信息光学导论第五章

第五章傅里叶变换光学与相因子分析方法5.1衍射系统波前变换现代光学的重大进展之一，是引入“光学变换”概念，由此发展而形成了光学领域的一个新分支——傅里叶变换光学，泛称为变换光学(transformoptics)，也简称为博里叶光学，利的条件，去深刻而灵活地掌握现代变换光学．◆衍射系统及其三个波前如如图所示，一个衍射系统以衍射屏为界被分为前后两个空间．前场为照明空间，充满照明光波；后场为衍射空间，充满衍射光波．照明光波比较简单、常为球面波或平面波，这两种典型波的等幅面与等相面是重合的，属于均匀波，其波场中没有因光强起伏而出现的图样．衍射波较为复杂，它不是单纯的一列球面波或一列平面波，其等幅面与等相面—般地不重合，属于非均匀波，其波场中常有光强起伏而形成的衍射图样．在衍射系统的分析中，人们关注三个场分布：其中，入射场(x,y)是照明光波到达衍射屏的波前函数；出射场(x,y)是衍射屏的透1222HFK常见的傍轴情形下，其表达式为其积分核为eikr，这是一个球面波的相因子形式．换言之HFK理论是—个关于衍射的球面波理论——衍射场是衍射屏上大量次波点源所发射的球面被的相干叠加．◆衍射屏函数及其三种类型我们已经同多种衍射屏有过交道，现在给山衍射屏函数的一般性定义，以定量地描述(x,y)=2(x,y)=t(x,y)ei(x,y)(x,y)1数，含模函数t(x,y)和辐角函数(x,y)．唯象地看，实际上的衍射屏可分为三种类型，振幅型、相位型和相幅型．若(x,y)为常数，仅有函数t(x,y)，则该衍射屏为振幅型，凡孔型衍射屏均系振幅型．若t(x,y)为常数，仅有函数(x,y)，则该衍射屏为相位型，这在此21相位分布(x,y)也有别于入射场的(x,y)。1◆什么是衍射引入屏函数以后，可以将衍射场积分表达式改写为破缺．现在我们可以这样表述，当光在传播过程中，由于某种原因而改变了波前的复振幅分射现象因果关系的一种普遍和本质的概括．逐步深入而形成的对光波衍射的普遍认识，尤疑将对实际衍射问题的分析起到有效的指导作用．比如，一张含有字符形象或景物图像的灰度胶片置于光场中，则将发生衍射；一张浮雕型透明胶片置于光场中，也将发生衍射．这些事情现在看来都不足为怪了。5.2相位衍射元件一一透镜◆透镜的相位变换函数前函数的衍射屏．这里，我们将以波前光学的眼光分别导出它们的屏函数．在光学系统中，透镜有两方面的作用，参见图***(a)．一方面它是一个光瞳，起限制波前的作用．仅允许入射光波中央那一部分波前，进入光学系统．另一万面它起变换波1前的作用，比如，它将发散的球面波前，改变为会聚的球而波前，当然，更为实际的2情形是改变为偏离球而的像差波面；总之，透镜改变了波前的聚散性．以往的经典光0实，从波前光学的观点出发，可将透镜这两方面的性质，用一个复振幅透过率函数(屏函数)如图(b)所示，在透镜前后各取一平面(x,y)，设光场的入射波前函数和透射波前函数分别为于是，透镜的屏函数表现为这里，r=x2+y2．D是透镜孔径．设透镜材料对入射光是透明的，并忽略透镜对光的吸收、反射等因素造成的光强的损失，则d。这样，透镜就成为纯相位衍射元件，其孔径0成为下面，我们在傍轴且薄透镜条件下导出透镜屏函数。如图***(b)所示，由于透镜很薄，光线入射点与出射点的坐标相近，即光程可近似地沿透镜光轴方向来计算．于是，相位差函数以光铀处透镜厚度d为参考值，改写0这里是一个与(x,y)无关的常数，它不影响波前相位分布，常可略去不写．在傍轴条件下，透镜前后两小段气隙的几何厚度和，分别为2其中，r,r分别是透镜前后两个表面的曲率半径，按一般的正负号约定，它们可取正值或如，对于双凸透镜r>0而r0．上述表达式普遍地适用于各种透镜．于是，2最后，给出透镜作为相位衍射元件其相位变换函数为或厚透镜情形，相因子就没有那么简单了。5.3波前相因子分析法◆相因子分析法概述原则上说，根据菲涅尔---基尔霍夫衍射积分公式，可由衍射屏的出射波前(x,y)，2xy然而．这种积分运算通常是很复杂的，总是需要衍射理论或波动理论为人们提供了一个更有价值的观念——二维波前决定二维波场，而波场面波的相因子作一对比，而发现有所联系的活，那么这复杂波场就可以看成是一系列平面波成分或—系列球面波成分的叠加，因而这复杂波场也就成为人们在概念上容易想象掌握的—途径．这两方面的结合和匹配，使波前的分解、合成和分离有了切实的物理寄托．场合，波前相因子分析法要比衍射积分运算显得更简捷．高，以便进一步展开而跨入傅里叶光学领域．◆波前相因子和变换相因子前相因子和反映元件作用的变换相因子．(1)波前相因子其线性系数(sin9,sin9)与平面波传播方向一一对应，(9,9)是波矢量k的两个方向余弦1212交叉线性相因子系数(x,y)决定聚散中心的横坐标，相因子中分母z决定了聚散中心Q与00(2)变换相因子L言之，变换函数中的二次相因子是一等效透镜．◆余弦型环状波带片的衍射场余弦型环状波带片的屏函数其标准形式为性冲洗、而获得这样一张余弦型环状波带片，如图所示．当用一束平面波照射这张波带片时，其透射波前函数为~运用波前相因子分析法，可以对以上三种波成分的类型和持征作出明确的判断：波前U代0~表一列正出射的平面衍射波，称其为0级衍射波；波前U代表一列正出射的发散球面波，~发散中心在轴上Q点，与波带片P离为Z，称其为十1级衍射波；波前U代表一列正+101出射的会聚球面波，会聚中心在轴上Q点，与波带片距离为Z，称其为一1级衍射波，10时那傍轴球面波提供的二次相因子鉴广余弦型环状波带片的衍射具有上述简单而鲜明的特征，以致以r2为宗量的屏函数简谐成分(*****)式，可以作为一切轴对称屏函数(r)的基圆成分．5.4余弦光栅的衍射场◆余弦光栅的屏函数和制备余弦光栅的透过率函数即其屏函数的典型表示式为这是一个特殊走向的余弦光栅，仅沿x轴方向呈现周期性，空间周期为d,d=1f，f为mm1)，如图(a)所示．任意取向的余弦光栅，如图(b)所示，其屏函数的一般表达式为它表明，该光栅沿两个正交方向(x,y)的空间频率为(f,f)，相应的空间周期为(d,d)xyxy＝1f,1f。不难由(f,f)导出直观上余弦光栅的若干几何特征：xyxy值得注意的是，二维平面上的空间频率(f,f)含有正负号．比如图***(b)显示的这张光xyxyxytan9>0，这对应的是与栅条正交的方向N沿一、三象限．以上关于tan9公式可以由等值点方程2几fx+2几fy=C(常数)导出xy块余弦光栅首先用一张乳胶干版H记录两束平行光的干涉场，如图所示，其干涉强度分布函数为数标准形式，这可通过“光密度计”予以鉴测。光栅制作过程中的关键环节是“线性冲洗”这一步．它与拍摄时的曝光强度、冲洗时的药液配方、时间、温度，以及记录介质的乳胶特性等诸多因素有关，深究起来乃系感光材料与光化学专业的问题。◆余弦光栅的衍射特征前，后焦面上三个衍射斑的出现，表明通过余弦光栅其后场存在三列平面衍射波．兹运用波前相因子分析法，对此作出理论说明如下．~平面波正入射，其入射波前为U=A，经余弦光栅后的透射波前为11即中~鉴于它们均具有线性因子，故可以判定它们各自均代表一列平面波。波前U代表一列正出0~射的平面衍射波，称其为0级波；波前U代表一列向上斜出射衍射波，称其为+1级波，其倾角9，满足sin9=f入。波前代表一列向下斜出射衍射波，称其为-1级波，其一1倾角9，满足sin9=一f入。这三列平面衍射波交叠十后场而形成一个较为复杂的波场，可是经透镜分离它即凝聚于三个鲜明的衍射斑。这三个衍射斑集中了余弦光栅这一物结构的所有持征．其中，最至要的一个联系是，土1级衍射波(斑)的角方位与余弦光栅的空间频率考虑到实际光栅的宽度D有限，这透射的三列平面衍射波的波前是受限的，故它们均有一定的发散角，反映在后焦面那三个衍射斑均有一个半角宽度，分别为如果余弦光栅取向任意，以空间频率(f,f)标定之，其产生的那一对斜出射的土1级xy平面衍射波的角方位(sin9,sin9)，与(f,f)的对应关系为12xy最后说明一点，余弦光栅屏函数中的那个原(点)相位，其数值是要反映到士1级衍射0级中的。余弦光栅的平移，将导致衍射班的相移，即有不同的取值．不过，这一点目前0并不重要，以后在研究空间滤波和光信息处理时，将要注意到值的影响．0◆余弦光栅的组合如图所示，两张余弦光栅G和G，其栅纹平行地叠在一起．2它们的屏函数分别为GG函数为121201020122021112120102012202112121221212焦面上将出现9个衍射班，分布于x轴上，如图所示。其方向角分别为1212屏函数分别为G1212则其组合光栅G.G的屏函数及屏函数个各项对应的衍射班为121212xy这复合栅的衍射场含5列平面衍射波，显示于后焦面上是5个离散的衍射斑．基濒f成分1产生的那一对斑的方向角为9，三倍频f成分产生的那一对班的方向角为9，它们由下示意的装置中，先曝光一次，记录下某一频率的干涉条纹，然后变动反射镜倾角，再曝光一次，后的透过率函数就包含了两种频率成分。运用这种实验方法可以获得两个相近的频率成分，即差额f=ff<<f,f)．比如，f为50／mm，f为52／mm．这种显示出空间拍211212频的复合光栅，可用作空间滤波器．以实现图像微分运算．5.5傅里叶光学与傅里叶变换◆傅里叶光学的基本思想理效应、物理元件或物理装置．使一定空间频率的光学信息由一对待定方向的平面衍射波传输出来；这些衍射波在近场区域像空间频率一一对应，且集中了这一频率成分所有光学信息．总之，在一夫琅禾费衍射系统中，输入图像的博里叶频谱直观地显示在透镜的后焦面频谱分析器．这就是现代光学对经典光学中夫琅禾费衍射的一个重新评价——夫琅禾费衍射它为夫琅禾费衍射场的分析，提供了一种强有力的傅里叶数学手段，同时开创了光学空间滤术．也是一种关于空间滤波和光学信息处理技术的理论基础．◆透镜的傅里叶变换特性傅里叶分析方法在光学中得到如此广泛的应用．前面我们已经看到，单位振幅平面波垂直照明衍射屏的夫琅禾费衍射，恰好是衍射屏透过率函数t(x,y)的傅里叶变换(除一相位因子00下面就衍射屏(物)放在透镜之前的情况进行讨论．l用单位振幅单色平面波垂直照明衍射屏，四个平面的复振幅关系为(四路)①U(x,y)=At(x,y)00000②U(x,y)通过菲涅尔衍射U(x,y)000lUxy通过透镜的二次相位变换U(x,y)llUxyUxy)lfff通过冗长的计算得U(x,y)与t(x,y)的关系为fff00ff