相等.由定义可得：.设是一个复数，称为的共轭复数，记作.显然，.思考：复数是否可以比较大小？第12页，共30页，2023年，2月20日，星期四§1.1.2复数的四则运算

设复数，，定义与的四则运算如下：加法：减法：乘法：除法：复数满足四则运算规律：加法交换律、第13页，共30页，2023年，2月20日，星期四加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对于加法的分配律.1.1.3共轭复数的运算性质：（1）（2）（3）（4）（5）第14页，共30页，2023年，2月20日，星期四

（6）（7）为实数.例1化简.

解：.第15页，共30页，2023年，2月20日，星期四例2

设，求及.

解：

所以

第16页，共30页，2023年，2月20日，星期四例3

设是任意两个复数，求证：

证：利用公式可得

第17页，共30页，2023年，2月20日，星期四§1.2复数的几何表示一个复数可唯一地对应一个有序实数对，而有序实数对与坐标平面上的点是一一对应的.所以，复数全体与坐标平面上的点的全体形成一一对应.即我们把坐标平面上的横坐标记为实轴，纵坐标记为虚轴，这样整个平面可称为复（数）平面.今后将复数与复平面的点不加区分.第18页，共30页，2023年，2月20日，星期四图1.1图1.2由图示：的向量来表示（如图1.1）,与分别是在轴与轴上的投影.复数与关于实轴对称（如图1.2）.第19页，共30页，2023年，2月20日，星期四

§1.2复数的三角表示§1.2.3复数的模与辐角复数的模如图1.1中的向量的长度称为复数的模，记作或，即复数的辐角设复数对应的向量为（如图1.1）,与实轴正方向所夹的角，称为复数的辐角,记作，即.

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并规定按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负.用记号表示的所有辐角中介于与之间（包括）的那一个角，并称它为的主辐角，即.从而我们可以用反正切函数来刻画.由定义我们有：.复数的三角表示式称为复数的三角表示式.第21页，共30页，2023年，2月20日，星期四例1

求和.解

第22页，共30页，2023年，2月20日，星期四例2

求的三角表示式.解

因为,所以

设则又因为位于第II象限，所以,于是第23页，共30页，2023年，2月20日，星期四1.1.4.复数的幂与根

1.复数的乘幂设为正整数，个非零相同复数的乘积，称为的次幂，记为，即若，则有当时，得到著名的棣莫弗（DeMoivre）公式第24页，共30页，2023年，2月20日，星期四例7

求.解

因为

所以例8

已知，求.解因为

第25页，共30页，2023年，2月20日，星期四所以第26页，共30页，2023年，2月20日，星期四2.复数的方根

称满足方程的复数为的次方根，记作或记作.例1

解方程.解