向量的加减与数乘

BC①掌握向量加法、减法的运算，并理解其②掌握向量数乘的运算及其几何意义，理③了解向量线性运算的性质及其几何意CB（一） 的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB，注意起点， P P EF、GHABCDABDCBCADO

AO GGADFDFFCGOOHAEBHBHHCAGAOa平行于向量bab．：⑹用向量表示点的位置一定点O和向量a，过点O作有向线段OAa，则点A相对于点：位【例1】aba＝bAB与CDABCD 【例2】下列命题中正确的有 ABCDABDCAB与CDABCDa与bb与ca与c b bC．R

【例3】

aaaa0a

则aaa0；③若a与平行且a1，则aa0．上述命题中，假命题个数是 ab abA．2ba

B．2ba

C．2aa

D．2aaaa

，则abaabbcacaab

且a∥b⑤若a∥b，b∥c，则a∥c； 【例4A1A2A3A8是O的8A1A2A8及O这9意两个为起始点和终点的向量中模等于半径2倍的向量有多 AA7

ABB．ABABAC2AC2ABBCAB （一）

CbbacbbacOabbabbababa

BAa,bAABaBCbACb的和（或和向量ababABBCAC

aABCDACab，这个法则叫做向量求和的平行aabb(abcaba0a00an个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．ddaabOaAaa的相反向量，记作a．⑵差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置【例5（2009PAPBPAPBPC设P是△ABCPAPBPAPBPC

PCPA

PBPC ABAB B．ADABABAD D．ADCBABAD【例6】（2006）D是ABC的边AB上的中点，则向量CD 2

B．BC1BCBC1

C．BC1D．BCD．BC1BA【例7（2008DC2BD,CE2EA,AFDDC2BD,CE2EA,AFADBEADBE 【例8acacDebEm ababebd【例9⑴7(ab)8(ab)

2(a2bc)1(4a3b6D D 如图，D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则 ADBEADBECFBDCFDFADCEADCECFBDBEFC已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2ACCB0，则OC

OA

1OA22OA2OA1【例12】如图所示，E、FABCDAC、BDABa,CDcEF【例13】已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2ACCB0，则OC（

OA

1OA22OA2OA1【例14】ABCDEFADBCEF1ABDC2【例15】⑴已知ABCD的两条对角线交于点OABaADba和bBDAO⑵已知□ABCD的两条对角线交于点O设对角 C CbOObOOa 【例16】P是正六边形OABCDE的中心，若OAaOEbab表示OB

、 P P 【例17】(2008 在△ABC中，ABc，ACb．若点D满足BD2DC，则AD 22b1

5c5c2

2b12b11b2AACAEACAEABCDEF分别是边CDBCR，则

，其中【变式】证明：若向量OA,OB,OCA、B、C共线，当且仅当存在实数满足等式1，使得OCOBOA．AB BABm如图，在△ABC中，点OBCOABABmM，NA

，ACnAN，则mn的值 NBNBOC【变式】ABCD中，EF分别是边CDBCBF

1

，DE

b若ACAEAF，其中，R，则 AEDE ABCDEFAC,CEMNAMCNrBMN r【变式】证明：若向量OA,OB,OCA、B、C共线，当且仅当存在实数B满足等式1，使得OCOB B （一）定义：实数a的乘积是一个向量，记作a，且aa<教师备案>判断正误：已知，R①(ab)ab（√） ②()aaa（√）③(a)()a（√） ④ab()(ab)（×）ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一的一个实数ab．aaa0aaa0a

k【变式】设a，b，cab与c共线，且bcabbac【变式】已知a,b是不共线的向量，AB2a5b，BCa8b，CD3(ab)，则A、B、C、D四点中 【变式】设a,bAB2kak22)b，BCab，CDa2bA、B、DOCO 【例19】ABCDE、FBC、DCGDE、BFABaADbab

、CG GEGEAB【变式】如图，在ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB上的中线，它们交于点G，则 AFEGFEGDBGBG2DGDG12

CG1DA2FC1 【变式】ABCDEM、N、P、QAB、CD、BC、DEK、HMNPQKH1AE4AMKMKPHQ 【变式】E、FABCDAD、CDBE、BFAC分别交R和点TARRTTC．(向量法) TRB【变式】ABCDEFMNBCADBDACOMN的中点，OEF的中点．MNO MNO 在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若ACa，BDb，则AF( EAA．1a1 C．1a1

B．2a1 D．1a2 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若ADxAByAC，则x ， AOO C3【变式】（2009年高考改编）若等边ABC的边长为23

MA，平面内一点M满足CM1CB2CA， MA MB（用CBCA向量表示MBAEM EMA，方向平行于向量(ABAC)(0的直线过ABCBAC|AB |ACAB|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PAPBPCPAPBPC

为ABCPAPBPBPAPBPBPCPCPAPAPBPC0P为ABCGO1(GAGO1(GAGB

3

O为ABCGOGO1(GAGBGC)(GAGO)(GBGO)(GCGO)0即OAOBOC0，知O为ABC若O为ABC1(GAGBGC1(3GOOAOB OAOBOCOA2OE01(GAGBGC)GO3【例20】在OAB中，M为OB的中点，NAB的中点，P为ONAMm【变式】⑴已知3(ma2(m2a4(mab0m

APAP2aba3b72ab【变式】若O是ABC内一点，OAOBOC0，则O是ABC的（ AOE OED【变式】（2003

AC

)，则P的轨迹一定通过ABC的

AC 【变式】若点O是△ABC的外心，且OAOBCO0，则内角C的大小 【变式】已知点G是ABCGAB、ACM、NAMxABANyAC113 ANNMG 非正△ABC的外接圆的圆心为OHOHm(OAOBOC，m的值．【变式】如图，设G为OAB的重心，过G的直线与OA,OBP和Q，已OPhOAOQkOBOAB与OPQS和TOQPG QPG⑴113；⑵4S≤T≤1S 【例21】ABCDEFADBCEF1ABDC2FCFDEBA【例22】E、FABCDAC、BD已知ABa,CDc，求向 FDFA【变式】(2008年高考ABCDACBD交于点OE是线段ODAE的延长线与CDFACaBDb

A．1a1